第二章 含时间因素的货币等值.ppt

第二章含时间因素的货币等值计算 一 货币的时间价值1 概念 2 意义 3 利息和利率 利息 放弃资金使用权所得的报酬或占用资金所付出的代价 亦称子金 利率 单位本金在一个计息周期内产生的利息 有年 月 日利率等4 单利和复利 单利 本金生息 利息不生息 复利 本金生息 利息也生息 即 利滚利 复利计息法比单利计息法更符合资金的时间价值规律 因此在技术经济分析中一般采用复利计算5 等值与等值换算 考虑时间因素的情况下 不同时点的绝对值不等的资金可能具有相等的价值 等值的三个因素 金额 金额发生的时间 利率 利用等值的概念 可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额 即 等值换算 如 折现 贴现 把货币作为生产资金 或资本 投入到生产或流通领域 在此过程中随着时间的推移所增加 减少 的价值 体现投资收益水平和标准 解决可比性问题 本金 现值 利息 二 资金等值计算基本公式 利息公式 1 基本参数 利率 收益率 贴现率 i 现值 P 又称为期初值 是指发生在时间序列起点处的资金值 终值 F 资金发生在 或折算为 某一特定时间序列终点的价值 等额年金或年值 A 指一定时期内每期有相等金额的收付款项 如租金 保险金 养老金等通常采取年金的形式 年金可以在每期期末 或者期初 也可以在距今若干期内的每期期末收付款2 现金流量图 表示现金流量的工具之一 含义 表示某一特定经济系统现金流入 流出与其发生时点对应关系的数轴图形 由一个带有时间刻度的横轴和一系列垂直于横轴的长短不一的箭头所组成 能够反映出现金流量的三大要素 即 大小 流向 时间点例1 1 说明右侧现金流量图的所描述的含义 通常为评价时刻的点 即现金流量图的零点处 箭头的长短表示 箭头的方向 向上表示现金流入 向下则流出 横轴的时间刻度本年年初与上一年年末重合 计息期数 n 2 某炼铁厂计划从现在算起 第6年末和第10年末分别需要提取现金80万元和100万元 若银行利率i 8 若从现在起每年年末等额存款A 连存5年 试画出该现金流量图 3 基本公式 一次支付类型 一次支付终值公式例2 某建筑公司进行技术改造 98年初贷款100万元 99年初贷款200万元 年利率8 2001年末一次偿还 问共还款多少元 解 先画现金流量图 如右图所示 则F 100 F P 8 4 200 F P 8 3 100 1 8 4 200 1 8 3 一次支付现值公式 0 1 3 2 n 1 n P 一次支付终值系数 0 1 2 3 4 F 100 200 已知P 求F 已知F 求P 100 1 3605 200 1 2597 387 99 万元 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 A A A A A 80 F 例3 某公司计划从现在起的第10年末需2500万元存款 为达到此目的 该公司今天一次存入银行500万元 银行利率为15 求第3年末需存入银行多少万元才能满足计划 解 先坐现金流量图 如右边所示 则 500 F P 15 10 X F P 15 7 2500 X 2500 500 F P 15 10 P F 15 7 2500 500 4 046 0 3759 179 3 万元 2500 P F 15 10 500 X P F 15 3 例4 某厂今天存入银行500万元 预计在第2年末再存入500万元 在第8年末将提取1000万元用于技术改造 其余准备在第10年末一次取出2500万元 问15 的利率能否实现该计划 解 现金流量图如右边所示 则现金流出F1 500 F P 15 10 500 F P 15 8 3552 3现金流入F2 1000 F P 15 2 2500 3823 F1 F2 故15 的利率不能实现该计划 F P i n 与 P F i n 互为倒数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 X 2500 现金流入终值 现金流出终值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 2500 500 1000 假设15 的利率能够实现 以第10年末为基准点 基准点 等额支付类型 等额支付系列终值公式 等额年金终值公式 F A F P i n 1 A F P i n 2 A F P i 1 A F P i 0 A 1 i n 1 i n 1 1 i 1 例5 某公路工程总投资10亿元 5年建成 每年末投资2亿元 年利率为7 求5年末的实际累计总投资额 解 此项目的现金流量图如右边所示F 2 F A 7 5 2 5 7507 11 5 亿元 等额支付系列积累基金公式 等额支付偿债基金公式 0 1 3 2 n 1 n A F 已知A 求F 等额支付系列终值系数 0 1 2 3 4 5 2 F 0 1 3 2 n 1 n A F A A A A 已知F 求A 两者互为倒数 则5年末的实际累计总投资额为 等额支付系列现值公式 等额年金现值公式 法一 P A P F i 1 A P F i 2 A P F i n 1 A P F i n A 1 i 1 1 i 2 1 i n 1 1 i n 法二 F A F A i n P F P F i n A F A i n P F i n 例6 某建筑公司打算贷款购买一部10万元的建筑机械 利率为10 