高一数学-零点问题和函数的综合.doc

第四讲 零点问题和函数的综合【主要知识点】一、零点的概念把使f（x）=0的实数x叫做函数f（x）的零点.（零点是一个数，不是一个点！）二、方程的根与函数的零点1、方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.2、如果y=f（x）在区间a，b上的图像是连续的，并且有f（a）f（b）0（异号），那么，函数y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点.三、零点的求法1、代数法：求方程f（x）-0的实数根2、几何法：即画出图像，利用函数的性质找出零点题型一：已知函数零点所在区间问题通法：代数法：直接按大小顺序代入，以0为分界线例1、函数f（x）=lnx- 2x 的零点所在的大致区间是（ ）A.（1，2） B.（2，3） C.（1，1e）和（3，4） D.（e，+）解析：f（1）=ln1- 21 0；f（2）=ln2- 220；f（3）=ln3- 230 函数f（x）的零点所在区间为（2,3），选B.题型二：函数中有未知数的零点所在区间问题通法1：几何法：画出图像，根分布在两区间时只需考虑端点值（即区间最值）符号，即对应图像与x轴位置关系例2、（1）若关于x的方程3x-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1,3）内，求a的取值范围.解析：画出大致图像，可得f（-2）0；f（0）0；f（1）0；f（3）0.33-53+a0；a0；31-51+a0；3（-2）-5（-2）+a0综上，a的取值范围是（-12，0）.通法2：二次项系数或零点个数未知时必须分类讨论，考虑因素为和对称轴例2、（2）已知a是实数，函数f（x）=2ax+2x-3-a，求满足下列条件的实数a的取值范围.（1）方程f（x）=0有一正根一负根；（2）函数y=f（x）在 -1，1上有零点.解析：（1）已知a=0时，f（x）=2x-3，为一次函数，不可能有两个实根.a0时，f（0）0，即-3-a0，a-3a0时，f（0）0，a-3综上，a的取值范围是（-，-3）（0，+）.（2）已知a=0时，f（x）=2x-3的零点x=32不在-1,1上.函数在-1,1上只有一个零点，此时：=4-8a（-3-a）0f（-1）f（1）=（a-5）（a-1）0 ，或=4-8a（-3-a）=0-1-12a1解得1a5或a=-3-72.函数在-1,1上有两个零点，此时：a0=4-8a（-3-a）0-1-12a1 f（1）0f（-1）0 或a0=4-8a（-3-a）0-1-12a1f（1）0f（-1）0 解得a5或a-3-72.综上，实数a的取值范围是（-，-3-72）1，+）.题型三：特殊函数的零点问题通法：几何法：移项使等号两边均为已学函数模型，画出图像，把零点转化为两函数图像交点（注意分类讨论！）例3、若函数f（x）=ax-x-a（a0且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是_.解析：令f（x）=ax-x-a=0，则ax=.设g（x）=ax，h（x）=x+a，画图得： 0a1时，g（x）和h（x）不可能有两个交点； a1时，已知g（x）与y轴的