2013年高中数学教学论文 “直线与平面”错解点击.pdf

直线与平面 错解点击 直线与平面 错解点击 在 直线与平面 内容中 为了研究直线与直线之间 直线与平面之间 平面与平面 之间的各种关系 引进了一些基本概念和数学方法 例如 异面直线 直线与平面所成 的角 二面角 等概念 反证法 同一法等方法 对于这类特定的概念理解不准确 对 这些方法的掌握存在某些缺陷 解题时就容易出错 下面通过几例 对产生错误的解法进行分析 研究纠正错误的方法 从中吸取有益的教 训 以加深对知识的理解 提高解题能力 例 1 证明 斜线上任意一点在平面上的射影 一定在斜线的射影上 错解 如图 对于平面 直线 AB 是垂线 垂足 B 是点 A 的射 影 直线 AC 是斜线 C是斜足 直线 BC 是斜线 AC 的射影 在 AC 上任取一点 P 过 P 作 PO 交 BC 于 O 点 P 在平面 上的射影在 BC 上 点击 这样的证明似乎有点道理 事实上这些点也是在这条斜线在 该平面的射影上 但仔细分析 这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足 过点 P 作 PO 交 BC 于 O 恰恰是本题要证明的 是一种易犯的逻辑错误 许多同学在解题中往往 错而不觉 对此应引起警觉 正解 AC 是平面 的斜线 点 C 是斜足 AB 点 B 是垂足 则 BC 是 AC 在平面 上的射影 在 AC 上任取一点 P 过点 P 作 PO 垂足为 O AB PO AB 点 P 在 A B C 三点确定的平面上 因此 PO 平面 ABC O BC 例 2 已知 是两个不重合的平面 若平面 平面 平面 平面 则平面 平面 若平面 内不共线的三个点到平面 的距离相等 则平面 平面 a b 是平面 内的两条直线 且 a b 则平面 平面 以上正确命题的个数为 A O 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 错解 三个命题都正确 选 D 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析 缺乏把握空间元素位置关系的能力 不是用特殊代替一般 就是用一般统盖 特殊 如判断 是真命题 只是考虑了图 1 与图 2 的情况 而忽略了图 3 与图 4 的情况 1 2 3 4 用心 爱心 专心 1 而判断 是真命题 则是对平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交 直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 没有真正理解 用任意两条直线代替了定 理中的特指条件 两条相交直线 正解 因为三个命题都不正确 所以选 A 例 3 如图 E1 E2 F1 F2 G1 G2 H1 H2分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA上的三等分点 求证 E1H1 与F1G2是异面直线 错证 1 直接法 连 BD 由题设 AB AE1 3 1 AD AH1 3 2 E1H1与BD不平行 设其交点为P 则 P BD CB CF1 CD CG2 3 2 则 F1G2 BD P F1G2 又E1P 平面BCD 且E1 E1P E1 平面BCD 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P 即E1H1 与平面BCD内不过P点的直线F1G1 是异面直线 错证 2 反证法 设E1H1与F1G2不是异面直线 则E1H与F1G相交或E1H1 F1G2 设E1H1 F1G2 P E1H 平面ABD F 1G 平面CBD 则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上 则F1G2 BD P 这与F1G2 BD CBD中 CB CF1 CD CG2 3 2 矛盾 E1H1与F1G2不相交 设E1H1 F1G2 F1G2 BD 由公理 4 知 E1H1 BD 这与E1H1 BD P 在 ABD中 AB AE1 3 1 AD AH1 3 2 E1H1与BD不平行 必相交于一点P 矛盾 E1H1与F1G2不平行 综合 1 2 知E1H1与F1G2是异面直线 点击 采用证法 1 时 有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上 且 点E1在直线E1P上但不在平面CBD上 只证E1H1与F1G2无公共点的一面 而忽视它们不在同一平 面上 便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论 这是对其判定定理的片面理解 因而是错误的 在采用证法 2 时 易犯的错误也是不全面 只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还 应排除它们平行的可能 因此 一定要深刻理解异面直线的定义 克服证题中的片面性 例 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角 错解 连结A1C交BD1于E 则 D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角 设正方体的边长为a 用心 爱心 专心 2 2 3 则A1E D1E a 又 A1D1 a 在 A1ED1中 由余弦定理得 cos A1ED1 EDEA DAEDEA 22 11 2 1111 2 aa aaa 2 3 2 3 2 2 3 2 3 222 2 2 2 3 4 2 a a 3 1 A1ED1 arccos 3 1 即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos 3 1 点击 以上证法的错误在于 A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角 平面的一条斜 线与它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 本题中D1A1不垂直于 平面A1B1CD 所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影 正是对 直线在平面内的射影 这个概 念理解不清 导致了以上错误 所以在解此类题时 一定要先找出斜足 再作出垂足 垂足 与斜足连线才得射影 正解 A1B1 平面A1ADD1 又A1B平面A1B1CD 1 平面A1ADD1 平面A1B1CD 连结AD1交A1D于O 则D1O A1D D1O 平面A1B1CD 连A1C交BD1于E 连OE 则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影 设正方体的边长为a 则D1O D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角 2 2 a OE 2 1 AB 2 1 a 在Rt1OE中 tan D1EO D OE OD1 2 D1E0 aretan2 即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan2 半径为R的 例 5 已知 AB是 O的直径 0C AB P Q是圆上两点 且 AOP 30 0 COQ 450 沿OC折叠使半圆面成一直二面角 如图 求P Q两 点间的距离 错解 在平面 AOC 内 过点 P 作 PD OC 于 D 平面 BO 平面 AOCC 则 PD 平面 BOC 连结 平面 BOC PDQ 是直二面角 A O CB 的平面角 D POD 60 0 在Rt POD中 P DQ DQ P Q 90 0 AOP 30 0 D Rsin60 0 2 3 R 用心 爱心 专心 3 2 2 R 在Rt DOQ中 DQ Rsin45 0 22 4 2 4 3 RR R 2 5 22 DPDQ 在 Rt PDQ 中 PQ 是 即 P Q 两点间的距离R 2 5 点击 此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误 判定一个角是否是二面角的平面 顶点在棱上 角的两边分别在两个半平面内 这两条射 线都必须垂直于棱 误解中忽视了条件 中的 都 字 事实上 DQ 与 OC 不垂直 这再 角 必须同时满足三个条件 次提 醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义 概念一定要清楚 解题过程中要严格按定义要求 落实 不能随心所欲 正解 同错解 得 PD 2 3 R 又 0D