第二十一 解直角三角形.doc

11初中数学题典网 /第二十一讲 解直角三角形1估算问题2生活中的“角”与三角函数3通过构造直角三角形解决实际问题4方案选择问题5解直角三角形在代数中的应用 运用解直角三角形的知识解决实际问题是近几年各地中考的热点问题，在考试中一般以选择、填空、解答题的形式出现， 估算问题是指运用锐角三角函数性质及特殊角三角函数值进行近似估算的问题 生活中的方位角、仰角、俯角、坡角问题，通过运用三角函数的知识可以得到解决， 生活中的某些问题需要构造直角三角形才能利用三角函数的知识进行解决通过构造直角三角形可以预测航海中的一些问题等 利用解直角三角形的知识可以比较一些方案的优劣，从而作出选择， 解直角三角形在代数中的应用，在本讲主要是指把三角形的顶点坐标与一次函数、二次函数的图形结合起来解决一些问题1 估算问题【例l】如图21- l，若太阳光线与地面成角，一棵树的影长为10米，则树高的范围是（取 解：而即故选 B 此种题型是一类利用解直角 三角形进行估算的问题，主要考查了特殊三角函数值的记忆以及三角函数的增减性在考试中一般以选择、填空题出现 解此类问题时要充分利用已知的特殊角的三角函数值和三角函数的增减性，通过特殊值法进行近似估算2 生活中的“角”与三角函数 【例2】（2009湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛A北偏西450并距该岛20海里的B处待命位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东600的方向有我军护航舰（如图21 -2所爪），便发出紧急求救信号，我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援，我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位参考数据： 分析：求解实际问题时一定要注意建立数学模型，解决本题的关键是根据题意构造直角三角形，故需过点B作BDAC于点D，即可得到两个直角三角形，这样就把ABC的问题转化为直角三角形的问题来解决 解：由图可知，作BDAC于D在RtADB中，在RtBCD中， 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C处 【例3】（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB -80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为大厦底部B的俯角为求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度 （结果保留整数）（参考数据： 分析：仰角与俯角都是从C点发出的视线与水平线的夹角，因此要作一条水平线CD得出这两个角，再运用三角函数依次求出有关线段，从而就可以求出楼距CD了解：设在RtACD中，则在RtBCD中，则解，得答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度为43米 此类题主要考查与工程问题、航海问题等有关的仰角、俯角、方位角等概念，以及利用解直角三角形的知识解决与这些角相关问题的能力在考试中以填空题或解答题出现 解此类问题的关键是准确地识别各“角”，正确标出仰角、俯角、方位角的位置，再把这些角放置在已知的或创设的直角三角形中，运用锐角三角形函数知识就可以得到相应的角和边，从而使问题得到解决3 通过构造直角三角形解决实际问题 【例4】如图21-4所示，一渔船正以30 n mile/h（海里时）的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船的北偏东方向；40 min后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东方向若以小岛C为中心，周围10 n mile是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？ 分析：要判断船是否会进入危险区，只要计算出点C到AB的最短距离即可，若最短距离小于10n mile,则会进入危险区；否则不会进入危险区本题中和都不在直角三角形中，又要求C到AB的最短距离，所以需作辅助线CDAB，再根据三角函数的相关知识求解，若设通过解RtCDA和RtCDB可获解 解：如图21-4作CDAB，垂足为D.设在RtCDB中，故在RtCDA中，故由得故这艘轮船继续向东航行不会进入危险区 【例5】（2010杭州）如图21-5 (1)，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动已知台风移动的速度为30千米时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东方向上，距离点P320千米处(1)说明本次台风是否会影响B市；(2)求这次台风影响B市的时间 分析：台风是生活在沿海地区的人们经常遇到的一大自然灾害，此题可让我们了解到台风的危害性以及如何掌握台风的动向，以便把台风所带来的灾害降低到最低程度解这类问题的关键是通过构造数学模型，把问题转化为数学问题(1)要确定城市B是否会受到台风的影响，需要知道点B到台风中心所经过的路线PQ的距离是否小于200千米 (2)由题意知，当点B距离台风中心小于200千米时，该城市就会受台风影响设当台风中心到达点P1时，城市B开始受台风影响；当台风中心移到点P2时，城市B受台风影响结束，因此，要知道该城市受台风影响的时间，只要计算出台风中心从点到点所需的时间即可解：(1)如图21-5(2)，作BHPQ于点H.在RtBHP中，由条件知，得 本次台风会影响B市(2)如图21-5 (2)，若台风中心移动到时，台风开始影响B市；台风中心移动到时，台风影响结束.