考研数学中的不等式证明.doc

考研数学中的不等式证明陈玉发 郑州职业技术学院基础教育处 450121摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题不等式的证明就是其中一项在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法但是，有时这种方法非常繁琐巧用中值定理可使一些不等式的证明简化关键词：考研数学 不等式 中值定理 幂级数 （作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究邮编：450121）微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法但是，有时这种方法非常繁琐巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下例1 （1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）(2)设，证明对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数， ，然后证明在时，这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下下面笔者给出几个简便的证明证： 利用拉格朗日中值定理： ，其中 ，其中原命题得证证： 利用微分中值定理， （微分中值定理），（）原命题得证证明 利用幂级数展开：设，原不等式等价于 ，而，由于，所以，通过比较以上两个级数可知原不等式成立对于不等式的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证一下例2 （1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）设，证明对任何，有证： 不妨设，显然，而，所以单调递减原不等式得证例3 （1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）论证：当时, 证：，（柯西中值定理），（介于1与之间）当时，上式显然成立；当时，我们可以证明，命题得证例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题） (15) 设，证明证：，因为，所以，所以，原不等式成立例5 （2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）证明：当时， 证：令 ，令，所以在内，单调减少，即原命题得证例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题 (1)比较与的大小,说明理由。解：因为 （拉格朗日中值定理） ，所以。即。例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）证明：， 证：原不等式等价于： （仅当时取等号）（当时），（柯西中值定理，其中），因为，所以不等式成立利用同样的方法可以证明当时，不等式成立综上所述，原不等式成立例8 证明：当时，证：当时，（利用柯西中值定理），其中原不等式成立例9 证明：当时，证明： （柯西中值定理） ，因为 ，所以，原不等式成立中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式而函数