高数试题及答案十套.pdf

高等数学 下 试卷一 一 填空 18 分 1 已知 22 yxxyyxf 则 yxf 2 设 1 22 yxyxD 则由估值不等式得 D dyx 14 22 3设 是 锥 面 222 zyx 被 平 面1 z所 截 得 立 体 表 面 的 外 侧 则 zdxdyydzdxxdydz 4 级数 1 1 1 n n n 的和为 5把函数 x 1 1 展开成x的幂级数得到 x1 1 6 已知四个函数xxee xx cos sin 是某个四阶齐次线性微分方程的特解 则该微分方程为 二 选择题 18 分 1 有且只有一个不连续点的函数是 A x y B ln 22 yxex C yx x D xyarctan 2 旋转抛物面422 22 yxz在点 0 1 1 处的法线方程为 A 14 1 4 1 zyx B 14 1 4 1 zyx C 14 1 1 1 zyx D 44 1 1 1zyx 3 改换积分 1 0 1 1 2 2 y y dxyxfdy的次序 则下列结果正确的是 A 2 1 0 1 1 x dyyxfdx B 2 1 1 x x dyyxfdx C x x dyyxfdx 1 3 1 D 2 12 1 x x dyyxfdx 4 若 L 是抛物线 2 xy 上10 x的弧段 则 Lxds A 155 12 1 B 155 C 12 1 D 155 8 1 5 下列级数中收敛的是 A 1 8 84 n n nn B 1 8 84 n n nn C 1 8 24 n n nn D 1 8 42 n n nn 6 微分方程0 2 2 2 y dx yd 的通解为 其中 12 ccc是任意常数 A xcy cos B xcy sin C xcxcy sincos 21 D sin cosxxcy 三 计算与求解 49 分 1 抛物面 22 yxz 被平面1 zyx截成一个椭圆 求原点到这个椭圆的最长距离与 最短距离 2 计算 222 dxdydzzyxI 其中0 1 2 2 2 2 2 2 zyx c z b y a x 3 如果 是柱面1 22 yx被平面0 z和3 z所截得的部分在第一卦限内的前侧 计 算 xdydzydxdzzdxdy 4 求幂级数 n n xn 1 2 的收敛区间及和函数 5 讨论 11 1 n n a 在0 a时的敛散性 6 求微分方程2323 xyyy的通解 7 计算dxdyyx D 2 22 其中3 22 yxD 四 10 分 设曲线积分 ydyxfydxexf L x cos sin 与路径 L 无关 其中 xf具 有一阶连续导数 0 0 f 求 xf的表达式 五 5 分 设 uxFxyz 而 x y u uF可导 求证 xyz y z y x z x 高等数学试题一解答 一 1 y yx 1 1 2 53 42ln5 0 n n x60 4 yy 二 1 B2 B3 A4 A5 C6 C 三 1 令 1 2 22 1 222 zyxzyxzyxzyxF 由 32 2 31 01 0 02 022 0122 22 21 21 2 2 1 zyx zyxF zyxF zF yyF xxF z y x 359 32 32 2222 zyx 故所求距离的最大值为359 最小 值为359 2 由于 33 2 2 0 2 2 0 2 15 2 5 1 3 1 1 abccabdz c z abzdxdyzdzdxdydzz c zD c 同理 cabdxdydzybcadxdydzx 3232 15 2 15 2 所以 15 2 222 cbaabcI 3 2 3 cos3131 2 0 2 1 0 2 1 0 3 0 2 ddyydzdyyxdydzxdydzydzdxzdxdy 4 1 1 lim 2 2 n n R n 当1 x时 级数成为 2 1 1 n n n 发散 所以收敛区间为 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 1 x xx x x xxxxxnxxxnxxS n n n nn n 5 当1 a时 0 2 1 1 1 lim n n a 所以级数发散 当10 a时 1 1 1 1 lim nn n aa 而 1 1 n n a 在1 a时收敛 所以1 a时 11 1 n n a 收敛 6 先求出齐次方程023 yyy的通解为 xx ececy 2 2 11 后求特解 y 设 baxy 4 1 2 1 4 1 2 1 2223 xybaxbaxa 所以原方程的通解为 4 1 2 1 2 2 1 xececy xx 7 原式 32 22 2 22 2222 2 2 yxyx dxdyyxdxdyyx 2 5 2 2 3 2 2 2 0 2 0 2 rdrrrdrrd 四 由条件 yxfyexf x cos cos x exfxf xx ceexf 2 1 由 2 1 0 0 cf 2 xx ee xf 五 因为 2 uF x y uFy x y uxFuFy x z 1 uFx x uFx