5-6定积分在物理上的应用.pdf

第五章第五章 二 液体的侧压力 三 引力 一 变力沿直线所作的功 二 液体的侧压力 三 引力 一 变力沿直线所作的功 第六节第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 由物理学知道 如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力 由物理学知道 如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上 且 这力的方向与物体的运动方向一致 那么 在 物体移动了距离 作用在这物体上 且 这力的方向与物体的运动方向一致 那么 在 物体移动了距离s时 力时 力F对物体所作的功为对物体所作的功为 sFW 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的 就不能直接使用此公式 而采用 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的 就不能直接使用此公式 而采用 微元 法 微元 法 思想 思想 一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdxx 分割分割 ba 取代表 性的一份 取代表 性的一份 dxxx 在这一小区间上 变力所作的功可以 近似地看成恒力 在这一小区间上 变力所作的功可以 近似地看成恒力 xF所作的功 则 所作的功 则 dxxFdW b a dxxFW 则所求变力所作的功为 则所求变力所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1例 1 把一个带 把一个带 q 电量的点电荷放在 电量的点电荷放在 r 轴 上坐标原点处 它产生一个电场 这个电场对 周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果一 个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 轴 上坐标原点处 它产生一个电场 这个电场对 周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果一 个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为 的地方 那么电场对它的作用力的大小为 2 r q kF k是常数 当这个单位正电荷在电 场中从 是常数 当这个单位正电荷在电 场中从 ar 处沿 处沿 r 轴移动到 轴移动到 br 处时 计算电场力 处时 计算电场力 F 对它所作的功 对它所作的功 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解取取r为积分变量 为积分变量 ro q a b 1 r bar drr 取任一小区间取任一小区间 drrr 功的微元功的微元 2 dr r kq dw 所求功为所求功为dr r kq w b a 2 b a r kq 1 11 ba kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a 2 a r kq 1 a kq 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图片任意处播放点击图片任意处播放 暂停暂停 例 2例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米 底半径为 3 米 池内盛 满了水 问要把池内的水全部 吸出 需作多少功 一圆柱形蓄水池高为 5 米 底半径为 3 米 池内盛 满了水 问要把池内的水全部 吸出 需作多少功 解解建立坐标系如图建立坐标系如图 x o x dxx 取取x为积分变量 为积分变量 5 0 x 5 取任一小区间取任一小区间 dxxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dxg 2 3 功元素为功元素为 9dxxgdw 5 0 9dxxgw 5 0 2 2 9 x g g 3 10144 焦耳 焦耳 1000 3 mkg 例 3例 3 一长为 28 米 质量为 20 公 斤的均匀链条 被悬挂于一建筑物 的顶部 问需作多大的功才能把 一长为 28 米 质量为 20 公 斤的均匀链条 被悬挂于一建筑物 的顶部 问需作多大的功才能把链链 条全部拉上建筑物的顶部 条全部拉上建筑物的顶部 x dxx 28 x y 0 解解建立坐标系如图建立坐标系如图 取取x为积分变量 为积分变量 28 0 x 取任一小区间取任一小区间 dxxx 此段对应的链条重此段对应的链条重 牛顿 牛顿 dxg 28 20 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 功元素为功元素为xdxgdw 28 20 gxdx 7 5 所求功为所求功为 28 0 7 5 gxdxw 焦耳 焦耳 g280 解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为 kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 1 0 1 dxxfw 2 k h n dxxfw 0 例4 例4 用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻力与 铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次锤击时将 铁钉击入1厘米 若每次锤击所作的功相等 问第 用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻力与 铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次锤击时将 铁钉击入1厘米 若每次锤击所作的功相等 问第n次 锤击时又将铁钉击入多少 设 次 锤击时又将铁钉击入多少 设 n 次击入的总深度为 次击入的总深度为 h 厘米 次锤击所作的总功为 厘米 次锤击所作的总功为n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 h kxdx 0 2 2 kh 依题意知 每次锤击所作的功相等 依题意知 每次锤击所作的功相等 1 nwwn 2 2 kh 2 k n nh 1 nn 次击入的总深度为次击入的总深度为n 第 次击入的深度为第 次击入的深度为n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 k w 2 2 kh wn S 例5 例5 体 体 求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所 ox 解 解 由于气体的膨胀 把容器中的一个面积为由于气体的膨胀 把容器中的一个面积为S S 的活塞从的活塞从 点 点 a 处移动到点 处移动到点 b 处 如图 处 如图 