据预测 此机械使用年限10年 每年平均可获净利润2万元 问所得净利润是否足以偿还银行贷款 解 已知A 2 i 10 n 10 求P是否大于等于10万元P A P A i n 2 P A 10 10 2 6 1445 12 289 10 等额支付系列资金恢复公式 资金回收公式 0 1 3 2 n 1 n A P 已知A 求P F 已知P 求A 0 1 3 2 n 1 n A P A A A A 例7 1 假设在孩子第4个生日时存入一笔钱 以便孩子从第18个生日到第22个生日 包括这两个生日在内 每个生日都可提取2000元 设年利率为8 请问一次存入的总金额是多少 解 设一次存入的总金额为P 画出现金流量图如右边所示则P 2000 5 8666 0 2502 2935 65 元 或解P 2000 P A 8 5 P F 8 13 2 上题中 若无法按所算得的总金额进行投资 现先在第4个生日存入1500元 然后从第5个生日到第12个生日 包括这两个生日在内 每年等额存款 设年利率为8 请问从第5个到第12个生日每年的存款时多少元 解 设从第5个到第12个生日每年的存款为A 画出现金流量图如右边所示则A A P 8 8 2000 3 9927 0 3677 1500 0 1740 250 36 元 0 1 2 3 4 18 19 20 21 22 2000 P 0 1 2 3 4 18 5 22 2000 1500 12 A P F 8 18 2000 F A 8 5 2000 P A 8 5 P F 8 13 1500 例8 在下面的现金流量图中 寿命期为10年 若考虑资金的时间价值以后 假设利率为i 总现金流出等于总现金流入 利用资金等值计算系数 用已知项求未知项 1 已知A P2 F 求P1 2 已知A P1 F 求P2 A A P1 P2 F A F A i 4 P F i 9 A P A i 4 F P i 5 P2 P F i 5 F P F i 10 A P A i 4 A P A i 4 P F i 5 P1 P2 P1 F P i 5 F P F i 5 A P A i 4 A F A i 4 F P i 1 基准点 均匀梯度系列公式 终值公式F2 G n 1 n 2 1 i 2 1 i n 3 1 i n 2 1 i F2 G n 1 1 i 3 1 i n 3 2 1 i n 2 1 i n 1 iF2 G n 1 1 i 1 i n 3 1 i n 2 1 i n 1 可得 0 1 3 2 n 1 n A1 2G F A1 G A1 A1 n 2 G A1 n 1 G 0 1 3 2 n 1 n 2G F2 G n 2 G n 1 G 0 1 3 2 n 1 n F1 A1 F F1 F2 A1 F A i n F2 定差终值系数 错位相减法 现值公式 年金公式例9 设某技术方案服务年限8年 第一年净利润为10万元 以后每年递减0 5万元 若年利率为10 问相当于每年等额盈利多少元 解 已知A1 10万元 递减梯度量0 5万元 i 10 n 8 则均匀梯度支付的等值年金为A 10 0 5 A G 10 8 10 0 5 3 0045 8 5 万元 0 1 3 2 n 1 n 2G F2 G n 2 G n 1 G 0 1 3 2 n 1 n A2 F2 F2 A F i n A A1 A2 A1 G A G i n G A G i n A2 利息公式小结 一次支付 等额支付 均匀梯度支付 终值公式 现值公式 已知P 求F 已知F 求P F P F P i n P 1 i n P F P F i n 1 P F P i n 年金终值公式 积累基金公式 年金现值公式 资金恢复公式 已知A 求F 已知F 求A 已知A 求P 已知P 求A F A F A i n A F A F i n 1 A F A i n P A P A i n A P A P i n 1 P A P i n 终值公式 现值公式 等值年金公式 已知G 求F F A1 F A i n G F G i n 已知G 求P P A1 P A i n G P G i n 已知G 求A A A1 G A G i n 特别注意P F A G发生的时间点 三 名义利率与实际利率 利率的时间单位与计息周期不一致时 就出现了名义利率和有效利率的概念1 名义利率是指按年计算的利率 即 计息周期为一年 等于每一计息期的利率与每年的计息期数的乘积 例1 每月计息一次 每月计息期的月利率为3 则这3 为实际计息用的利率 称为实际利率 有效利率 但习惯上往往说成 年利率为3 6 3 12 每月计息一次 此处 年利率为3 6 指的是名义年利率 存款每半年计息一次 每半年计息的利率为3 问 其中 实际计息用的利率为多少 名义年利率又是多少 存款每年计息一次 每年计息的利率为5 问 其中 实际计息用的利率为多少 名义利率又是多少 名义利率指年利率 而实际利率并不一定是年利率 在没有特别说明的情况下 年利率一般指名义利率 当计息周期为一年时 即 每年计息一次 名义利率等于实际利率 2 什么是实际利率 有效利率 根据国际 借贷真实法 有 实际利率就是按复利计息的实际利息与本金的比值 例2 对于存款每月计息一次 若每月存款月利率为3 则实际月利率为多少 名义年利率为多少 实际年利率又是多少 解 实际月利率为3 名义年利率为3 12 3 6 为计算实际年利率 首先需计算一年的利息额 对于一个单位的本金 由于一个月计息一次 一年共计息12次 