初三奥赛数学难题汇总(附答案).docVIP

如图，在直角坐标系中，以点A(，0)为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.（1）求D点坐标（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式（3）若A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，OMN=30，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由 28、（12分）某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润万元（为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54万元。（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为_万元，企业生产B种产品的年利润为_万元（用含和的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为万元，则与之间的关系式为_。（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：产 品CDEFGH所需资金（万元）200348240288240500年 利 润（万元）508020604085如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。 25解：（1）连结AD，得OA=，AD=2 1分 OD=3， D(0，-3) 2分 （2）由B(-，0)，C(3，0)，D(0，-3)三点在抛物线上，3分得 解得 5分 6分 （3）连结AP，在RtAPM中，PMA=30，AP=2 AM=4， M (5，0) 7分 N(0，-5) 8分 直线MN解析式为： 抛物线顶点坐标为(，-4) 9分 抛物线顶点在直线MN上 10分28、解：（1），（2）由题意得解得100。注：写97.5100或97.4100均视为正确为整数 只能取98、99、100。故共有三种调配方案：202人继续生产A种产品，调98人生产B种产品；201人继续生产A种产品，调99人生产B种产品；200人继续生产A种产品，调100人生产B种产品；又，由于0，函数随的增大而增大。故当100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。（3）当2时，最大总利润为788万元。根据题意，可投资开发产品F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。如图，二次函数（m4）的图象与轴相交于点A、B两点（1）求点A、B的坐标（可用含字母的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且OACxyBBAC的余弦值为，求这个二次函数的解析式 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A90o，C60，AD3cm，BC9cmO1的圆心O1从点A开始沿折线ADC以1cm/s的速度向点C运动，O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，O1半径为2cm，O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts（1）请求出O2与腰CD相切时t的值；（2）在0st3s范围内，当t为何值时，O1与O2外切？（第26题）24解：（1）当，（1分），（2分），A（4，0），B（，0）（4分）（2） 过点C作CD轴，垂足为D， cosBAC,设AD=4k,AC=5k, 则CD=3k. （5分）OA=4,OD=4k4, 点C(4k4,3k) . （6分）点C在反比例函数的图象上，. （7分）. （8分）C(2，).（1分） 点C在二次函数的图象上，（1分） (10分)二次函数的解析式为. （12分）26解：（1）如图所示，设点O2运动到点E处时，O2与腰CD相切过点E作EFDC，垂足为F，则EF4cm1分方法一，作EGBC，交DC于G，作GHBC，垂足为H通过解直角三角形，求得EBGHcm4分所以t（）秒6分方法二，延长EA、FD交于点P通过相似三角形，也可求出EB长方法三，连结ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t（2）由于0s0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，CBD的平分线交CE于点H.（1）求证：BE=HE；（2）若AHCE，Q为 上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，求ATAG的值；T（3）如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作O1交y轴于另一点N，设O1的半径为R，当k=时，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 24（本题满分12分）如图15，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，（1）求点的坐标；（2）求证：是的切线；图15（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围30、证明：(1)AEBD，=，EBD=ECB.ABH=DBH，BHE=ECB+CBH，HBE=DBH+EBD，BHE=HBE. BE=HE. K解： (2)连结QC、TB，则BCQ+CBQ=90，又BDQ+ATD=90，而BCQ=BDQ，CBQ=ATD=ATB，ABGATB，AB2=AGAT，AHCE，H为CE的中点，BE=EC，BEOCBE，=. 设A的半径为R，由AB2OA2=BO2，OE=R3，得R232=4(R3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).ATAG=AB2=25. (方法二提示:可连结AD,CD证BAGTAD)(3)答：的值不变.证明：作O1KMN于K，连结O1N、PN、BM，则MN=2NK， 且N O1K=NPM，=2sinNO1K=2sinNPM， 由直线y=x+3 得 OB=OD=4，OMBD，BMO=DMO，又BMO=ABM+BAM，DMO=MPN+PNM，ABM=PNM，MPN=BAM=NO1K，=2sinBAM=2= ， 所以的值不变，其值为 .24、解：（1）如图4，连结1分，2分是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论），3分，（写错一个不扣分）4分（2）过点5分当时，6分，（也可用勾股定理逆定理证明）7分是的切线8分（3）过点 9分10分已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B，DCx轴于C.当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由23（本题满分11分）如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2E为BC的中点，以OE为直径的O交轴于D点，过点D作DFAE于点F（1） 求OA、OC的长；（2） 求证：DF为O的切线； （3） 小明在解答本题时，发现AOE是等腰三角形由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使AOP也是等腰三角形，且点P一定在O外”你同意他的看法吗？请充分说明理由解：24、解：（1）由已知条件，得：n21=0 解这个方程，得： n1=1 ，n2=1；当n=1时，得y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限；当n=1时，得y=x23x，此抛物线的顶点在第四象限； 所求的函数关系式为y=x23x (4分)(2)由y=x23x，令y=0，得x23x=0，解得x1=0 ，x2=3；抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0） 它的顶点为（），对称轴为直线x= BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB= B（1，0）点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x23x上， 点A的纵坐标y=1231=2。AB=|y |=2 矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=6 (8分)点A在抛物线y=x23x上，可以设A点的坐标为（x，x23x），B点的坐标为 （x，0）。