3.三角形中的模型(一)(教师版)鸟头模型.doc

2012暑假 Nice Education 第三讲 三角形中的模型 专题解析本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。典型例题解析 例1：用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形解析：省略。 练习1(1)用三种不同的方法，把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形 解析：省略。(2)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为134(3)如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 解析：124=3（倍）(4)如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？解析：124=3（倍）(5)如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，问：AOB与COD面积是否相等？解析：相等。(6)正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？ 解析：102=5（平方厘米）(7)图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。解析：15+5+15+45=80（平方厘米）(8)如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若，求BEF的面积。解析：BEF的面积为1。 (9)如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？解析：例2 （1）已知三角形ADE的面积是1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形ABC的面积。解析：43（21）1=6（2）在ABC中，D 在AB 的延长线上， E在AC 的延长线上，两个三角形的总面积为250平方厘米。求ABC的面积。解析：250（22+1）=50（平方厘米） 504=250（平方厘米）教学建议：这是鸟头定理第一种类型：两个三角形中有一个角相等，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角)两夹边的乘积之比练习2(1)三角形ABC 中， AB 是AD 的5 倍， AC 是AE 的3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？解析：351=15(2)D是AC的中点，AB边上有3等分点E,已知DCE的面积为20平方厘米，求ABC的面积.解析：20223(22)=60(平方厘米)(3)如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，BD = DC = 4，BE = 3，AE = 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？解析：44=1 63=2 (2+1) (1+1)-1=5(倍)(4)如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 解析：35(32-1)=7 732=42(5)如图，在三角形ABC中，BC等于10厘米，BC边上的高等于6厘米，D在AC上，并且DC=DA，E是BD上一点，BD=3 BE，求三角形BEC的面积。 解析：1062=30 30(23)=5 (6)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且BN是AN的两倍，那么阴影部分的面积等于多少？解析：(7)在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE，DE=BG。已知四边形ABCD的面积为1，求EFG的面积。解析：1 (8) 图中三角形ABC 的面积是180 平方厘米， D 是BC 的中点， AD 的长是AE 长的3 倍， EF 的长是BF 长的3 倍那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？ 解析：22.5(9) 已知四边形ABCD中，CD=3DF，AE=3ED，三角形BFC的面积是6，四边形BEDF的面积为7，求大四边形ABCD的面积。 解析：25 例3已知三角形ABC的面积是9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形AED的面积。 解析：2.25练习3(1) 如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积是多少？（第四届“迎春杯”试题改编题） 解析：12.5(2)如下左图，在ABC 中，D、E 分别是BC、AB 的三等分点，且ABC 的面积是54，求CDE 的面积。解析：12(3)已知正方形ABCD 的边长是5 厘米，又EF=FG，FD=DG，求三角形ECG 的面积。 解析：50 (4)如图在DEF包含着一个面积为1平方厘米的等腰ABC，其中AB=AC，AC：AF=1：3，AB：AD=1：2，BC:CE=1：2，求DEF的面积。解析：16 (5)如图，四边形EFGH包含着一个面积为5平方厘米的四边形ABCD，其中A、B、C、D分别是EB、FC、DG、AH四条线段的三等分点。求四边形EFGH的面积。 解析：65例4如图，ABC与DAE皆为等腰三角形，其中BAD与EAC都是90 度，两个三角形的面积和是450平方厘米。分别求出两个三角形的面积。解析：360练习4(1)如图以ABC 的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知ABC 的面积是10 平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？解析：30 (2)园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由. 解析：相等。例5如图所示，正方形ABCD 边长为8 厘米， E 是AD 的中点， F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？解析：1.5练习5(1)已知DEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求 ABC的面积解析：24(2)如下图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的分之几？解析：。 (3)如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH 的面积是解析：75 (4)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，,三角形DEF的面积为多少平方厘米？ 解析：。 (5)如图，在ABC中，延长AB至D,使BD=AB，延长BC至E,使，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？ 解析：3.5(6)（清华附中入学测试题 ）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于1，则DCF的面积等于多少？解析：0.75 (7)（北京四中入学测试题）如图，书籍CD=5，ED=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两个部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是多少？ 解析：40 专题小结共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 (夹角两边：)即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形中的模型-家庭作业-姓名： (1)三角形ABC被线段DE分成三角形BDE 和四边形ACDE 两部分，问：三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几？ (2)如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积 (3)如图在ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， ，求ABC 的面积(4)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？ (5)已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米，图中阴影部分的面积是多少平方分米？(6)如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E