2010年7月全国自考线性代数(经管类)试题及答案详解.pdf

Page 1 of 9 全国全国 2010 年年 7 月高等教育自学考试线性代数 经管类 试题月高等教育自学考试线性代数 经管类 试题 课程代码 课程代码 04184 试卷说明 在本卷中 试卷说明 在本卷中 T A表示矩阵表示矩阵A的转置矩阵 的转置矩阵 A表示矩阵表示矩阵A的伴随矩阵 的伴随矩阵 r A表示矩阵表示矩阵A的的 秩 秩 A表示方阵表示方阵A的行列式 的行列式 E表示单位矩阵 表示单位矩阵 一 一 单项选择题 本大题共单项选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错 选 多选或未选均无分 选 多选或未选均无分 1 设 3 阶方阵 123 A 其中 1 2 3 i i 为A的列向量 若 1223 2 6B 则 A A 12 B 6 C 6 D 12 解 答 选C 参 考P14性 质5 P12性 质2 P13性 质3的 推 论 因 为 1223123223123223 2 2 2 06BA 从而 6A 2 计算行列式 3020 21050 0020 2323 A 180 B 120 C 120 D 180 解答 选 A 参考 P9 定理 1 2 1 和 P3 二阶行列式计算公式 4 4 3 3 302 4 1 3 2105 002 30 33 1 2 210 2 6 3 100 2180 原行列式按第 列展开 前3项均为0 按第 行展开 前2项均为0 阶行列式计算公式 3 若A为 3 阶方阵 且 1 2A 则 2 A A 1 2 B 2 C 4 D 8 解答 选 C 参考 P48 11 AA P45 行列式性质 2 因为 1 2A 所以 1 11 2 A A Page 2 of 9 又A为 3 阶方阵 所以 3 1 2 2 84 2 AA 4 设 1234 都是 3 维向量 则必有 A 1234 线性无关 B 1234 线性相关 C 1 可由 234 线性表示 D 1 不可由 234 线性表示 解答 选 B 参考 P101 向量组的线性相关性和线性无关性的结论 如果向量个数大于向量维数时 此向量组必是线性相关组 5 若A为 6 阶方阵 齐次线性方程组0Ax 的基础解系中解向量的个数为 2 则 r A A 2 B 3 C 4 D 5 解答 选 C 参考 P112 定理 4 1 1 因为A为 6 阶方阵 即6n 又 2nr A 从而 4r A 6 设A B为同阶方阵 且 r Ar B 则 A A与B相似 B AB C A与B等价 D A与B合同 解答 选 C 参考 P165 166 等价 相似和合同的联系和区别 因为相似必等价 合同必等价 但反 之不然 同时等价必有相同的秩 相似必有相同的特征值和行列式 7 设A为 3 阶方阵 其特征值分别为 2 1 0 则 2 AE A 0 B 2 C 3 D 24 解答 选 D 参考 P143 重要结论 P138 定理 5 2 1 及其推论 P7 例 7 结论 因为A具有无重特征值 2 1 0 所以A一定相似于对角矩阵 且该对角矩阵的对角元为A的 3 个特征值 即必存在可逆矩阵P 使得 1 200 010 000 P AP 又 11 2200400 2 20120030 0002002 PAE PP APE 即2AE 相似于 400 030 002 从而 400 2 0304 3 224 002 AE 8 设A B相似 则下列说法错误 的是 A A与B等价 B A与B合同 C AB D A与B有相同的特征值 解答 选 B 参考参考 P165 166 等价 相似和合同的联系和区别 因为相似必等价 合同必等价 但反之不然 同时等价必有相同的秩 相似必有相同的特征值和行列式 9 若向量 1 2 1 与 2 3 t 正交 则t A 2 B 0 C 2 D 4 解答 选 D 参考 P148 定义 5 3 3 因为 与 正交 即 1 2 2 3 1260tt 从而4t Page 3 of 9 10 设 3 阶实对称矩阵A的特征值分别为 2 1 0 则 A A正定 B A半正定 C A负定 D A半负定 解答 选 B 参考 P172 实二次型及其对应的实对称矩阵的分类和例 1 因为特征值均大于等于零 所 以矩阵A为半正定 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 设 32 01 24 A 211 010 B 则AB 解答 653 010 422 参考 P39 定义 2 4 4 323 2 2 03 1 2 1 3 1 2 0653 211 010 2 1 00 1 1 1 0 1 1 0010 010 242 24 02 14 1 2 1 4 0422 AB 12 设A为 3 阶方阵 且 3A 则 1 3 A 解答 9 参考 P48 11 AA P45 行列式性质 2 因为 3A 所以 11 1 3 AA 又A为 3 阶方阵 1 A 也为 3 阶方阵 所以 131 1 3 3 279 3 AA 13 三元方程 123 1xxx 的通解是 解答 1212 111 100 010 Xkkk k 为任意实数 参考 P120 例 1 1 1 1 1 A b 据此得到原方程组的同解方程 123 1xxx 取 23 0 xx 得到一个特解 1 0 0 原方程的导出组的同解方程组为 123 xxx 分别令 2 3 10 01 x x 和 可求得基础解系 Page 4 of 9 1 1 1 0 2 1 0 1 于是求得原方程的通解 1 12212 111 100 010 kkkk 14 设 1 2 2 则与 