河海大学矩阵论习题解答 一.docVIP

习 题 1.1 1. 解： 除了由一个零向量构成的集合可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k有无限多个，kp数域）. 2. 解：是；不是，因为没有负向量；不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；是；不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3. 解： 不是，因为 当kQ或R时，数乘k不封闭； 有理域上是；实数域上不是，因为当kR时，数乘k不封闭. 是； 是； 是； 不是，因为加法与数乘均不封闭.4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6. 解：（1）设A的实系数多项式的全体为显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7. 解：是线性空间.不难验证，是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知.8. 解： 不是，因为公理2不成立：设r=1, s=2, =(3, 4),则 (r+s)(3, 4)= (9, 4), 而 r(3, 4) s(3, 4)=(3,4) (6, 4)= (9, 8),所以 (r+s)rs. 不是，因为公理1）不成立：设= (1,2) , = (3,4) ,则=(1,2) (3,4) = (1,2), = (3,4) (1,2) = (3,4) , 所以 . 不是，因为公理2不成立：设 r=1, s=2, =(3,4) ,则 (r+s) =3(3, 4)= (27, 36) 而rs=1(3,4)2(3,4)=(3, 4)(12, 16)= (15, 20), 于是 (r+s) rs. 是.9. 证 若，则另一方面， 因此 ， 从而有于是得 .10. 解：先求齐次方程组的基础解系 =(3,3,2,0) , =(-3,7,0,4),即为解空间V的一组基. 所以， dim V=2.11. 解：考察齐次式 即 , 得线性方程组 由于系数行列式不等于零，那么只有 时 , 上述齐次式才对 x 成立，所以 , , 线性无关，且任二次多项式都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基. 令 得 , 即坐标为 ( 3, -1, 3 ) .12. 解： 因为 ()=()C , 故 C =()() = = . 显然，向量在基下的坐标为 X =(,), 设在基下的坐标为 Y=(, 则 Y=C = = = B X 如果 X = Y , 则有 X= BX ,即得齐次方程组 ( I- B)X=0 , 求其非零解为 X = k (1, 1, 1, 1 ) , kR , 即为所求 .13. 解： (1) 对；令，其中，其余的，则为上三角矩阵空间的一组基，维数为.（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，dim R+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为3.14. 解： （1）由已知关系式求得 于是，由基（I）到基（II）的过渡矩阵为（2）在基（II）下的坐标为（2，-1，1，1）T，再由坐标变换公式计算在基（I）下的坐标为 C（2，-1，1，1）=（11，23，4，-5）.（3）不难计算得det（1IC）=0，所以1是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值1的一个特征向量为，则有C=1，那么0，再由坐标变换公式知，在基（I）下的坐标为=C=，即存在非零，使得在基（I）和基（II）下有相同的坐标.15. 解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22改变为基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为 ， 则有（B1，B 2，B 3，B 4）=（E11，E12，E21，E22）C2=（A1，A 2，A 3，A 4） C 2故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为 .16. 解：（1）由简单基1，改变到基（I）和基（II）的过渡矩阵为 ， 故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为 （2）设在基（I）和基（II）下的坐标分别为，则有且，即有，该齐次方程组的通解为,R.于是，在基（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式为 .17. 解： 设R的子集合为L，对任意L，有, ，对任意， , 有 又 , 所以 L , L ,因此 L是V的子空间. 对任意 L，, , 有 , 故 于是可知 L，因此L不是V的子空间.18. 解： 的基为的一个最大无关组，在基下的坐标依次为 (1, -2, 3), (2 , 3 , 2) , (4, 13, 0 )该列向量组的一个最大无关组为 (1, -2, 3), (2 ,3 ,2).因此，的一个最大无关组为 ，即的一个基为. 19. 解：（1）因为，所以V1非空.设A，则有AP=PA，BP=PB.又因为（A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B），（kA）P=k（AP）=k（PA）=P（kA） （R），所以，故V1是的子空间.（2）取， B，则det A=det B=0，从而，但，所以，故V1不是子空间.又，从而，所以，故V2也不是子空间.20. 证：因为（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+3（1，0，1，1），（0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1）（1，0，0，1）即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.21. 解： (1) 设，则由AP=PA可得齐次方程组 求得基础解系为（1，-3，0，0）T，（1，0，0，1）T，从而V1的基为，dimV1 =2 .