（0xBC=32x，A在x 轴的下方， x23x0 AB=| x23x |=3xx2矩形ABCD的周长P=2（3xx2）+（32x）=2（x）2+a=20 当x=时， 矩形ABCD的周长P最大值是。 (12分)23、解： （1）在矩形OABC中，设OC=x 则OA= x+2，依题意得 解得： （不合题意，舍去） OC=3， OA=5 (4分)（只要学生写出OC3，OA5即给2分） （2）连结OD 在矩形OABC中，OC=AB，OCB=ABC=90，CE=BE= OCEABE EA=EO 1=2 在O中， OO= OD 1=3 3=2 ODAE， DFAE DFOD 又点D在O上，OD为O的半径 ， DF为O切线。 (8分)(3) 不同意. 理由如下: 25 当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1HOA于点H，P1H = OC = 3，A P1= OA = 5A H = 4， OH =1 求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3） (9分)当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3） (11分)因此，在直线BC上，除了E点外，既存在O内的点P1，又存在O外的点P2、P3、P4，它们分别使AOP为等腰三角形。 (12分)如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求证：E点在y轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD与BC相交于E点，如图，求AEC的面积S关于k的函数解析式.图C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxEyC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy图 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.（1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线yxb与x轴交于点B.探究：直线AB是否M的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC，记ABC的外接圆面积为S1、M面积为S2，若，抛物线yax2bxc经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. 1.解 （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EOx轴，垂足OABEODC又DO+BO=DBAB=6，DC=3，EO=2又，DO=DO，即O与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 联立得E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E作EFx轴垂足为F。同（1）可得： 得：EF=2方法一：又EFAB，SAEC= SADC- SEDC=DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二： BADC，SBCA=SBDASAEC= SBDES=3+k为所求函数解析式.证法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14S=3+k为所求函数解析式.2.解（1）解：由已知AM，OM1， 在RtAOM中，AO， 点A的坐标为A（0，1）（2）证：直线yxb过点A（0，1）10b即b1yx1令y0则x1B（1，0），AB在ABM中，AB，AM，BM2 ABM是直角三角形，BAM90 直线AB是M的切线（3）解法一：由得BAC90，AB，AC2， BC BAC90ABC的外接圆的直径为BC，ABCDxMy 而，设经过点B（1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：ya（1）（x1），（a0）即yax2a，a5，a5抛物线的解析式为y5x25或y5x25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，5）抛物线的解析式为ya（x0）25 又B（1,0）、M（1,0）在抛物线上，a50， a5抛物线的解析式为 y5x25或y5x25 解法三：（接上）求得h5因为抛物线的方程为yax2bxc（a0）由已知得抛物线的解析式为 y5x25或y5x25. 如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式. (2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.移动开始后第t秒时, 设PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.2已知二次函数y=x2bxc与x轴交于A（1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的P，且圆心P在抛物线上运动，当P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，P与y轴相离、相交？ 1.答：（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，-12），所以，又18a+c=0，,ABCD,且AB=6,抛物线的对称轴是.所以抛物线的解析式为.（2），.当时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）.若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，18）；（）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.（）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.综上所述，点R坐标为（3，-18）.2.答案：解：（1）由题意，得 解得 二次函数的关系式是y=x21 （2）设点P坐标为（x，y），则当P与两坐标轴都相切时，有y=x 由y=x，得x21=x，即x2x1=0，解得x= 由y=x，得x21=x，即x2x1=0，解得x= P的半径为r=|x|= （3）设点P坐标为（x，y），P的半径为1，当y0时，x21=0，即x1，即P与y轴相切， 又当x0时，y1，当y0时， P与y相离； 当1y0时， P与y相交. 如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PCPO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。（1）当点C在第一象限时，求证：OPMPCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；ABCNPMOxyx=1（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。2.关于x的二次函数y-x2(k2-4)x2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式； (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由1.答案：（1）OMBN，MNOB，AOB=900，四边形OBNM为矩形。MN=OB=1,PMO=CNP=900，AO=BO=1，AM=PM。OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，OM=PN，OPC=900，OPM+CPN=900，又OPM+POM=900CPN=POM，OPMPCN.（2）AM=PM=APsin450=，NC=PM=，BN=OM=PN=1-；BC=BN-NC=1-=（3）PBC可能为等腰三角形。当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1-，BC=PB=PN=-m，NC=BN+BC=1-+-m，由知：NC=PM=，1-+-m=，m=1.PM=，BN=1-=1-，P（,1-）.使PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1-）第2题图A1A2B1B2C1D1C2D2xy2.答案：(1)根据题意得：k2-40，k2 .当k2时，2k-220,当k2时，2k-2-60.又抛物线与y轴的交点在x轴上方,k2 .抛物线的解析式为：y-x22.函数的草图如图所示：(2)令-x220，得x.当0x时，A1D12x，A1B1-x22l2(A1B1A1D1)-2x24x4.当x时，A2D22x,A2B2-(-x22)x2-2, l2(A2B2A2D2)2x24x-4.l关于x的函数关系式是： (3)解法：当0x时，令A1B1A1D1,得x22x20.