作的功 作的功 a b 建立坐标系如图 建立坐标系如图 x xdx 由波义耳 马略特定律知 压强 由波义耳 马略特定律知 压强 p 与体积 与体积 V 成反比 即成反比 即 Sx k V k p 功元素为功元素为 WdxFdx x k d 故作用在活塞上的力为故作用在活塞上的力为 SpF x k 所求功为所求功为 b a x x k Wd b a xk ln a b kln 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 在底面积为在底面积为S S的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 由物理学知道 在水深为 由物理学知道 在水深为h处的压强为处的压强为 ghp 这里 这里 是水的密度 如果有一面积 为 是水的密度 如果有一面积 为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为 处 那么 平板一侧所受的水压力为ApP 如果平板垂直放置在水中 由于水深不同 的点处压强 如果平板垂直放置在水中 由于水深不同 的点处压强p不相等 平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式 而采用 不相等 平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式 而采用 微元法微元法 思想 思想 二 液体的静压力二 液体的静压力 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 20 3050 度为 静压力 记水的密求闸门一侧所受的水的米面 如果闸门顶部高出水米高为米米和为 梯形的上下底分别如图所示一等腰梯形闸门 度为 静压力 记水的密求闸门一侧所受的水的米面 如果闸门顶部高出水米高为米米和为 梯形的上下底分别如图所示一等腰梯形闸门 解解 x y o 16 4 x dxx A B 如图建立坐标系 如图建立坐标系 的方程为则梯形的腰的方程为则梯形的腰 AB 23 2 1 xy 小梯形片的面积近似等于小梯形片的面积近似等于 小梯形片上各处的压强近似相等小梯形片上各处的压强近似相等 2 mNgxp 23 2 1 2dxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6例6 16 0 23 2 1 2dxxgxP 16 0 2 3 23 3 x x g 256234096 3 1 g g 67 4522 1043 4 7 牛顿牛顿 此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 1000 3 mkg 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7例 7 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶 水 设桶的底半径为 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶 水 设桶的底半径为R 水的密度为 水的密度为 计算桶 的一端面上所受的压力 计算桶 的一端面上所受的压力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图 x o 取取x为积分变量 为积分变量 0 Rx 取任一小区间取任一小区间 dxxx x dxx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为小矩形片的面积为 2 22 dxxR gxp 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为 dxxRgxdP 22 2 端面上所受的压力端面上所受的压力 dxxRgxP R 22 0 2 22 0 22 xRdxRg R R xRg 0 3 22 3 2 3 2 3 牛顿牛顿R g 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 arcsin 22 g4 2 22 R R xR xR x R d2 22 xxR 说明 说明 当桶内充满液体时 当桶内充满液体时 gxR 小窄条上的压强为小窄条上的压强为 侧压力元素侧压力元素 Pd 故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为 R R xxRxRPd g2 22 奇函数奇函数 3 gR gxR R xxRR 0 22 dg4 tRxsin 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y R x xxd 例 8例 8 将直角边各为 将直角边各为 a及 及 a2的直角三角形薄板垂直 地浸人水中 斜边朝下 直角边的边长与水面平 行 且该边到水面的距离恰等于该边的边长 求薄 板所受的侧压力 设水的密度为 的直角三角形薄板垂直 地浸人水中 斜边朝下 直角边的边长与水面平 行 且该边到水面的距离恰等于该边的边长 求薄 板所受的侧压力 设水的密度为 解解建立坐标系如图建立坐标系如图 x o a2 a2 a 面积微元面积微元 2dxxa dxxaaxgdP 2 2 dxxaaxgP a 0 2 2 3 7 3 ag 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片上各处的压强近 似相等 2 axgp xa a y a2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由物理学知道 质量分别为由物理学知道 质量分别为 21 m m相距为相距为r的两个 质点间的引力的大小为 的两个 质点间的引力的大小为 2 21 r mm kF 其中 其中k为引力系 数 引力的方向沿着两质点的连线方向 为引力系 数 引力的方向沿着两质点的连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那 么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且 各点对该质点的引力方向也是变化的 就不能用此 公式计算 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那 么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且 各点对该质点的引力方向也是变化的 就不能用此 公式计算 三 细杆对质点引力三 细杆对质点引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 a la2 xdxx 0 m x 例 9例 9 设有一均匀细杆 长为 设有一均匀细杆 长为l 2 质量为 质量为M 另有一质量为另有一质量为m的质点 位于细杆所在的直线上 与细杆的近端距离为 的质点 位于细杆所在的直线上 与细杆的近端距离为a 求细杆对质点的引力 求细杆对质点的引力 解解 