(2) V1的矩阵一般形式.22. 证：若V1的维数为0，则V1与V2都是零空间，当然相等；若V1的维数是，由于，故V1的任一组基都是V2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同，故这个线性无关组也是V2的一组基，即V1与V2有相同的基，因此V1=V2.23. 解：设，则有 由此相加或相减可得，从而，故得 .但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）线性无关，即为所求的基.24. 解：（1）设，则，,因为，所以，又，所以V是R的子空间.（2）在V中取，它们线性无关.因为即，于是，因此，V的一组基为A1，A2，A3，从而dim V=3.25. 解：（1） , , 故交的维数为2+2-3=1，交的一组基为（-5，2，3，4）T，和的维数 为3，为一组基.（2） , 故交的维数为1，基为；和的维数为4，为一组基.26. 证：（1）设，且, 则 （k是数）即与在两组基下的坐标也是相同的，所以， ，故V1是子空间.（2）因V中每个向量在两组基下的坐标相同，所以基向量在下的坐标为（0，0，1，0，0）它也应为在下的坐标，于是有 .27. 证：设,容易验证V1与V2都是V的子空间.对任意有 且，所以.因为即，所以，则.28. 证：由齐次线性方程组的理论可推知V1是n-1维的，且有基（-1，1，0，0），（-1，0，1，0，0），（-1，0，0，1）.又，即此方程组系数矩阵的秩为n-1，故解空间V2的维数为1，令xn=1，便得V2的一组基（1，1，1）；又以，为行的n阶行列式 故，为P的一组基，且有P.29. 证：设V是n维线性空间，为基，则都是一维子空间（i=1，2，n），且有.又因是基，零向量表示式惟一，故这个和是直和，即.习题 1.21. 解：因为对R的任一向量()，按对应规则都有R中惟一确定的向量与之对应，所以是R的一个变换.(1) 关于轴的对称变换；(2) 关于轴的对称变换；(3) 关于原点的对称变换；(4) 到轴的投影变换；(5) 到轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为 ()+k()+k=+ (2) 不是.因为()k()+k (3) 不是.因为取 x=(1 , 0 , 0 ) , 时, (k x)=(k,0, 0)k( x)= k(1, 0, 0)=(k, 0, 0)(4) 是.因为 设x=() , y=() (kx+ky)= =k(x)+k( y)(5) 是.因为 ()=k(f(x)+k(6) 是.因为 ()= k(f(x)+k (7) 不是.因为 设x=() , y=() (kx+ky)= (k(x)+k( y)=( .3. 解：(+)= ()+ () (k)= (k(x, x)()所以是线性变换.同理可证也是线性变换. (+)()= (+)(x, x)=(x, x)+(x, x) ()= ()=( x, -x)=(- x, -x) ()= ()=( x, -x)=( x, x) .4. 证：（1）因 (A)+(B)k(A)故是线性变换.（2）(A)B+A(B) (AB) 5. 解：令 即可.6. 证：设，则 (-)(f(x) =(f(x)(f(x)=xf(x)f(x)故是恒等变换.7. 证：设，则，由于 (e)+ (e)=(e+e)=e+e(e)(e)=(ee)=ee所以，(e)=e , (e)= e 于是 ()=k(e)+k(e)= k(e)+k(e)=()故 =.8. 解：(1) 因为在平面上，其投影不变，故有(i)=i , (j)=j , 又垂直平面，则 , 得(i), (j), (k)=(，) 所求矩阵为A= .(2) 因为, 所以, 所求矩阵为 A= .(3) 由的定义知, (i)= (1 ,0 ,0 )= ( 2 ,0 ,1) (j)= (0 ,1, 0 )= ( -1, 1 , 0) (k)= (0 ,0 ,1)= ( 0 ,1 , 0)有 (i), (j), (k)=( 所求矩阵为 A= . (4) 据题设： 则=()=( ) =( )=( ) =() = ( ) =于是 ( , , , , , ) , 所求矩阵为 D= 9. 解：(1) ()=() =()C所求矩阵为 B=CAC= (2) ()=() =()C所求矩阵为 B=CAC = (3) ()=() =()C所求矩阵为 B=CAC= 10. 解：由定义知 所以，所求矩阵为 . 11. 解 ： 因为 所以，所求矩阵为 . 12. 解： (,)=() ()=(,) = (,) C B=CAC= = .13. 解：(1) (,) = () C , 过渡矩阵为 C=()(,) = = (2) (,)=(,) = () C故在基下的矩阵就是 C.(3) (,(),() ) = (,) = () C =(,) C= (,) C故在基下的矩阵仍为C. 14. 解：（1） 由于故在该基下的矩阵为类似地，可得在该基下的矩阵为.由于=，所以在该基下的矩阵为同理，可得在该基下的矩阵为 （2）由于由简单基E11，E12，E21，E22改变为给定基E1，E2，E3，E4的过渡矩阵为 于是，在给定基下的矩阵为15. 解： （1）将题给关系式写成矩阵形式为 (,(),() ) 即由于，所以有(故在基（II）下的矩阵 （2）因为( 所以在基（I）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取的简单基1，x，x2，则有 从简单基改变到基f1，f2，f3和g1，g2，g3的过渡阵分别为 ， 故有 (g, g, g)= (1, x, x )C= 即在基（II）下的矩阵 （2）因为 所以 (f(x)= . 17. 证：设在给定基下的矩阵为，并设C为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有，即AC=CA，根据“A与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A必为数量矩阵.18. 解：由基到基的过渡矩阵为故 下的矩阵为.那么，+ ， ， ， (+ )在基下的矩阵分别为 ， , ， .19. 证：设有可逆方阵P与Q，使 B=PAP , D=QCQ 则 = = = 即 与 相似.20. 证：设，则A，B的行向量的极大无关组中分别含有个行向量，设分别为和，则A的每个行向量均可由线性表示，B的每个行向量均可由线性表示.