y z 所以xyz y z y x z x 高等数学 下 试题二 一 填空题 18 分 1 11 lim 0 0 xy xy y x 2 由二重积分的几何意义得到 1 43 2 2 2 2 yx d 3 设 L 为连接两点 1 0 0 1 的直线段 则 L dsyx 4 设 cos cos 2 xzxyeA xy 则 Adiv 5 据欧拉公式有 i e 6 微分方程02 yyy的通解为 y 二 选择题 18 分 1 设fzyxfz 可微 则 x z A x f B y f x f C 1 z f x f D 1 z f x y y f x f 2 设n 是曲面632 222 zyx在点 P 1 1 1 处指向外侧的法向量 则 z yx u 22 86 在点 P 沿方向n 的方向导数为 A 0 B 7 11 C 11 7 D 2 3 设 222 ayxyxD 则当 a 时 D dxdyyxa 2 222 A 1 B 2 C 3 3 D 3 2 3 4 如果 L 为圆周1 22 yx 则 dsyx L 22 A 2 B 2 C 22 D 2 2 5 若级数 1n n u收敛 则下列级数中 收敛 A 001 0 1 n n u B 1 1000 n n u C 1n n u D 1 1000 n n u 6 微分方程02 yyy的通解是 A xx ececy 2 21 B 2 21 xx ececy C 2 21 xx ececy D xx ececy 2 21 三 计算与求解 49 分 1 求椭球面12 222 zyx上平行于平面02 zyx的切平面方程 2 设 2 xxxxf的傅里叶级数为 sincos 2 1 0 nxbnxa a n n n 求系数 3 b 3 求微分方程 x xeyyy 2 65 的通解 4 求幂级数 1 2 3 n n n x 的收敛区间与收敛半径 5 计算球面9 222 zyx与旋转锥面 222 8zyx 之间包含z轴的部分的体积 6 设2sin23 323 yxyxyxz 求dz y z yx z x z 2 22 7 计算dszyI L 22 2 其中 L 为球面3 222 zyx与平面yx 相交的圆周 四 10 分 设 xf可微且满足dtxttfdttfx xx 00 求 xf 五 5 分 证明dyyxxydxxyyx sinsin2 coscos2 22 是某个函数 yxu的全 微分 并求出 yxu 高等数学试题二解答 一 1 2 2 12324 sin 2 sin 2 xzxzxyyye xy 5 16 xx ecec 2 21 二 1 C2 B3 C4 B5 B6 B 三 1 设切点为 000 zyx 则tzyx 2 1 1 2 4 2 000 tztytx 000 4 1 2 1 代入曲面方程得到 11 22 811 2 tt 切平面的方程为 2 11 2 zyx 2 0 2 3 3cos 3 2 3sin 1 sin 1 xxdxdxxnxdxxxb 3 2 3cos 3 2 0 xx 3 先求出065 yyy的通解 xx ececy 3 2 2 11 后求特解 y 设 x ebaxxy 2 则 xx ebaxbaaxyebxbaaxy 22 22 42 48 4 22 2 代入得到 x exybaxbaax 22 1 2 1 1 2 1 22 所以原方程的通解为 xxx exxececy 223 2 2 1 2 1 42413 3 1 3 lim 22 1 xx n x n x nn n 当4 x和2 x时级数 收敛 所以收敛区间为 2 4 收敛半径为1 2 4 2 R 5 由 3 1 cos 1 8 9 222 222 z zyx zyx 因此 24sin2 3 1 arccos 0 3 0 2 2 0 drrddV 6 dyyyxydxyxdzyyxy y z yx x z cos36233 cos36 233 222222 yyx y z y yx z sin66 6 2 22 7 由32 3 22 222 zy yx zyx 因此 632333 LL dsdsI 四 xx x x duufxduuufduufxuxtudtxttf 00 0 0 1 0 xfxfxfxfxfdttfxf x xcxcxfxfxfsincos 0 21 而1 0 1 0 ff xxxfsincos 五 因为 x Q xyyx y P yxxyQxyyxP cos2sin2sinsin2 coscos2 22 所以dyyxxydxxyyx sinsin2 coscos2 22 是某个函数 yxu的全微分 并且 Cxyyxyxu sincos 22 高等数 下 学试题三 一 填空题 18 分 1 设 22 yx x xyyxf 则 1 0 x f 1 0 y f 2 交换积分 x dyyxfdx 1 0 1 0 的次序成为 3 如果dyxedxye xyxy 是函数 yxu的全微分 则 yxu 4 级数 1 2 1 1 1 n n nn 的和为 5 设 xf是以 2为周期的周期函数 在 上的表达式为 