解得x=-1-(舍)，或x=-1.将x=-1代入l=-2x24x4,得l=8-8,当x时，A2B2=A2D2得x2-2x-2=0,解得x=1-(舍)，或x=1,将x=1代入l=2x24x-4,得l=88.综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时，正方形的周长为8-8；当x=1时，正方形的周长为88 解法：当0x时，同“解法”可得x=-1,正方形的周长l=4A1D1=8x=8-8 .当x时，同“解法”可得x=1,正方形的周长l=4A2D2=8x=88 .综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时，正方形的周长为88；当x=1时，正方形的周长为88解法：点A在y轴右侧的抛物线上,当x0时，且点A的坐标为(x，-x22).令ABAD，则=2x,-x22=2x, 或-x22=-2x, 由解得x=-1-(舍)，或x=-1,由解得x=1-(舍)，或x=1.又l=8x,当x=-1时，l=8-8；当x=1时，l=88.综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时，正方形的周长为8-8；当x=1时，正方形的周长为881.（本题满分10分）如图13，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2.（本题满分10分）已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.xy-4-6CEPDB51246FAG2-2（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.（10分）如图，二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点A、B、C且OA1，OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点M、N在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边)，且MNx轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径4.（分）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线（1）求的值；（2）求函数的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由1.解：（1）设AB的函数表达式为 直线AB的函数表达式为3分（2）设抛物线的对称轴与M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，因为M经过O、A、B三点，且M的直径，半径MA=5，N为AO的中点AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C点的坐标为（-4，2）设所求的抛物线为则所求抛物线为 7分（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4又AC=直角三角形的面积假设抛物线上存在点当故满足条件的存在它们是 10分2.解：（1）由题意得：2分 解得 3分故抛物线的函数关系式为4分（2）在抛物线上，5分点坐标为（2，6），、C在直线上 解得直线BC的解析式为6分设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）7分（3）存在P，使得8分设P，故若要，则要或即或解得或又在抛物线上，或解得或故P点坐标为和10分（只写出一个点的坐标记9分）3.解析）（1）依题意分别代入1分解方程组得所求解析式为4分（2）5分顶点坐标，对称轴7分（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为8分把点代入得9分同理可得另一种情形圆的半径为或10分4.解析）解 （1）由得 又因为当时，即， 解得，或（舍去），故的值为 （2）由，得， 所以函数的图象的对称轴为， 于是，有，解得， 所以 （3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点 已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；yxAOBB（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值已知：抛物线(a0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由第24题图COxADPMEBNy（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由4. 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OBOC），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。1.（1）解：答案不唯一，只要合理均可例如：抛物线开口向下，或抛物线开口向上；抛物线的对称轴是，或抛物线的对称轴是；抛物线经过点，或抛物线经过点；抛物线与的形状相同，但开口方向相反；抛物线与都与轴有两个交点；抛物线经过点或抛物线经过点；等等3分（2）当时，令，解得4分，令，解得5分点与点对称，点与点对称；四点横坐标的代数和为0；（或）6分（3），抛物线开口向下，抛物线开口向上7分根据题意，得8分当时，的最大值是29分3.题解析）解：(1)设抛物线的解析式为 1分将A(1，0)代入: 2分 抛物线的解析式为，即：3分（2）是定值， 4分 AB为直径， AEB=90， PMAE， PMBE APMABE， 同理: 5分 + : 6分（3） 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90 AEB为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 7分如图，过点P作PHBE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90， EAB=BPH=45 PH=BH且APMPBH 8分在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90MEP+SEG=90 FGE=MEP PME=FEG=90 MEPEGF 由、知：9分（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）4.题解析） 平移的图象得到的抛物线的顶点为, 抛物线对应的解析式为:. - 2分 抛物线与x轴有两个交点，. - 1分令, 得，, )( )| ,即, 所以当时, 存在抛物线使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. - 1分在中,1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; - 2分当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. - 2分2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,（也可由代，代得到）所以二次函数解析式为 + 或. - 2分.二次函数的图象的一部分如图所示已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l) (1)试求，所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。10.答案：解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入得： ，可得： （2）由(1)可知： ，顶点M的纵坐标为， 因为，由同底可知：， 整理得：，得： 由图象可知：，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x=, , 舍去,从而 （3） 由图可知，A为直角顶点不可能； 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意； 若设B为直角顶点，则可知，得：令，可得：，得： 解得：，由1a0，不合题意所以不存在综上所述：不存在11.答案：解：（1）， （2）， （3）点P在抛物线上，设yDC=kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1，直线CD为y=-x+1， 过点B作O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为-1，把y=-1带入y=-x+1得x=2，P（2，-1），将x=2带入，得 y=-1， 点