广东2012届高考仿真试题理科数学(三).doc

2012届高考模拟仿真试题广东(三)理科数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合Ax|xa(a21)i，aR，i是虚数单位，若AR，则a( C )A1 B1 C1 D0解析：若AR，则a210，故选C.2.若四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是( B )A直角梯形 B菱形 C矩形 D正方形解析：由0可得四边形ABCD的一组对边平行且相等，可知四边形ABCD为平行四边形由()0可得四边形ABCD的对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形，故选B.3.为了解某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)的关系，统计了(x，y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( B )A.10x198 B.10x198 C.10x198 D.10x198解析：由散点图可知商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)具有负线性相关的关系，易知选B.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为( D )A16 B2 C4 D8解析：其侧视图是长为4，宽为2的矩形，故选D.5.函数yAsin(x)k(A0，0，|，xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为( A )Ay2sin(x)1By2sin(x)Cy2sin(x)1Dy2sin(x)1解析：A2，k1，T2，T6，y2sin(x)1，2，y2sin(x)1.6.已知函数f(x)()xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值( D )A恒为负 B等于零 C不大于零 D恒为正解析：在同一坐标系中画出g(x)()x与h(x)log3x的图象(如图)，易知，当0x10，y0，z0；2x2yz1,2x3y3z1.5，得y2z0.5，故2(y2z)()2(5)18(当yz时，等号成立)，得x，yz.(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)P是椭圆(为参数)上一点，且在第一象限，OP(O为坐标原点)的倾斜角为，则点P的直角坐标为(，).解析：转化到直角坐标系中研究易得：P即为椭圆1与直线yx在第一象限的交点(，) 15.(几何证明选讲选做题)如图，AB是圆O的直径，CB切圆O于点B，CD切圆O于点D，交BA延长线于点E，若ED，ADE30，则BDC的外接圆的直径为2.解析：连接BD，ED，ADE30可得DBADEA30，DBCBCD60，AD1，BD，所以2R2.三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知向量m(sinA，)与n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角(1)求角A的大小；(2)若BC2，求ABC面积S的最大值解：(1)因为mn，所以sinA(sinAcosA)0.(2分)所以sin2A0，(4分)即sin2Acos2A1，即sin(2A)1.(5分)因为A(0，)，所以2A(，)故2A，即A.(7分)(2)因为BC2，由余弦定理得b2c2bc4，(8分)又b2c22bc，所以bc4(当且仅当bc时，等号成立)(10分)从而SABCbcsinAbc4.即ABC面积S的最大值为.(12分) 17.(本小题满分13分)一种光电打孔识别机对一个七位圆码进行打孔识别，当某圆处被打穿时，识别机读为1，当未被打穿时，识别机读为0，而圆孔是否打穿的概率是相等的(1)求有5个孔被打穿的概率；(2)如果前两个孔的读数是一样的，求共有5个孔被打穿的概率.解：(1)设事件：有5个孔被打穿为A，则在7次打孔中出现5次打穿，2次未打穿因为打穿与否的概率是相等的，且为P，(1分)根据独立重复试验概率公式P(A)C()5()2.(5分)(2)若前两次的读数一样，则可能是前两次都打穿了，或都未打穿若前2次都打穿，则必须在后5次中有3次打穿，2次未打穿，其概率为P1C()3()2，(8分)若前2次都未打穿，则必须在后5次中有5次打穿，其概率为P2()5，(12分)所以PP1P2.(13分) 18.(本小题满分13分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)若点M是棱PC的中点，求证：PA平面BMQ；(2)求证：平面PQB平面PAD；(3)若二面角MBQC为30，设PMtMC，试确定t的值解：(1)证明：连接AC，交BQ于N，连接MN、MQ.因为BCAD且BCAD，即BC瘙綊AQ.(2分)所以四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又因为点M是棱PC的中点，所以MNPA，(3分)因为MN平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MBQ.(4分)(2)证明：因为ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以CDBQ.因为ADC90，所以AQB90，即QBAD.(5分)又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以BQ平面PAD.(6分)因为BQ平面PQB，所以平面PQB平面PAD.(7分)另证：ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以BCDQ且BCDQ，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以CDBQ.(5分)因为ADC90，所以AQB90，即QBAD.因为PAPD，所以PQAD.因为PQBQQ，所以AD平面PBQ.(6分)因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(7分)(3)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PQ平面ABCD.(不证明PQ平面ABCD直接建系扣1分)如图，以Q为原点建立空间直角坐标系(8分)则平面BQC的一个法向量为n(0,0,1)；(9分)Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(1，0)(10分)设M(x，y，z)，则(x，y，z)，(1x，y，z)，因为t，所以，所以，(11分)在平面MBQ中，(0，0)，(，)，所以平面MBQ的一个法向量为m(，0，t)(12分)因为二面角MBQC为30，cos30，所以t3.(13分) 19.(本小题满分14分)某公司通过竞争获得某种品牌产品的经销权，该品牌产品每件产品的成本为3元，并且每件产品需向有关机构交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求该公司在该项目一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解：(1)该公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9,11(3分)(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)，(4分)令L0得x6a或x12(不合题意，舍去)(5分)因为3a5，所以86a.在x6a两侧L的值由正变负(6分)(1)当86a9，即3a时，L(x)0，L(x)递增；x6a,11时，L(x)0，L(x)递减；(10分)LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3，(11分)所以Q(a).(13分)答：若3a0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点(1)过A，B两点分别作该抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：，；(2)若p是不为1的正整数，当4p2，ABN的面积的取值范围为5，20时，求该抛物线的方程解：设直线AB的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1分)由，得x22pkxp20，所以x1x22pk，x1x2p2.(2分)抛物线的方程可化为yx2，yx，所以kNA，kNB，所以切线NA的方程为yx，切线NB的方程为yx.(4分)两方程联立得N(，)，从而可知N点，Q点的横坐标相同，但纵坐标不同，所以.(6分)又x1x22pk，x1x2p2，所以N(pk，)而M(0，)，所以(pk,0)又(0，)，所以0，所以.(7分)(2)因为x1x2(y1)(y2)(1k2)x1x2kp(x1x2)p2p2k2，(8分)又4p2，所以p2k24p2，所以k2或2.(9分)|y2y1pk(x1x2)2p2k2p2p10p，(10分)N(pk，)到直线AB：ykx的距离dpp，(11分)(或证明(x2x1)(pkpk)0，.又|p，(11分)所以SABN|p10p5p2.(12分)而SABN的取值范围是5，20，所以55p220，即1p24.(13分)而p0，所以1p2.又p是不为1的正整数，所以p2.故抛物线的方程为x24y.(14分) 21.(本小题满分14分)已知函数f(x)x2x，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn；(3)证明：对一切nN*，都有.解：(1)因为点(n，Sn)在f(x)的图象上，所以Snn2n，当n2时，anSnSn1n1；(1分)当n1时，a1S12，适合上式，(2分)所以ann1(nN*)(3分)(2)bn，Tnb1b2bn2，Tn， (5分)由得：Tn2(1)(1)12(