RR为半径的圆周 取逆时针方 向 5 求幂级数 1 12 n n n x 的收敛区间和收敛半径 6 判别级数 cos1 1 n n 的敛散性 7 求微分方程xyy2cos 的通解 四 5 分 设 vu 具有连续偏导数 求证 由方程0 bzcyazcx所确定的函数 yxfz 满足c y z b x z a 五 10 分 设 xf具有二阶连续导数 1 0 0 0 ff 且 dxxyfxyyx 22 0 2 dyyxxf是一阶全微分方程 求 xf及此全微分方程的通解 高等数学试题三解答 一 1 2 02 dxyxfdy y 1 0 1 0 3 cexy 4 05 16 x xe2 3 1 二 1 D2 B3 A4 C5 B6 A 三 1 设矩形的长为x 宽为y 绕y轴旋转而得的圆柱体的体积为yx2 问题即是求 yxV 2 在pyx2 之下的极大值 令 2 2 pyxyxyxF 则由 pypxpyxyx pyxF xF xyF y x 3 1 3 2 2 2 02 0 02 2 所以矩形的边长分别为pp 3 1 3 2 且绕短边旋转使体积达到最大 2 60 1 2 1 3 0 22 0 22 abc dz c z zabdxdydzzdxdydzz c zD c 同理 60 60 3 2 3 2 cab dxdydzy bca dxdydzx 所以 60 222222 cba abc dxdydzzyx 3 由2 1022 22 yyyxyxy 2 1 52 22 1 2 2 1 2 dyyyyxdxydyxydxdy y yD 8 5 5 6 1 2 3 4 4 1 2 1 2 1 6234 yyyy 4 添加曲线 C 222 4 yx 为很小的正数 的负向 由于 2222 4 4yx x Q yx y P 0 0 4 4 222 22 yx x Q yx xy y P 因此 0 4 22 dxdy y P x Q yx ydxxdy D CL 格林公式 所以 d yx ydxxdy yx ydxxdy yx ydxxdy CCL 2 0 2 2222 222222 2 sincos 444 501112 12 1 12 lim 1 xx n x n x nn n 当1 x时 1 12 n n n x 收敛 当0 x时 1 12 n n n x 发散 所以收敛区间为 0 1 收敛半径为 2 1 R 6 因为 2 1 0cos1 n n 且当 n时 2 2 2 2 2 sin2cos1 nnn 而 1 2 2 2 n n 收敛 所以 cos1 1 n n 收敛 7 先求0 yy的通解xcxcysincos 211 令xbxay2sin2cos 则 xbxayxbxay2sin42cos4 2cos22sin2 代入得到 xybaxxbxa2cos 3 1 0 3 1 2cos2sin32cos3 因此原方程的通解为xxcxcy2cos 3 1 2sincos 21 四 两边对x求偏导 2 1 1 2 1 0 ba c x z x z b x z ac 同理 c ba bcac x z y z x z ba c y z 2 1 2 1 2 1 2 五 由于 0 2 22 dyyxxfdxxyfxyyx是一阶全微分方程 所以 2sincos 2 2 2 21 2 2 xxcxcxfxxfxfxyxfxfxyx 由2sincos2 1 21 0 0 0 2 21 xxxxfccff 因此原方程为 0 2cossin2 2 sincos2 22 dyyxxxxdxyyxxxy 所 以原方程的通解为Cyxxyxyxy 22 2 1 2cossin2 高等数学 下 试题四 一 填空题 18 分 1 设 y x yxfarctan 则 1 1 df 2 曲面1 222 zyx2 在点 2 2 2 处的切平面方程为 3 设 2 20 yxxyxD 则 D y dxdye 2 4 如果 是从点 1 2 3 到点 0 0 0 的直线段 则 ydzxdyydxx 223 3 5 幂级数 1 12 12 n n n x 的收敛区间为 6 以 xx eyxey 为特解的二阶线性齐次微分方程为 二 选择题 18 分 1 在点处 yxf可微的充分条件是 A yxf的所有二阶偏导数连续 B yxf连续 C yxf的所有一阶偏导数连续 D yxf连续且 yxf对yx 的偏导数都存 在 2 已知 222 zyxzyxu 则 ugrad A zyx2 2 2 B 222 444zyx C zyx D 1 1 1 3 设 D 41 22 yx 则 dxdyyx D 22 A drrd 1 0 2 2 0 B drrd 4 1 2 2 0 C drrd 2 1 2 2 0 D drrd 2 1 2 0 4 设 L 是圆周 xyx2 22 的正向 则 dyyxdxyx L 33 A 2 B 0 C 3 D 2 5 将函数 2 x exf 展开成x的幂级数得到 A 0 2 n n n x B 0 2 1 n nn n x C 0 n n n x D 0 1 n nn n x 