高压激光电路的拉普拉斯分析.doc

高压激光电路的拉普拉斯分析任大男1，任 韧2（1. 西北大学 数学系，陕西西安 710069；2. 西安交通大学 理学院，陕西西安 710049）摘要：为了避免高压ns电路复杂微分方程问题求解，采用拉普拉斯变换分析激光电路网络，获得了电路各参量关系表达式。通过拉普拉斯变换建立动态模型，将时域的电路模型、变量转换成了复频域的模型、变量。避免了二阶微分、高阶微分方程等经典方法复杂的求解过程和复杂电路暂态响应的繁琐计算，把求解复杂的高压电路微分方程转化为求解方便的代数方程。结果表明电路求解简化，获得了高压ns电路参数的关系表达式。关键词：拉普拉斯变换；电路分析；算法应用；微分方程解中图分类号：O177.6 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2004)0073-07 随着计算数学、各种分析方法和数字信号处理技术的不断发展，拉普拉斯变换在工程分析上日益显露出优势，拉普拉斯变换在计算数学，工程力学，控制论，线性系统等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。对某些问题，它比傅氏变换的应用更加广泛，这是因为它对原函数要求的条件比起傅氏变换弱的缘故。高压ns电路对电路元件，参量要求严格，时变电路求解复杂。目前，应用拉普拉斯变换来分析激光高压ns电路很少，本文通过拉普拉斯分析，对已成形的激光电路进行计算，主要研究了电路计算中拉普拉斯变换的特点，将电路简化，并完成电路各参量关系表达式求解。结论指导了电路电容、电感、电阻选型，对提高电路参数的工程应用效果良好。1拉普拉斯变换及其特点进行傅立叶变换的函数必须在整个数轴上有定义。在许多现象中，我们考虑的是以时间为自变量的函数。例如，一个外加电压从某一时刻起接到电路两端，接通的瞬间作为计算时间的起点,则要研究的是电流在(接通以后)的变化情况，不考虑的情况，。因此，常会遇到仅定义于的函数，或者约定当时函数值恒为零的函数。设为时域电流、电压的参量，而为在频域上的值，即拉普拉斯变换结果。另外，一个函数除了满足狄氏条件收敛外，还要在区间上绝对可积，才存在古典意义下的傅立叶变换，但绝对可积的条件比较强，即使是最简单的函数如单位阶跃函数，正弦函数，余弦函数，以及线性函数等，都不满足这个条件，所以傅立叶变换的应用范围受到较大的限制。现对加工，对它们进行傅立叶变换就能避免上述两限制。第一，根据单位阶跃函数的特点，可将乘，得到，在时等于零，在时，仍为。第二，某个函数之所以不绝对可积，往往是因为当时，其绝对值减小太慢的缘故。由于指数衰退函数有当时，衰减得很快的特点，因此如果用 去乘，则得到的函数当时绝对值就递减得快。对于在实际中所遇到的一些常用函数，经过这样的加工，只要足够大，就能绝对可积。因而对函数 的傅立叶变换，产生了对的拉普拉斯变换。这里, , 对函数 作傅立叶变换，得 （1）其中：；。若再设, 则得。 （2）由式(2)所确定的函数，实际上是由通过另外一种新的积分变换而得到的，是拉普拉斯变换结果，是的拉普拉斯变换。经拉普拉斯变换后的方程又称为像空间的像方程，范围是。拉普拉斯变换原理如图1所示。图1 拉普拉斯变换原理Fig.1 The principle of Laplace transfom由拉氏方程解电路、,只要解一个像空间频域的方程组，运用拉普拉斯变换，可以将某些未知函数和电参数的高阶微分方程消去，在给定初始条件下，单独对电路中一个未知函数如、，求解，用拉普拉斯变换会更简单，快速1。因此, 理论上对于初始条件、边界问题的分析会很快捷，并便于计算机仿真和模拟，对线性数学问题的求解也将极为方便。2用拉普拉斯分析高压激光动态电路网络 用拉普拉斯变换分析、求解动态网络，首先要将时域分析中的电路模型、电路变量转换成复频域分析中的电路模型、电路变量，其中，时域中的电阻在复频域中的阻抗为,时域中的电感在复频域中的阻抗为;时域中的电容在复频域中的阻抗为。此外，在进行电路的复频域分析中，使用导纳的概念，有时会使电路分析更为简捷。当完成电路模型，变量从时域到复频域变换后，就可以直接应用电路分析中的定理、方法(如网孔分析法，节点分析法，迭加原理，戴文宁定理等)分析求解电路。拉普拉斯变换求解电路有两种方法：一是先根据电路及定理写出相应微分方程，拉普拉斯变换简化微分方程求解，最后再拉普拉斯反变换回去，得到时域；二是一开始就将电路中的每个元件取拉普拉斯变换，再运用、定理建立代数方程求解。本文对高压电路的分析采用后者。高压ns级电路是激光电路的重要环节，形式呈现多样化，其特点是在短时间内可以释放很大能量。在对ns 级形成电路分析上只有求出电路充放电的表达式，正确选用电容容量、电感，控制相应电感及寄生电容的增加，才能形成理想的高压ns上升前沿2。