第四章应力与应变关系.ppt

地球物理场论I 海洋地球科学学院地球探测信息与技术系宋鹏 第四章应力与应变关系 4 1广义虎克定律 4 2工程弹性常数及相互间关系式 4 3简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4 4能量密度与能通量密度 在前几章中 从静力学 动力学和几何学的观点分别研究了应力和应变 前面知道联结应力分量 6个 与位移分量 3个 有3个方程 联结应变分量 6个 与位移分量 3个 有6个方程 15个未知数9个方程 还需要6个方程才能求解弹性动力学问题 应力与应变关系 应力与应变关系 平衡运动微分方程 几何方程 要解决弹性动力学问题 还要研究应力与应变的关系 这种关系通常被称为物理方程或本构方程 即还需要补充应力与应变关系 6个方程 应力与应变的关系反映物质固有的物理特性 应力分量与应变分量的一一对应关系 在线性弹性范围内 便是广义虎克定律 应力与应变关系 广义虎克定律 应力应变曲线 在常温 静载情况下 由材料拉伸试件可得到应力与应变关系曲线 不同材料得到的应力应变曲线不同 图4 1给出低碳钢应力应变曲线 从图中可看出 该曲线大致可分为四个阶段 图4 1某材料应力与应变关系曲线 广义虎克定律 应力应变曲线 一 弹性阶段 OB段 在此段内 撤去外力时 将沿OB线恢复回原点O 即变形完全消失 通常为称为弹性极限 而OA段为直线 说明当时 成线性关系即 4 1 广义虎克定律 应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数 通常称为弹性模量 E的量纲与相同 一般用GN m2 则称为比例极限 上式即为虎克定律的数学表达式 A点与B点非常接近 工程上弹性极限和比例极限并不严格区分 这种情况下 横向应变与轴向应变绝对值之比一般是常数 即 广义虎克定律 应力应变曲线 二 屈服阶段 BC段 当后 出现应变增加很快 而应力在很小范围内波动的阶段 这种应力变化不大 而应变显著增加的现象称屈服或流动 屈服阶段的最低应力称屈服极限 广义虎克定律 应力应变曲线 四 局部变形阶段 DG段 过了D点以后 在局部范围内 横截面急剧缩小 继续伸长需要拉力相应减小 到G点处 试件被拉断 在纯剪应力作用时 与也成正比 比例系数G称剪切弹性模量 广义虎克定律 在空间应力状态下 描述一点应力状态需6个应力分量 与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示 它们之间存在一定关系 假设应力是应变的函数 分量形式表示为 4 3a 广义虎克定律 在小变形条件下 应变分量都是微量 a 式在应变为零附近做Taylor展开后 忽略2阶以上的微量 例如对 可得 广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分量等于零时的值 而实际上代表初应力 由于无初应力假设等于零 其它分量类推 那么在小变形情况下应力与应变关系式简化为 4 3b 广义虎克定律 上式表明在弹性体内 任一点的每一应力分量都是6个应变分量的线性函数 反之亦然 简单拉伸实验已指出在弹性极限以内 应力与应变呈线性关系 与上式一致 上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广 因此称为广义虎克定律 式中系数是物质弹性性质的表征 由均匀性假设可知这些弹性性质与点的位置无关 称为弹性常数 上式也可以写成矩阵形式 广义虎克定律 4 4 可以证明对各向异性体 由于应变能存在 也只有21个弹性常数独立 对各向同性体 只有两个弹性常数独立 各向同性体的广义虎克定律 如果物体是各向同性的 则在任何方向上弹性性质相同 因此在各个方向上应力与应变关系相同 下面来证明对于各向同性体 只有两个独立的弹性常数 一 首先证明弹性状态下 主应力和主应变方向重合 图4 2应变主轴 各向同性体的广义虎克定律 如图4 2所示 设1 2 3轴为物体内某点的应变主轴 对应的剪应变 现取轴分别为1 2 3轴 则由广义虎克定律第4式得 a 式中 和为该点主应变 对应1 2 3轴 将此坐标系绕2轴转180 得新的坐标轴1 2 3 以 和分别表示1 2 3 轴对原坐标系O123各轴的方向余弦 知 各向同性体的广义虎克定律 因此新坐标轴也指向应变主轴方向 剪应变也应该等于零 且因各向同性时 弹性系数C41 C42和C43应该不随方向面改变 故取分别为1 2 和3 轴 同样由式 4 3 第4式得 式中 和为该点主应变 对应1 2 3 轴 而由转轴应力分量变换公式得 b 各向同性体的广义虎克定律 又由转轴应变分量变换公式 3 12 得 d a 与 e 比较 可知 各向同性体的广义虎克定律 欲使上式成立 只有 同理可证 这说明 若1 2 3是应变主轴 也是应力主轴 从而证明对各向同性弹性体内任一点 应变主轴与应力主轴重合 f 各向同性体的广义虎克定律 