6 函数 xx ececy 21 是微分方程 的通解 A 0 yy B 0 yy C 0 yy D 0 yy 三 计算与求解 49 分 1 设方程zyxzyx32 32sin 2 确定函数 yxzz 求 y z x z 2 求表面积为 2 a的体积最大的长方体的长 宽 高 3 计算dxdydzz 2 其中0 2222 zRzyx 4 计算dSzyx coscoscos 222 其中 为锥面 222 zyx 介于0 z到 3 z之间部分的下侧 cos cos cos为 在点 zyx处的法向量的方向余弦 5 求幂级数 n n x n n 2 1 12 的收敛区间与和函数 6 求微分方程 x eyyy 2 6 的通解 7 设 xy evxyuvufz sin 2 vuf可微 求 y z x z 四 10分 设 xf连续可微且2 0 f 曲线积分 C dyxfdxxxyfxy tan 2sin 与路径C无关 求 xf 五 5 分 如果二重积分 dxdyyxf D 中的被积函数 21 yfxfyxf 积分区域为 D dycbxayx 求证 d c b a D dyyfdxxfdxdyyxf 21 高等数学试题四解答 一 1 2 1 dydx 2 06 zyx3 2 1 4 e 4 4 31 5 1 1 6 02 yyy 二 1 C2 A3 C4 D5 B6 B 三 1 两边对x求偏导数 3 1 31 31 32cos 2 x z x z x z zyx 同理有1 3 2 y z x z y z 2 设长方体的长 宽 高分别为zyx 则2 2 azxyzxy 长方体的体积xyzV 问题即求xyzV 在2 2 azxyzxy 之下的极值 令 2 2 azxyzxyxyzzyxF 由azyx azxyzxyF yxxyF zxxzF zyyzF z y x 6 6 02 0 0 0 2 即长方体的长 宽 高都是a 6 6 时 体积最大 3 5 0 222 0 22 15 2 2222 RdzzRzdxdydzzdxdydzz R zRyx R 4 添加曲面3 9 22 zyxS的上侧 在曲面S 上用高斯公式得 3 222 22 2 2 2 coscoscos yx DS dzzyxdxdydxdydzzyxdSzyx xy 2 81 813cos coscoscos 22222 dxdydSzdSzyx xy DSS 所以 2 81 coscoscos 222 dSzyx 5 1 32 12 lim n n n n R n 收敛区间为 1 12 12 22 2 1 2 1 12 1 2 xx n n n n n n exex n x x n x x n n 6 解06 yyy得通解 xx ececy 3 2 2 11 令 x axey 2 则 x exay 2 12 5 1 16 12 44 44 2 aaxxaxaexay xx xey 2 5 1 所以原 方程的通解为 xxx xeececy 23 2 2 1 5 1 7 xy vu xy vu xefxyxyf y z yefxyyf x z 2 22 cos 2 cos 四 xxfxxfxxfxxfxfQxxyfxyP2sin tan tan 2sin tan 2sin coscos2 2 xcxxf 由xxfcf 2 cos2 02 0 五 d c b a d cD b aD dyyfdxxfdyyfxfdxdxdyyfxfdxdyyxf 212121 高等数学 下 试题五 一 填空题 18 分 1 设 ln 2 yxz 则 1 1 dz 2 设 222 zyxzyxf 则 0 1 1 fgrad 3 如果4 22 yxD 则 dxdye D yx 22 4 设 是球面 2222 azyx 则曲面积分 dSzyx 222 5 若幂级数 0n n nx a在3 x时收敛 则幂级数 0n n nx a在3 RRzzyx围成的公共区域 5 计算 zdxdyydzdxxdydz 其中 是锥面 222 2zyx 被平面2 z截得部分 的表面下侧 6 求幂级数 1 1 n n nn x 的收敛区间及和函数 7 求微分方程 2 4xyy 的通解 四 5 分 设 xf可积 且在 上恒有 xfxf 求证 在 xf的傅里叶 级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 中 成立 2 1 0 12 na n 五 10 分 设 函 数 xf在0 x时 连 续 对 任 意0 x的 闭 曲 线 C 有 C dyxxfydxx0 4 3 且2 1 f 求 xf 高等数学试题五解答 一 1 dydx 2 1 2 0 2 23 1 4 e 4 4 4a 5 绝对收敛 6 x ebax 2 二 1 B2 B3 A4 B5 A6 D 三 1 这里的方向 3 1 coscoscos1 1 1 l 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 4 e z u e y u e x u 所以 2 1 