采用拉普拉斯变换避免了二阶微分。 要获得高压ns电路，采用图2电路，为求解表达式进行拉普拉斯变换。用运算法求解线性电路的响应时，将拉普拉斯变换式按部分分式展开，并求拉普拉斯逆变换(见图2)。图2 电路分析Fig. 2 Analysis of the circuit其中: 、为分布电容、分布电感；是走线电阻。， ， 电路按通路计算。 根据图2由电路的拉普拉斯变换，设回路的电流为 ，充电电压加载在电容上。 （3）理想情况下、 忽略不计。 （4）由支路的电压分压关系有 （5） （6）由分解定理得到；令 （7）解得结果 （8）另一种情况，若、 、 计入，则有 (9) （10） （11） 设、分别为 的3个根，由拉普拉斯逆变换可求得 在 、给定下， 、 、，结果中3部分分别代表一个稳定的、振荡频率不同的振荡，并随着时间而变化。不难看出：拉普拉斯变换求解类似工程问题，可以避免求高阶微分方程，大大简化了求解过程。此方法对更复杂的问题易于编程，对工程计算中输入函数时变, 有跳跃点和不可微点。传统经典方法无法解决的问题，用拉普拉斯变换求解都很简单。同时，对初值条件不为零和边值条件较多的多元线性阶方程的求解有独到之处；对每一个未知数求解，不需要像解微分方程方法那样，要已知其他未知函数，它可以直接单独求出所需未知参数。拉普拉斯变换问题的收敛解析情况讨论，可通过函数在复频域即复平面中的极点和零点分布进行讨论 这里，,是的零点， ,为的极点。在 中与零点的位置密切相关。平面的横轴为，纵轴为，当极点在复平面即平面左方时，振荡收敛；当极点位于复平面右半平面时，振荡发散。所以，拉普拉斯变换结果函数的零点、极点分布对线性系统的分析具有重要意义，它决定了线性系统的时域响应和稳定收敛特性，对讨论稳态响应具有重要意义3, 4。结合收敛性分析，不同的、可得出不同结果。回路电感和电容对电路的影响是相同的，要实现ns量级脉冲必须减小和电感,减小容抗、感抗，采用快动作开关 。3 结 语 通过分析表达式的回路电阻、容抗、感抗影响电压的幅值，电阻大使电压脉冲的高度减小，同时可以使过冲降低，电路必须用上述低电感，小回路电容，以及快速动作开关实现。拉普拉斯变换简化了求解，并为高压激光动态电路网络的解决提供了新方法。参考文献：1 南京工学院数学教研组. 积分变换M. 北京：高等教育出版社, 1989. 9-70.2 周孔章. 电路原理 M . 北京：高等教育出版社, 1984. 30-96.3 赵志岗. 薄板动态热耦合弯曲问题的拉普拉斯变换有限元法J. 固体力学学报, 1997, 18(2):183-187.4 赵连成. 第二拉普拉斯变换及其应用J. 工科数学, 1999, 15(2): 147-153. (编辑曹大刚)Analysis of high voitage laser circuit by using Laplace transformREN Da-nan1, REN Ren2(1. Department of Mathematics, Northwest University, Xian 710069, China; 2. School of Science, Xian Jiaotong University, Xian 710049, China)Abstract: The differential equation of high voltage ns circuit parameters is predigested by Laplace transform.The parameters expression is obtained. A new dynamic model is set up by using Laplace transform in the transition procedure of circuit, which transforms the model and variables of time domain to the model and variables of frequency domain, and avoids solving complex differential coefficient equation. The results show that the complicated differential equation can be changed to be the simple algebra equation. The relationship of the parameters of high voltage ns circuit is given. Key words: Laplace transform, circuit analysis, a