连续性方程.pdf

第一章流体的物理性质和流体运动物理第一章流体的物理性质和流体运动物理 量的描述量的描述 1 61 6流体的连续性方程流体的连续性方程 连续方程是流体力学的基本方程之一 连 续方程具有多种表达形式 但其物理意义 只有一个 就是质量守恒定律在流体力学 中的应用 1 6 流体的连续性方程 Continuity equation 1 6 流体的连续性方程 一 三维流动 二维流动的连续性方程一 三维流动 二维流动的连续性方程 直角坐标系中的连续方程直角坐标系中的连续方程 如图所示 在流场中取出一平 行六面微元体 其边长分别为 dx dy dz 在整个流场中处 处应满足质量守恒定律 因此 单位时间内微元体内质量的改 变量应等于单位时间内通过微 元体的质量的净流出量 设流 体的密度为 以x方向通过微元 体的质量流量为例 单位时间 内通过控制面ABCD流进控制体 的质量流量为 1x qv dydz 单位时间内通过控制面A B C D 流出控制体的 质量流量为 单位时间内沿x方向的净流出量为 1 6 流体的连续性方程 2 x x v qvdx dydz x 21 x x xx x dqqq v vdx dydzv dydz x v dxdydz x 同理可得沿y方向和z方向的净流出量为 单位时间内通过微元体的质量净流出量为 y y v dqdxdydz y z z v dqdxdydz z xyz y xz dqdqdq v vv dxdydz xyz 单位时间内微元体内所含质量对时间的变化率为 根据质量守恒定律 因此 令dx dy dz同时趋近于零 并将上式两端同时除以dxdydz 取 极限得 tx y z tdtx y zdM dxdydz dtdt dxdydz t dM dq dt 0 y xz v vv dxdydz txyz 0 y xz v vv txyz 对于不可压缩流体 得不可压缩流体的连续方程 常数 0 y xz v vv xyz 不可压缩流体三维流动的连续性方程不可压缩流体三维流动的连续性方程 不可压缩流体二维流动的连续性方程不可压缩流体二维流动的连续性方程 物理意义 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流物理意义 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流 量等于零 也就是说 在同一时间内流入的体积流量与流出量等于零 也就是说 在同一时间内流入的体积流量与流出 的体积流量相等 的体积流量相等 0 y xz v vv xyz 0 y x v v xy 二 恒定总流的连续性方程二 恒定总流的连续性方程 1 1 恒定流动 该段元流的形状 位置不随时间发生变 恒定流动 该段元流的形状 位置不随时间发生变 化 化 2 2 没有流体穿过元流 从侧面流入和流出 没有流体穿过元流 从侧面流入和流出 3 3 元流内流体不存在空隙 元流内流体不存在空隙 根据质量守恒定律 在根据质量守恒定律 在 时间内时间内 不可压缩流体不可压缩流体 分流分流 dt 1 11222 u dAu dA 1 2 1 11222 A A u dAu dA 1 11222 v Av A 1122 v Av AQ 112233 v Av Av A 123 QQQ d d d d d M r rz tt dd d d dd d d dd d d r r z z v r qrz r v qrz v qr rz z 11 0 rz vv rv trrrz 上式就是柱坐标系下的连续方程 对于不可压缩流