1 2 3 e l u 2 设所求的点为 yx 距离的平方和为f 则 5 162 2 22 yx yxf 由 0 5 162 4 2 0 5 162 2 2 yx yf yx xf y x 5 16 5 8 yx 即所求的点为 5 16 5 8 3 原式 dxdy e D yx 1 22 max 2 其中 xyxyxD 0 10 1 122 0 1 0 1 0 22 edxxedyedx x xx 4 在 2 0 R z 时 222 1 2 zRzyxzS 在 Rz R 2 时 2222 2 zRyxzS 所以 2 0 22 2 222 2 2 2 0 22 2 21 RR RzS R RzS R dzzRzdzzRzzdxdydzzdxdydzzdxdydzz 5 480 59 R 5 添加平面2 4 22 1 zyx的上侧 在 1 上用高斯公式得到 2422 3 1 33 2 1 dxdydzzdxdyydzdxxdydz 而 24 11 zdxdyzdxdyydzdxxdydz 所以 0zdxdyydzdxxdydz 61 2 1 1 1 1 lim nnnn R n 而当1 x时 级数 1 1 n n nn x 都收敛 所以收 敛区间为 1 1 令 1 1 n n nn x xS 1 1 1 n n nn x xxSxf 则 x xxf n n 1 1 1 1 于是 1 00 1 1ln 1 1 xx x x xS 7 求出04 yy的通解为xcxcy2sin2cos 21 设特解cbxaxy 2 则 aybaxy2 2 代入得到 8 1 0 4 1 4442 22 cbaxcbxaxa 8 1 4 1 2 xy 所以原方程的通解为 8 1 4 1 2sin2cos 2 21 xxcxcy 四 由于 0 0 cos 1 cos 1 cos 1 nxdxxfnxdxxfnxdxxfan 而 000 0 cos 1 cos 1 cos cos nxdxxfnuduufdxnxnufxunxdxxf nn 2 1 0cos 1 1 12 0 nanxdxxfa n n n 五 由条件可知 4 3 xxfxfx 4 1 2 xxf x xf 由0 1 xf x xf x c xf 令 x xc xf 则 cxxcx x xc 42 4 x c xxf 3 因为2 1 f 所以 x xxfc 1 1 3 高等数学高等数学课程试题六六 一一 15151515分 是非题分 是非题 1 若ckyxf kxy lim 0 则必定不存在 lim 0 0 yxf y x 2 若 yxfz 在点 00 yx处 y f x f 存在且连续 则 yxfz 在点 00 yx处全微分存在 3 对D上的任意连续函数 yxf都有 1 4 DD dxdyyxfdxdyyxf 其中1 22 yxD 1 22 1 yxD且0 0 yx 4 在微分方程的通解中 含有任意常数的解 则称为微分方程的通解 5 若0 lim n n u 则级数 1n 收敛 二二 15151515分 单项选择题分 单项选择题 1 曲面1232 222 zyx上 点 1 2 1 处的切平面方程是 A 24682 zyxB 0682 zyx C 1234 zyxD 1234 zyx E 1232 zyx 2 设 cos cos yxyx 下列各式哪些正确 2 2 x 2 2 y 2 2 x yx 2 2 2 y xy 2 A 正确 B 只有 正确 C 与 都正确 D 与 都正确 E 都正确 3 1 0 2 2 1 1 dx n xxx n A 1 B e C 2 e D 1 e E e 3 1 4 求D是由两坐标轴和直线1 yx所围成的三角形区域求 D xydv A 2 1 B 12 1 C 8 1 D 6 1 E 24 1 5 用待定系数法解微分方程xeyyy x 2cos52 时 应假设其特解 y的形式为 A xAex2cos B xAex2sin C 2sin2cos xBxAex D 2sin2cos xBxAxex E 2sin2cos 2 xBxAex x 三 计算题 三 计算题 30303030 分 分 1 改变积分 y y dxyxfdy 21 1 3 的次序 2 设 x y efZ xy 其中f存在二阶连续偏导数 求 yx z 2 3 求曲面zyx 22 4 22 yxD及xoy平面所围成的立体体积 4 计算曲线积分 L dyxydx 2 其中L是抛物线 2 xy 上从点 1 1 A到点 1 1 B 再沿直 线到点 2 0 C所构成的曲线 5 zyxf在 上连续 试分别用直角坐标 极坐标和球坐标将I表示成三次积分的形 式 四 18 分 1 求级数 1n n n x 的收敛域 并求出它的和函数 由此求出 32 33 1 32 1 31 1 的和 2 将 x x xf 2 0 2 0 1 在 0 上展开成傅立叶级数 并求出它的和函数 五 10 分 一质量为m的物体从水面由静止状态开始下降 所受阻力与下降速度成正比 比 例系数为k 求物体下降深度x与时间t的函数关系 六 12 