式中表示表示在轴方向单位主应变引起轴方向的主应力大小 对于各向同性体 对的影响应与对的影响 对的影响相同 故 g 由于各向同性 2和 3对的影响相同 2和 3对的影响应与和对的影响 和 2对的影响相同 这样 h 各向同性体的广义虎克定律 由 g 和 h 可知 对应力和应变主轴而言 只有两个弹性常数是独立的分别用a和b表示 则由 f 知 i 令 且则 i 变为 j 常数和称为拉梅 Lame 弹性常数 简称拉梅常数 各向同性体的广义虎克定律 三 最后通过坐标变换 进一步建立任意正交坐标系应力与应变关系 k 在各向同性弹性体中 设为任意正交坐标系 它的三个轴与坐标系应力主轴的方向余弦分别为 和 因为1 2 3轴是主轴 主轴方向的剪应变和剪应力等于零 根据转轴时应力分量变换公式得 各向同性体的广义虎克定律 又由转轴时应变分量变换公式得 l 将 j 代入 k 中有 m 各向同性体的广义虎克定律 比较式 l 和 m 并注意到得 式中是一不变量 同理可得其它应力分量与应变分量关系 综合为 4 5n 各向同性体的广义虎克定律 上式即为各向同性弹性体的虎克定律 写成矩阵形式为 4 6 各向同性体的广义虎克定律 4 7 将式中前三式相加得 其中为第一应变不变量 式称为体积应变的虎克定律利用式 4 6 可以写出用应力表示应变的广义虎克定律 各向同性体的广义虎克定律 4 8 各向异性介质中的广义虎克定律 均匀各向同性完全弹性的假设是对实际介质的近似 当使用精细观测手段研究较为复杂问题时 要考虑介质的不均性 以及介质的各向异性和介质的非完全弹性 若介质的弹性性质依方向而变化 称为各向异性 对于各向异性介质的模型 在方程中 弹性常数 而其它常数不同 这样总共有21个弹性常数 对的影响和对影响一样 这样可以导出复杂的数学关系 实际应用中经常使用简化模型 如横向均匀且各向同性介质 TI transverseisotropy 这种介质弹性性质在一个平面上是相同的的 它沿着平面的法线方向变化 如沉积岩 层理 沿层理方向是均匀的 弹性性质在垂直于层理方向变化 各向异性介质中的广义虎克定律 这种简化的弹性介质 层状介质模型有5个独立的弹性常数 和为平面上和垂直于该平面方向的拉梅系数 而表示垂直平面上切应力和切应变的关系 广义虎克定律为 4 9 各向异性介质中的广义虎克定律 写成矩阵形式 4 10 各向异性介质中的广义虎克定律 即 4 11 各向异性介质中的广义虎克定律 在地震勘探中一般用Thomsen参数描述各向异性 4 12 Thomsen参数的优点是其大小恰恰反映了各向异性的强弱 工程弹性常数及相互间关系式 在工程上 通过简单拉伸和纯剪切试验可以测定杨氏弹性模量E 泊松比 和剪切模量G等弹性常数 所以用工程弹性常数来表达广义虎克定律更有实际意义 首先考虑简单拉伸 如沿轴方向 应力分量除外 其它为零 在弹性极限内 与沿轴方向正应变成正比 其比例系数就是杨氏模量 横向正应变 与之比的绝对值就是泊松比 而且方向拉伸 和方向必然收缩 故 工程弹性常数及相互间关系式 即 4 13a 将 4 13a 式代入均匀各向同性体广义虎克定律式 前三个式子相加 得 广义胡克定律 工程弹性常数及相互间关系式 即 4 13b 再把 4 13b 式代回到第一式中 得 4 13c 4 13a 和 4 13c 比较得 4 13d 工程弹性常数及相互间关系式 再由式 4 5n 第二式 得 4 13e 由 4 13d 和 4 14 式 可用杨氏模量和泊松比表示拉梅常数和 工程弹性常数及相互间关系式 根据试验 4 15 所以 工程弹性常数及相互间关系式 再考虑纯剪切情况 如设在面内 应力分量除外 其余应力分量均为零 又 为剪切弹性模量 即 f f 与 4 5n 后三式比较 得 4 16 工程弹性常数及相互间关系式 将 4 15 4 16 式代入 4 8 式 整理可得 4 17 工程弹性常数及相互间关系式 与 4 8 式对应 前三个式相加得到用E和 表示的体积应变虎克定律 4 18 式中 若物体受到均匀压缩 则 则 4 19 工程弹性常数及相互间关系式 式 4 19 反映了体积应变与压强p的关系 令 则 其中K称为膨胀系数 工程弹性常数及相互间关系式 在均匀各向同性介质中 经常使用拉梅弹性常数及其杨氏弹性模量 泊松比剪切模量和围压膨胀模量 它们对弹性力学研究十分重要 特别是对地震波传播 直接反映介质的弹性性质或弹性波传播速度 它们六个可分为三组 两者间可以转换 其转换关系总结如下 工程弹性常数及相互间关系式 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 弹性体在外力作用下 发生变形 微元体要发生位移 这时外力对物体做了功 这个功以应变能的形式贮存在物体内 这种弹性体因变形而储存的能量称为弹性变形位能 简称变形能 又称应变位能或应变能 在物体弹性范围内 当卸去外力时 这个弹性应变能又完全释放出来 使物体恢复原来形状 