每次计息利率为3 按复利来计算 一年后的本利和为 1 3 12 则其利息为 1 3 12 1 0 0366 故其实际年利率为例3 设本金P 100元 年利率为10 半年计息一次 求实际年利率 解 已知名义年利率为10 半年计息一次 其计息的实际利率为10 2 5 则年末本来和应为 故 年利息为 复利 F P 1 i n 100 1 5 2 110 25 元 F P 110 25 100 10 25 元 终值 现值 利息 并不一定为一年 实际计息周期短于一年时 实际利率要高于名义利率 设名义年利率为r 每年计息期为m 问实际年利率为多少 1 每个计息期的实际利率为多少 2 一年后的本利和为多少 3 其利息I为多少 4 实际年利率为 拓展 设名义利率为r 每年计息期为m 则在该计息周期内实际进行的计息次数为n 与前不同之处在于 则该计息周期的实际利率为 名义利率不能完全反映资金的时间价值 实际利率才能真实的反映了资金的时间价值 终值 现值 利息 例4 某厂向外商订购设备 有两家银行可以提供贷款 甲银行年利率为8 按月计息 乙银行年利率为9 按半年计息 两家银行均为复利计算 试比较哪家银行贷款条件优越 分别计算甲 乙银行的实际年利率 有 i甲 1 r m m 1 1 8 12 12 1 0 0830 100 8 30 i乙 1 r m m 1 1 9 2 2 1 0 0920 100 9 20 所以 选择甲银行贷款 涉及名义利率与实际利率的等值计算 计息期与支付期一致的计算例5 年利率为8 每季度计息一次 每季度末借款1400元 连续借16年 求与其等值的16年末的将来值为多少 解 已知A 1400元 i 8 4 2 n 16 4 64 故F A F A i n 1400 F A 2 64 178604 53 元 解 企业应该选择具有较低实际利率的银行贷款 死套活用 计息期短于支付期的计算例6 年利率为10 每半年计息一次 从现在起连续3年每年年末等额取款500元 问现在应存入银行多少钱才足以实现这目标 先求出支付期的实际利率 为 i实际 1 0 1 2 2 1 10 25 则 P 500 P A 10 25 3 若题中已告知条件 P A 10 3 2 4869 P A 12 3 2 4018 如何求先利用直线内插法求出 P A 10 25 3 故 P 500 P A 10 25 3 500 2 4763 1238 15 元 P 500 0 9070 0 8227 0 7462 1237 95 元 0 0 5 1 1 5 2 2 5 500 3年 500 500 P 500 P F 5 2 500 P F 5 4 500 P F 5 6 解二 解一 每年年末取款500元 可以等效为每半年取款A 500 A F i n 500 A F 5 2 500 0 4847 243 9 元 243 9 243 9 5 0757 1237 97 元 计息期长于支付期的计算 计算原则 相对于投资方来说 1 计息期的存款放在期末 2 计息期的提款放在期初 3 计息期分界点处的支付保持不变例7 已知某财务活动的现金流量图 年利率为12 每季度计息一次 求年末终值F 解 F 300 200 1 4 4 300 1 4 3 100 1 4 2 300 100 1 4 100 112 36 元 解三 0 0 5 1 1 5 2 2 5 500 3 500 500 P 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 P A 0 1 2 3 6 7 11 8 9 10 300 100 4 12月 5 100 100 0 1 2 3 4季 300 300 300 200 100 100 则 P A P A i n P A 5 6 A i实际 1 r m m 1中当m 时 有什么含义 其有效年利率又是多少 相当于复利可以在一年中无限多次的计算 即每时每刻均以复利计息 将这种计息方式称为连续复利 此时 有效年利率为例如 连续复利6 的年实际利率为i e6 1 6 1837 例8 某项目一年借款1000万元 支取时间在该年内连续均匀分布 利息按支取的时间开始连续计息 年名义利率为10 求至年底的本利和 先考虑 借款在改年内分n次均匀支取 每次支取1000 n万元 每个计息期的利率为0 1 n 其现金流量图如右边所示 则 至年底的本利和为F 1000 n F A 0 1 n n 再考虑 对于本题 由题设 即当n 时的情形 故有 0 1 3 2 n 1 n 1000 n F 还款计划例9 某人获得10000元借款 偿还期为5年 利率为10 在以下几种还款方式中 按复利计算此人还款总额和利息总额各是多少 1 第5年末一次还清本利 2 每年末偿还所欠利息 第5年末一次还清本金 解 1 第5年末一次还款总额为F P F P 10 5 10000 1 10 5 16105 1 元 I F P 16105 1 10000 6105 1 元 2 每年年末所偿还的利息为I1 I2 I3 I4 I5 10000 10 1000 元 还款总额为F 10000 1000 5 15000利息为I 15000 10000 5000 元 3 每年年末偿还2000元本金和当年利息 4 每年年末等额偿还本利和 解 3 I1 10000 10 1000 元 I2 10000 2000 10 800 元 I3 10000 4000 10 600 元 I4 10000 6000 10 400