分 设 xf二 次 可 微 0 of 1 of 又 设 曲 线 积 分 0 0 2 1 yx dyxfdxxf x xy 与路径无关 1 确定函数 xf 2 计算如上曲线积分 高等数学高等数学试题六参考答案与评分标准试题六参考答案与评分标准 一 是非题 15 分 每题 3 分 1 2 3 4 5 二 单项选择题 15 分 每题 3 分 1 D 2 A 3 D 4 E 5 D 三 30 分 每题 6 分 1 yxy y D 2 11 3 3 1 11 xy x 或 xy x 21 31 2 分 1 11 3 x dyyxfdxI 3 1 2 1 x dyyxfdx 6 分 2 2 21 x y fyef x z xy 2 分 xyxyxyxy xyefefye x fxef yx z 111211 2 1 2 22 2221 1 1 f xx y x fxef xy 22 3 2 2 111 2 1 1 f x y f x fexyfxye xyxy 6 分 3 4 2 0 2 0 222 22 8 yx dddxdyyxV 6 分 4 0 1 2 1 1 222 2 2 dxxxdxxxxdyxydx L 4 分 6 7 6 分 5 直角坐标系下 a a xa xa yxa dzzyxfdydxI 22 22 222 0 2 分 极坐标系下 2 000 22 sin cos aa dzzfddI 4 分 求坐标系下 2 0 2 00 2 sin cos sinsin cossin a drrrrrfddI 6 分 四 12 分 1 11 1 lim R n n n 1 分 收敛域为 1 1 2 分 1ln 1 00 1 2 0 x x dx dx n x dxxSxS xx n x 7 分 令 3 1 x 2 3 ln 32 1 31 1 3 1 1 2 1 n n n 10 分 2 2 1 0 nbn 1 分 1 2 0 0 dxxfa 3 分 2 1 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 0 n n n nxdxnxdxxfan 5 分 xf 2 2 1 2 0 2 0 1 cos 2 sin 2 2 1 1 x x x nx n n n 8 分 五 10 分 0 0 0 0 2 2 t x dt dx x g dt dx m k dt xd 4 分 21 cecx t m k 6 分 t k mg x t k mg cecx t m k 21 8 分 1 2 2 t m k eg k m t k mg x 10 分 六 12 分 1 1 2 xf x xy P xfQ 1 分 由 x Q y P 有 1 2 xf x x xf 4 分 又0 0 f1 0 f 5 分 1ln 2 1 1 2 22 xxx x xf 8 分 2 原曲线积分yxdyx y 2 1 22 1 0 2 1 1 12 分 高等数学课程试题七 一 是非题 一 是非题 20202020 分 分 1 设 22 yx y P 22 yx x Q 因为 y P x Q 所以 1 22 0 yx QdyPdx 2 级数 1n n u的部分和数列 n S有界 则级数 1n n u收敛 3 yxfx yxfy在 00 yx连续 则 yxf在 00 yx处可微 4 若 21 y y是0 QyyPy的两个特解 则此方程通解为 2211 yCyC 5 2222222 222 2 ayxazyx dxdyyxazdxdy 外侧 二 单项选择题 二 单项选择题 20202020 分 分 1 2 ln cos n nn n A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 可收敛也可能发散 2 1 1 1 1 n n n n x 的收敛域为 A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 2 3 由方程 x z x y F 0 确定隐函数 yxzz F 为可微函数 求 y z y x z x A z B zC x D x 4 设 2 2zxy 则 在点 1 1 2 处方向导数的最大值为 A 62B 4C 2 4 2 D 以上都不对 5 设函数 yxfz 在点 yx不连续 则在点 yx处 A 偏导数一定不存在B 全微分一定不存在 C 至少有一个方向的方向导数不存在D 以上说法都不对 三 填空题 三 填空题 20202020 分 分 1 交换积分次序 2 2 0 2 10 1 0 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 设可微函数 ztzyyxfw 则 t w z w y w x w 3 xeyyy x 5sin54 2 通解 yYy 其中 Y y 4 axxa dzyxzdydx 0 22 2 00 2 柱面坐标下为积分为 5 设由02 zxy eze确定 yxfz 则dz 四 10 分 已知一立体由球面 22 