由(1)得由条件得 台风影响的时间（时） 此类题主要考查利用直角三角形的边角关系进行计算的能力，同时考查了点到直线的距离的概念在考试中一般以解答题出现 解决问题的关键是实现问题的转化：关键之一是弄清所描述问题的含义，将实际问题转化为数学问题；关键之二是弄清已知与所求的关系，根据题意构建直角三角形，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题在解赢角三角形时若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径一般是找出图中已知直角三角形中的边或角来替代所要求的边和角另一常用的转化办法是通过作辅助线构造直角三角形，其中，最简单有效的办法是通过作垂线来构造直角三角形，使未知与已知发生联系，如果当待求线段不在唯一一个直角三角形中时，一是选择相关直角三角形进行求解，二是综合利用几个直角三角形，找出其中的等量关系，列方程求解4 方案选择问题 【例6某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东的方向上（如图21-6所示），救援队领导小组立即制定了两套方案：第一套是立即下水游向A处救人；第二套是从陆地往正东方向奔跑120 m到达C处，再从C处下水游向A处救人已知A在C的北偏东的方向上，且救援人员在水中游进的速度平均为1m/s，在陆地上奔跑的速度为4 m/s，请你为救援队作决策，选用哪套方案可以在较短的时间内到达A处援救受灾群众 分析：本题的关键是要求出AB和AC的长过点A作AD BC交BC延长线于点D，构建RtABD和RtACD根据等腰三角形的判定和性质，得到等腰ABC，AC = BC，从而AC可求再在RtABD中求出AD，进而求出AB. 解：如图21-6，过点A作ADlBC交BC的延长线于点D点A在点B的北偏东方向上，又点A在点C北偏东方向上，所以由于则ABC为等腰三角形，所以因为所以在RtACD中，所以在RtABD中，因为所以第一套方案所需时间为：第二套方案所需时间为： 因为207.84 150，所以应选择第二套方案才能在较短时间内到达A处求援受灾群众、 本题为综合类题型，主要考查了等腰三角形的判定和性质以及构造直角三角形利用三角函数解决实际问题的能力，在考试中一般以解答题出现。 解此类应用题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，通过构建直角三角形，利用直角三角形中的边角关系求出路程，然后利用时间、路程、速度三者之间的关系，求出两套方案到达A处所需时间，从而得出最佳方案5 与函数的综合【例7】如图21-7，一次函数的图像经过M点与x轴交于A点，与y轴交于B点根据图中信息，(1)求这个函数的解析式；(2)求tan BAO的值。 分析：由图像知点B和点M的坐标，则可以通过待定系数法求出一次函数的解析式，求tanBAO的值需要求AO和BO.B点坐标已知，根据一次函数解析式可求出A点的坐标，这样即可求出AO和BO解：(1)设一次函数的解析式为将点代入得 解，得所以函数解析式为：(2)令代入得所以点A的坐标为（-3,O），于是 此题为一次函数与解直角三角形的综合题，主要考查了如何求点的坐标，以及用待定系数法求一次函数解析式的能力，同时考查了解直角三角的知识在考试中一般以填空题或解答题出现 求解此类综合题目的方法是：根据图形中点的坐标，利用直角三角形的性质，可求出点与点之间的距离；反之亦然另外，将已知点的横坐标（纵坐标）代人函数解析式可以求纵坐标（横坐标）注意在求图像与x轴的交点坐标时要令在求图像与y轴的交点坐标时要令巩固练习1(2009广州)已知圆锥的底面半径为5 cm,侧面积为设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），则sin的值为 ( ) 2(2009湖南衡阳)如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE AB，垂足为E，则下列结论中正确的个数为 ( ) A.3个 B2个 C .1个 DO个3如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5 m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是 ( ) 4(2010浙江宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角ABC为则引桥的水平距离BC的长是 米（精确到0.1米）5（2009济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： (1)在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角(2)根据手中剩余线的长度算出风筝线BC的长度为70米；(3)量出测倾器的高度AB=1.5米根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为 米（精确到0.1米， 6（2009黑龙江齐齐哈尔）用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是_7将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合 已知将MED绕点A(M)逆时针旋转后（图2），两个三角形重叠部分（阴影）的面积约是 （结果精确到 8（2010河南）如图，RtABC中，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B，C重合），且则AD的取值范围是 9（2009内蒙古包头）如图，在ABC中，OA与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留丌）11为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥，如图所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东的方向上；沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度（结果保留根号） 12如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为已知原传送带AB长为4米(1)求新传送带AC的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由说明：(1)(2)的计算结果精确到0.1米，参考数据：13（2009浙江嘉兴）