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第五章定积分及其应用 6定积分在几何上的应用 5 6定积分在几何上的应用 若能把某个量表示成定积分 我们就可以计算了 回顾 曲边梯形求面积的问题 问题的提出 一 定积分应用的微元法 A 面积表示为定积分的步骤如下 3 求和 得A的近似值 4 求极限 得A的精确值 提示 对以上过程进行简化 这种简化以后的定积分方法叫 微元法 微元法的一般步骤 两边积分 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 1 直角坐标系情形 二 用定积分求平面图形的面积 上曲线 下曲线 x 总之 x 解 两曲线的交点 面积微元 选为积分变量 x 求面积的一般步骤 1 作图求交点 2 用定积分表示面积 3 求出定积分的值 微元法 公式法 解 由公式得 例2 解 两曲线的交点 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 问题 积分变量只能选x吗 选为积分变量 选为积分变量 y y dy 说明 合理选择积分变量会使计算简单 一般地 右曲线 左曲线 例4 解如图求得交点为 取y为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 相当于定积分的换元 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 面积元素 曲边扇形的面积为 2 极坐标系情形 解 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 求在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下平面图形的面积 注意恰当的选择积分变量有助于简化
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