2yxz 和锥面 22 yxz 所围成 其密度 22 yx 求该立体的质量 五 10 分 计算 dydzzxdxdyzy 其中 是平面1 zx 曲面xy 及坐 标面0 0 zy所围成立体的外表面 并除去0 z那个表面 六 10 分 设 x 二次可微 对任意闭曲线 C 有0 2 2 dyxxdxxy c 且 1 1 2 1 求 x 七 10 分 确定级数 1 1 65433221 1 1 5432 nn xxxxx n n 的收敛域 并求 和函数 高等数学 下 试题七参考答案与评分标准高等数学 下 试题七参考答案与评分标准 一 是非题 20 分 每题 4 分 1 2 3 4 5 二 单项选择题 20 分 每题 4 分 1 B 2 B 3 B 4 A 5 B 三 填空题 20 分 每空 4 分 1 1 0 11 2 2 y y dxyxfdy 2 0 3 x x cecY 2 5 1 xxey x 5sin 40 1 5cos 60 1 9 1 2 4 a zdzdd 0 cos2 0 2 2 0 5 dy e xe dx e ye z xy z xy 22 四 10 分 drrddM 2 4 0 2 0 3 2 0 sin 6 分 1 2 2 10 分 五 12 分 0 2dxdyzydvI 4 分 xxx ydydxdzdydx 0 1 0 1 00 1 0 2 8 分 60 47 10 分 六 10 分 022 2 xx 4 分 令 t ex 解得xc x cx 2 2 1 1 6 分 由初值 3 5 3 1 21 ccx x x 3 51 3 1 2 10 分 七 1 2 1 1 lim nn nn n 2 分 1 R 收敛域为 1 1 4 分 1 1 11 1ln 1 x xxx xS 10 分 高等数学课程试题八 一 一 单项选择题 单项选择题 20202020 分 分 1 下列级数中条件收敛的是 A 1 1 1 n n n n B 1 1 1 n n n C 1 2 1 1 n n n D 1 1 nn 2 4 22 22 yx yx de 的值为 A 1 2 4 e B 1 2 4 e C 1 4 e D 4 e 3 若0 0 0 yy xx x f 0 0 0 yy xx y f 则在点 00 yx处函数 yxf是 A 连续 B 不连续 C 可微 D 都不定 4 函数 2233 33yxyxZ 的极小值点 B 0 0 B 2 2 C 2 0 D 0 2 5 曲线积分 c dsyx 22 其中c是圆心在原点 半径为a的圆周 则积分面积是 A 2 2a B 3 a C 3 2a D 2 4a 二 二 填空题 填空题 20202020分 分 1 二元函数 yxfz 在点 yx的全微分存在的充分条件是 2 23 9124 2 2 3 xeyyy x 的特解 y可设作 y 3 设 sin yxyexf z 则du 4 若 xf在 上满足狄里赫条件 则 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a x xfx x 的间断点为 为连续点 5 在xoy平面上 则由曲线 2 xy 与 2 4xy 所围成区域的面积为 三 12 分 已 知 xfy 所 表 示 的 曲 线 与 直 线xy 相 切 于 原 点 且 满 足 sin2 xfxxf 求 xf 四 12 分 计算曲线积分 L yx ydyxdx 22 其中L为下图所示 起点 A 1 1 终点 B 2 2 B 2 2 A 1 1 五 14分 计算面积 xzdxdyyzdzdxxydydz其中 为 0 0 0 1 zyxzyx所围立体的外侧 六 10 分 计算dxedy y x 11 0 2 七 12 分 求级数 1 1 n n x n n 在其收敛域1 x中的和函数 高等数学 下 试题八参考答案及评分标准高等数学 下 试题八参考答案及评分标准 一 单项选择题 20 分 1 B 2 C 3 D 4 B5 C 二 填空题 20 分 1 y z x z 在该点连续 2 2 2 3 2 CBxAxex x 3 dzyefdyyxfefdxyff xx 23231 cos sin 4 2 0 0 2 0 0 ff xfxf xf 5 3 8 三 12 分 xyysin2 ir 2 1 2 分 设 sincos xcxbxay 代入方程得0 2 1 2 cba 5 分 于是通解为 x x xcxcycos 2 2sincos 1 7 分 由0 0 x y则1 0 x y得 2 3 2 21 cc x x xxxfcos 2 2sin 2 3 cos2 12 分 四 12 分 2222 yx y Q yx x P x Q yx xy y P 222 2 4 分 积分与路径无关 由于dy yx dx yx x yxdyxd 2222 22 2 ln 8 分 L yx ydyxdx 2ln2ln8ln 1 1 2 2 22 12 分 五 14 分 zxdxdyyzdzdxxydydz dxdydzzyx 8 分 8 1 1 0 1 0 