反方向的单位向量是 解答 122 333 参考 P82 负向量的定义 P146 定义 5 3 2 P147 向量单位化方法 与 反方向的向量为 1 2 2 且 222 1 2 2 3 将其单位化 即得 1122 333 15 设A为 5 阶方阵 且 3r A 则线性空间 0 Wx Ax 的维数是 解答 2 参考 P112 定理 4 1 1 5n 3r A 则 0 Wx Ax 中有 532nr A 个基向量 故维数为 2 16 设A为 3 阶方阵 特征值分别为 1 2 1 2 则 1 5 A 解答 125 参考 P138 定理 5 2 1 及其推论 P7 例 7 结论 P48 11 AA P45 行列式性质 2 因为 200 1 001 2 001 A 所以 1 13 5 5125 1 125AA 17 设A B为 5 阶方阵 且0Ax 只有零解 且 3r B 则 r AB 解答 3 参考 P116 矩阵的秩的估计式 P112 定理 4 1 1 推论 因为0Ax 只有零解 所以 5r A 由矩阵的秩的估计式可知 535 min 3r Ar Bnr ABr A r B 从而 3r AB 18 实对称矩阵 210 101 011 所对应的二次型 123 f x x x Page 5 of 9 解答 22 131223 222fxxx xx x 参考 P163 定义 6 1 1 及 P164 例 3 19 设 3 元非齐次线性方程组Axb 有解 1 1 2 3 2 1 2 3 且 2r A 则Axb 的通解是 解答 2121 0202 0303 kkk 或为任意实数 参考 P112 定理 4 1 1 P119 性质 1 和定理 4 2 3 原方程组Axb 的导出组的基础解系有 321nr A 个解向量 且根据 P119 性质 1 可知该解 向量为 12 112 220 330 从而原方程组Axb 的通解为 2121 0202 0303 kkk 或为任意实数 20 设 1 2 3 则 T A 的非零特征值是 解答 14 参考 P133 例 9 因为 1123 2123246 3369 T A 先求出A的特征多项式 3 2 12312310200 2462403240 3693636 10 4 20 2 14 0 EA 3 按第3列展开 因此A的特征值为 123 0 14 三 计算题 本大题共 6 小题 每小题 9 分 共 54 分 Page 6 of 9 21 计算 5 阶行列式 20001 02000 00200 00020 10002 D 解答 参考 P7 定义 1 1 1 和例 7 1 5 44 153 20001 20000200 02000 02000020 2 1 00200 00200002 00020 00021000 10002 200 2 2 1 0202232824 002 D 22 设矩阵X满足方程 200100143 010001201 002010120 X 求X 解答 参考 P59 准对角矩阵的逆矩阵求法 P50 求逆矩阵公式 P39 定义 2 2 4 设 200 010 002 A 100 001 010 B 143 201 120 C 则由AXBC 可知 11 XA CB 又 1 1 00 2 010 1 00 2 A 1 100 001 010 B 从而 1111 1 00 143100 2 010201001 1120010 00 2 113 002 134 222 010210210 11021 0001 22 XA CBACB Page 7 of 9 23 求非齐次线性方程组 1234 1234 1234 31 3344 5980 xxxx xxxx xxxx 的通解 解答 参考 P120 参考 P120 例 1 113111131111311 313440467104671 159800467100000 A b 据此得到原方程组的同解方程组 1234 234 31 4671 xxxx xxx 即 34 1 34 2 363 4 671 4 xx x xx x 取 34 0 xx 得到一个特解 3 4 1 4 0 0 原方程的导出组的同解方程组为 1234 234 30 4670 xxxx xxx 即 34 1 34 2 63 4 67 4 xx x xx x 分别令 3 4 10 01 x x 和 可求得基础解系 1 3 2 3 2 1 0 2 3 4 7 4 0 1 于是求得原方程的通解 1 122 kk 12 k k为任意实数 24 求向量组 1 1 2 1 4 2 9 100 10 4 3 2 4 2 8 的秩和一个极大无关组 解答 参考 P102 例 8 设 123123 192192102 210040820010 11020190000 4480320000 TTT AB 记为 Page 8 of 9 易见B的秩为 2 从而A的秩为 2 即向量组的秩为 2 同时 12 是向量组的一个极大无关组 25 已知 212 53 12 Aa b 的一个特征向量 1 1 1 T 求a b及 所对应的特征值 并写出 对应于这个特征值的全部特征向量 解答 参考 P129 定义 5 1 1 P132 定理 5 1 2 P133 例 9 设 是A的属于特征值 的特征向量 则A 所以 21211 5311 1211 a b 从而 1 53 12 a b 即 1 3 0 a b 此特征值对应的全部特征向量为k k为任意实数 26 设 2112 121 1122 Aa 试确定a使 2r A 解答 参考 P73 矩阵的秩的求法 因为 21122112 2112 3333 1210101 2222 11