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 设有一拉杆上端固定 下端挂一小盘 与盘同高的水平面上放有许多重块 每块重量为 F 如图4 3 a 所示 在应力小于比例极限范围内加入载荷的重量与拉杆伸长成正比 是一条倾斜直线 如图4 3 b 所示 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 a b 图4 3载荷与杆件拉伸的关系 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 逐渐增加重块时 每增加一重块 拉杆就伸长 这时 载荷下沉而做功 但损失位能 而杆件则获得变形能 载荷损失的位能在数量上等于它所做的功A 载荷缓慢增加 动能无明显变化 故可忽略不计 根据能量守恒定律 载荷损失的位能等于拉杆所获得的变形能 即应变能 当时 由 在整个加力过程中 F从 从 载荷做功0 A 于是 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 再利用应力 应变定义及虎克定律 式中E为弹性模量 S为横截面积 为拉杆原长度 于是 根据虎克定律 当载荷为时 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 故 也就是应变能为 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算 在纯剪应力情况下 通过薄壁面扭转试验可知 当剪应力不超过比例极限时 扭转角与外力偶矩成正比 同理可得剪切应变能 剪切应变能密度 其中 空间应力状态下应变能和应变能密度 在空间应力状态下 变形能数值上仍等于外力所作的功 它也决定于作用力的最终数值 而与加力先后顺序无关 用主应力和主应变表示空间应力状态下的应变能密度为 4 21a 空间应力状态下应变能和应变能密度 若正立方体形状单元体上的三个主应力不相等 相应的主应变也不相等 单元体三个棱边的变形不同 单元体的变形表现为体积的增加或减小 形状的改变 正方体变为长方体 因此可以认为应变能密度由两部分组成 1 因体积变化而储存的应变能密度称体积改变应变能密度 2 因形状改变而储存的应变能密度称形状改变应变能密度 于是 4 22a 空间应力状态下应变能和应变能密度 若单元体上以主应力的平均值 代替主应力 而单位体积的改变与 作用时仍相等 但以代替主应力后 由于三个棱边的变形相同 所以只有体积变化而形状不变 所以 4 22b 空间应力状态下应变能和应变能密度 由广义虎克定律 4 17 式得 空间应力状态下应变能和应变能密度 若不是用主应力表示应变能量 一般情况为 4 22e 证明 由 空间应力状态下应变能和应变能密度 根据 2 11 式中第 第 第 应力不变量定义和关系 而 于是 空间应力状态下应变能和应变能密度 进一步 空间应力状态下应变能和应变能密度 同理可得出以应变表示的应变能密度 4 23 进一步 应力与应变分量可用应变能密度的偏导数表示 空间应力状态下应变能和应变能密度 4 24 空间应力状态下应变能和应变能密度 最后给出弹性动力学问题解的唯一性定理 假如弹性体受已知体力作用 在物体表面处面力已知 或位移已知 或一部分上面力已知 而另一部分上位移已知 此外 初始条件已知 则弹性体在运动时 体内各点的应力分量 应变分量与位移分量均是唯一的 能量密度与能通量密度 前节仅讨论应变能 变形位能 即处于平衡状态情形 当物体既运动又变形时 其内部通常既有动能又有应变能 单位体积内所含的动能称为动能密度 记作 单位体积所含的应变能称为应变能密度 记作 单位体积内所含总能量 指动能和应变能即机械能 内能不考虑热能 注 内能包括势能和热能 4 25 式中为材料的密度 能量密度与能通量密度 利用广义虎克定律 4 5n 式 将 考虑物体处于运动状态时 即波传播时 应力和应变还应是时间的函数 为讨论弹性介质机械能的变化规律 先研究对时间的变化率 中的应力分量用应变分量表示 即 4 23 式 能量密度与能通量密度 4 26 能量密度与能通量密度 再研究动能密度对时间的变化率 并利用运动微分方程 2 19 式 得 4 27 能量密度与能通量密度 显然 将 4 26 和 4 27 代入 合并同类项 利用和互易性得到 4 28 能量密度与能通量密度 定义一个矢量场 4 29 称为能通量密度矢量场 则能量密度对时间的变化率 能量密度与能通量密度 即能量密度对时间的变化率等于能流密度矢量的散度 表示单位时间内通过与方向垂直的单位面积的能量 称为能量密度矢量场 它又表明机械能 包括动能和应变能 以多大数量沿什么方向传播 即弹性波传播 这里给出了弹性波的一种定义 即机械能在弹性介质中的传播 例子 已知介质密度 圆频率 振幅A 试求沿轴传播的平面简谐波 能量密度与能通量密度 的能通量密度 称圆波数 为波的传播速度 解 由 将 代入能通量密度 4 29 式中得 能量密度与能通