1 0 yxx dzzyxdydx 14 分 六 10 分 Y xy X dxedy y x 11 0 2 D x dve 2 5 分 dyedx x x 0 1 0 2 dxxex 1 0 2 1 2 1 e 10 分 七 12 分 x S 1 1 n n x n n 1 1 1 1 n n x n 1n n x 1 11 n n x x n x 1 1 n n n x 5 分 令 1 xS 0 1 1 n n n x x x xxS n n 1 1 1 8 分 1 xS ln xx 则 1 1 n n n x x xn x x n n sin 1 1 1 1 1 xS 1ln 1 1 1 x xx 12 分 高等数学高等数学课程试题九九 一 单选题 一 单选题 15151515 分 分 1 表达式dyyxQdxyxP 为某一函数的全微分的充要条件是 A x P y Q B y P x Q C x P y Q D y P x Q 2 变换二次积分dyyxfdx xa 00 的积分次序后可化为 A dxyxfdy a y a 0 B dxyxfdy ya 00 C dxyxfdy xa 00 D dxyxfdy y a a 0 3 在空间直角坐标系中 以 zyx 为密度的空间物体 对x轴的转动惯量可表示 为 A dvx2 B xdv C dvzy 22 D dvzy 22 4 若级数 1n n u和 1n n V都发散 则 A 1 n nn Vu必发散 B n n nV u 1 发散 C nn Vu必发散 D 以上说法都不对 5 若函数 yxf在区域D内具有二阶偏导数 2 2 x f 2 2 y f 2 yx f 2 xy f 则 A 必有 yx f 2 xy f 2 B yxf在D内连续 C yxf在D内可微D A B C 结论都不对 二 填空 二 填空 15151515分分 1 dv 其中 是由 2222 Rzyx 所围成的有界区域 2 设函数 1 0 1 1 n n a a 当a 时收敛 5 方程 x eyyy 423的特解形式为 三 计算题 三 计算题 32323232 分 分 1 设函数 xyyxf 具有二阶连续偏导数 求 x u yx u 2 2 计算dxdyzdzdxydydzx 3 33 其中 是球面 2222 Rzyx 的外侧 3 计算 L yx ydxxdy 22 其中L是沿曲线1 22 yx正向一周 4 D dxdy x xsin 其中D是由xy 和 2 xy 所围成 四 16 分 1 计算dsyx C 其中C是以 O 0 0 A 0 1 B 1 0 为顶点的三角形区域 按顺时 针方向的周界 2 求微分方程0sinln xdyydxy的通解 五 10 分 求证 在曲面1 xyz上任一点 000 zyx处切平面与三坐标面围成立体体积V 为一定值 六 12 分 求级数 4322 16 9 8 33 4 3 2 xxxx的收敛半径及和函数 高等数学 下 试题九参考答案几评分标准高等数学 下 试题九参考答案几评分标准 一 单项选择 15 分 1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 二 填空题 15 分 1 3 3 4 R 2 0 3 2211 ycycy 4 1 5 x eBAxx 三 32 分 1 yff x u 21 4 分 222211211 2 ffxyf yf xf yx u 8 分 2 由高斯公式可得dxdyzdzdxydydzx 333 5 2 000 4222 5 12 sin3 3Rdrrdddvzyx R 8 分 3 2 1 sincos 2 0 2 0 22 22 dtdt tt yx ydxxdy c 8 分 4 dy x x dxdxdy x x x x D 2 sinsin 1 0 4 分 dx x x y x x 2 1 0 sin dxxxx 1 0 sin sin 1 0 sin 0 1 cosxdxxx 0 1 sincos 1cos1xxx 1sin11sin1cos1cos1 8 分 四 A 1 OB BAOBAOc dsyx 2 分 1 0 xdx 1 0 ydy122 1 1 0 dxxx 8 分 2 dx x dy yysin 1 ln 1 2 分 1 ln csc ln lncctgxxy 6 分 ctgxx c y csc ln 8 分 五 10 分 切平面方程为 1 333 000 z z y y x x 2 9 2 9 000 zyxV 10 分 六 12 分 公比xr 2 3 一般项 3 2 2 3 1 2 nxn n n n 2 分 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 lim n n n n n 3 2 R 4 分 x x r a xf 324 3 1 2 1 1 10 分 x x xxfxxf 324 3 2 2 2 22 12 分 高等数学高等数学课程试题十十 一 单项选择题一 单项选择题 1 设 yxf在点