又可A+B的每个行向量是A与B的相应行向量的和，故A+B的每个行向量均可由，线性表示.因此A+B的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过，即.21. 证：设，则，所以，.这就说明B的列向量都是以A为系数矩阵的齐次方程组的解.由于，所以解空间的维数为，从而知的极大无关组所含向量的个数，即，因此有 . 22. 证：设A，B为同一数域上的与阶矩阵，显然，方程组BX=的解向量X也满足方程组，记 ， 则，于是即.又由于 因此 .23. 证：由上题知，现在只需证明即可.考虑线性方程组，设是方程组的一组解，将两边左乘XT，得，即，所以，即.于是 即有，故有 ，并且有即有.注：对复矩阵A，上式不一定成立.例如 ,.由于 故.此时，相应的关系式应为 . 24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=两边左乘AT即可.25. 证：（1）因为，故，不妨设A的前n行线性无关，且构成的n阶满秩方阵为A1，后行构成的矩阵为A2，则 所以，但，故.（2） 同理可证.26. 解：（1）， ； （2）， ； （3）， .27. 证：因为，但，故m阶方阵C的秩，所以C是降秩的.28. 解：先求矩阵A的特征值和特征向量为 ， , 故的特征值和特征向量为 ， ， ， ， .29. 解：（1），.(2), ，（3），；（4），.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵A的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P分别为 （1）； （2） ; （4）.31. 证 ： 设在给定基下的矩阵为A，则 32. 证：设，则存在满秩矩阵P与Q，使得，故有 其中， 这说明AB与diag（）相似.另一方面，有，说明BA与相似.不难验证有 故AB与BA有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设A的任一特征值为，的对应于的特征子空间记为.对中任意向量Z有 故，因此为线性变换的不变子空间，即为中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B的特征向量，但它又属于，由的定义知它又是A的特征向量，即A与B有公共的特征向量.34. 证：设A的特征值为，则A2的特征值为，由有，若所有，则A+I为满秩矩阵，故由（A+I）（A-I）=A2-I2=0，有A=I.35. 证：不失一般性，设B非奇异，有AB=B-1（BA）B即AB与BA相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设A为n阶方阵，具其秩为，由于A2=A，知A的列向量都是A的对应于特征值1的特征向量.因，故特征值1的几何重复度为r，其代数重复度至少为r.又的基础解系中的向量个数为，即A的特征值0的几何重复度为，其代数重复度不小于.由于一个n阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n，故特征值1和0的代数重复度分别为r和.可见A除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n，故A为非亏损矩阵，所以A相似.37. 证：用反证法.若A可相似于对角矩阵，对角元素即为A的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于，于是，因为，所以，故，即A的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由，有，从而有，即X也是的特征向量.显然的特征值为，即为的多项式.39. 解：取R3中的自然基，计算得()=(0 , -2 ,-2 ) , ()=(-2 , 3 ,-1 ) , ()=(-2 , -1 ,3 )则在基下的矩阵为 而A的特征值为，与之对应的特征向量为，则有，其中.由=（）C求得的另一组基为，显然在该基下的矩阵为对角阵.40. 解：（1）因为 ，所以在基1，x，x2下的矩阵.（2）由于A原特征值为，相应的特征向量为，存在可逆阵，使，故所求的基为 .41. 解：（1）对任意的及，有 =k()+l()故是线性变换.（2）取V的简单基 由于, ,所以在基下的矩阵为 R的特征值为，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T，（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令 ， 则有，由（B1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为，在该基下的矩阵为.42. 证：（1）取Vn的一组基，设 （）=（）A （）=（）B则有 ()（）=（）（AB） (+)（）=（）（A+B）由=+，可得AB=A+B，从而有BTAT=AT+BT.若1是的特征值，则 1也是A的特征值，从而1也是AT的特征值，设AT对应于特征值1的特征向量为，即，由（BTAT）=（AT+BT），可得BT=+BT，即=0，这与是AT的特征向量矛盾，故1不是的特征值.（2）因有几个不同的特征值，所以有n个线性无关的特征向量.记的对应于特征值的线性无关的特征向量为X1，X2，Xn，即 （i=1，2，n），则X1，X2，Xn作为Vn的基时，的矩阵A=diag（）.再由AB=A+B及知 即与在该基X1，X2，Xn下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意，有(.由于()= ()=()所以, 故是的不变子空间.44. 解：(1) ( )=( )C=() B=CAC = (2) 先求核) . 设=在基下的坐标为()，(在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是 A = 此时A的秩为，解之，得基础解系 ,作 . 显然，为核)的一组基，故核由所张成，即 )=Span() .再求值域(V) . 由于(e),(e),(e),(e) = () A 而A的秩为，所以(e),(e),(e),(e)的秩也为，且(e),(e)线性无关，故组成( V)的基，从而( V)=Span(e),(e) .(3) 由(2)知是核)的一组基，易知为V的一组基，由于有()=() = () D 所