分割分割 2 laa 取具代表性的一份 取具代表性的一份 dxxx 将典型小段近似看成质点 其质量为 将典型小段近似看成质点 其质量为dx l M 2 引力元素引力元素 2 2 x dx l M m kdF dx xl kMm 2 1 2 dx xl kMm F la a 2 2 1 2 则则 2 laa kMm 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10 例10 设有一长度为 设有一长度为 l 线密度为线密度为 的均匀细直棒 的均匀细直棒 其中垂线上距 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 单位处有一质量为 m 的质点 的质点 M M 该棒对质点的引力 该棒对质点的引力 解 解 建立坐标系如图 建立坐标系如图 y 2 l 2 l dxxx 细棒上小段 对质点的引力大小为 细棒上小段 对质点的引力大小为 dkF xm d 22 xa 故垂直分力元素为故垂直分力元素为 cosddFFy a 22 d xa xm k 22 xa a 2 3 d 22 xa x amk a xox 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 试计算 在 试计算 Fd x Fd y Fd xxd 利用对称性利用对称性 2 2 3 0 22 d 2 l xa x amkFy 0 222 2 l xaa x amk 22 4 12 laa lmk 棒对质点引力的水平分力棒对质点引力的水平分力 0 x F 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为 2 l Fd x Fd y Fd M y 2 l a ox x xxd 棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 22 4 12 l lmk F aa 此时引力大小为此时引力大小为 y 2 l 2 l a ox xxd x 说明 说明 a mk 2 2 2 若考虑质点克服引力沿 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 轴从 a 处处 1 1 当细棒很长时 可视 当细棒很长时 可视 l 为无穷大 方向与细棒垂直且指向细棒 移到 为无穷大 方向与细棒垂直且指向细棒 移到 b a b 处时克服引力作的功 处时克服引力作的功 b y b a lyy y lmkW 22 4 d 2 22 4 12 l lmk y y Wdyd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有则有 l ox y a cosd F y Fd 2 3 d 22 xa x amk x Fd 2 3 d 22 xa xx mk l y xa x amkF 0 22 2 3 d l x xa xx mkF 0 22 2 3 d 引力大小为引力大小为 22 yx FFF 22 d d xa xm kF xxxd x Fd y Fd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 sind F 注意正负号注意正负号 3 3 当质点位于棒的左端点垂线上时 当质点位于棒的左端点垂线上时 利用 利用 微元法微元法 思想求变力作功 液体的 静压力和细杆对质点的引力等物理问题 思想求变力作功 液体的 静压力和细杆对质点的引力等物理问题 注意熟悉相关的物理知识 注意熟悉相关的物理知识 四 小结四 小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题习题4 6 P324 4 6 7 10 12 13 17 19 解 解 该球面所受的总压力方向向上 下半球面所受 的压力大于上半球面 其值为该球排开水的重量 即球的体积 也就是它在水中受到的浮力 因此该球 面所受的总压力与球浸没的深度无关 该球面所受的总压力方向向上 下半球面所受 的压力大于上半球面 其值为该球排开水的重量 即球的体积 也就是它在水中受到的浮力 因此该球 面所受的总压力与球浸没的深度无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 一球完全浸没水中 问该球面所受的总压力与 球浸没的深度有无关系 它所受的总压力与它在水 中受到的浮力有何关系 一球完全浸没水中 问该球面所受的总压力与 球浸没的深度有无关系 它所受的总压力与它在水 中受到的浮力有何关系 思考与练习思考与练习 99考研考研 提示提示 作作 x 轴如图轴如图 o x 30 xxd 2 为清除井底污泥为清除井底污泥 用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底 泥后提出井口泥后提出井口 在提升过程中污泥 以 在提升过程中污泥 以20N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的抓斗提升到井口现将抓起污泥的抓斗提升到井口 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度为提升速度为3m s 问 克服重力需作多少焦耳 问 克服重力需作多少焦耳 J 功功 已知井深已知井深30 m 抓斗自重抓斗自重400N 将抓起污泥的抓斗由将抓起污泥的抓斗由 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 抓起污抓起污 x 提升提升 dx 所作的功为所作的功为 米重米重50N 缆绳每缆绳每 提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥 井深井深 30 m 抓斗自重抓斗自重 400 N 缆绳每米重缆绳每米重50N 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N 提升速度为提升速度为3m s 污泥以污泥以 20N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉 o x 30 xxd xWd400d 1 克服缆绳重克服缆绳重 xxWd 30 50d 2 抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间 s 3 x J 91500 x x xWd 3 202000 30 50400 30 0 x x Wd 3 202000 d 3 321 ddddWWWW 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 克服抓斗自重克服抓斗自重 x y oA B 3 设星形线设星形线 taytax 33 sin cos 上每一点处线密上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方度的大小等于该点到原点距离的立方 提示提示 如图如图 22 22 d d 2 3 yx syx kF syxkd 2 1 22 cosdd FF