圆锥曲线导学案.doc

曲江一中数学选修21导学案 天生我才必有用 2.1椭圆定义 学习目标 经历从具体情景中抽象出椭圆的过程；掌握椭圆的定义；并能根据定义判断和证明一些点的轨迹是否是椭圆。 学习重点 椭圆的定义及其应用。 学习过程 一、 情景（生活中的椭圆）【情景1】 将装有部分水的圆柱形水杯倾斜，观察水面边界线的形状，该形状为 。【情景2】 观察“嫦娥奔月”卫星飞行轨道示意图，其绕月运行轨道的图形是 。 问题：你能列举一些生活中是椭圆形状的实物吗？如 。 二、学习探究（经历椭圆定义的形成）【探究1】（下图1）取一条定长的细绳，把它的两端用图钉都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么曲线？ 【探究2】（下图2）如果把绳子的两端拉开一段距离（但该距离要小于绳长），分别用图钉固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这是笔尖画出的轨迹是什么曲线？ 【思考1】作图时,笔尖视为动点,两图钉视为两定点, 动点在运动过程中,动点到两定点距离的和符合什么条件?动点的轨迹是什么? 【思考2】改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,此时动点画出的轨迹是什么?是椭圆吗? 椭圆定义: 三、 典型例题（定义的理解与运用）【例1】 下列命题是真命题的有： 1 已知，到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；2 已知，到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；3 已知，到两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆；4 已知，到两点的距离相等的点的轨迹是椭圆； 【思考与探究】平面内动点到两定点距离的和为，若点的轨迹是椭圆，求的范围。【例2】如图3所示，为椭圆的左右两焦点，线段的延长线交椭圆于点，并且，直线过交椭圆于两点，求三角形的周长。【例3】如图4圆的半径为10，是圆内一定点，是圆上一动点，为线段的中点，线段的垂直平分线交于点，为线段中点。1 点的轨迹是什么图形？为什么？2 （选讲）点的轨迹是什么图形？为什么？3 （选讲）点的轨迹又是什么图形？为什么？四、学习小结 本节课主要学习了一个定义（椭圆及焦点）；一个注意（距离之和必须大于两定点间的距离）；一个应用（灵活运用椭圆定义判断或证明轨迹是椭圆）。通过本节的学习同学们要意识到定义理解和应用的重要性，在后续学习中应该加强这方面的的学习。四、 课堂检测1 命题甲：动点到两定点的距离之和为常数）；命题乙：的轨迹是椭圆，则命题甲是乙的 条件（充分不必要，充要，必要不充分，既不充分也不必要）2 已知中，为动点，且成等差数列，判断的轨迹是什么曲线？ 五、 课后探究 设为椭圆的左右两焦点，为椭圆上一点，我们称为椭圆的焦点三角形，请同学们课后根据问题探究椭圆焦点三角形的性质。 设椭圆上点到两焦点距离之和为，两焦点间的距离为（），为椭圆上的点 【问题1】椭圆的焦点三角形的周长是多少？有什么特点？ 【问题2】设，你能求出焦点三角形的面积吗？2.2.1椭圆的标准方程 学习目标 1 通过椭圆标准方程的推导，体会求曲线方程的一般步骤和解析几何基本思想（用代数方法研究几何问题）。2 掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。3 能用标准方程判断曲线是否是椭圆。4 体会数学的简洁美和对称美，了解椭圆与圆的关系。 学习重点 椭圆的标准方程的推导与应用。 学习过程 一、 课前复习【复习1】 椭圆的定义： 【复习2】回忆圆的标准方程的建立过程回答以下问题：（1） 圆的方程的实质是什么？ （2）建立圆的标准方程的步骤有： (参考答案:圆方程实质-圆上每一点的横纵坐标都必须满足的代数关系式; 步骤-建立直角坐标系，设出动点和定点的坐标;列出动点满足的几何关系式;将几何关系式转化为动点坐标满足的代数关系式;化简代数关系式;检验与证明)二、 学习探究（经历椭圆标准的推导）设椭圆的两个焦点分别为，它们之间的距离为，椭圆上任意一点到的距离和为【思考1】如何建立直角坐标系最简单？你利用了椭圆的什么性质建系？ 完成建系设点：以下以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立如图1所示直角坐标系，则（ ， ），（ ， ）设为椭圆上任意一点 列出动点满足的几何等式根据椭圆的定义有： 将几何等式转化为代数为代数等式即： 化简代数等式（思考如何化简） 移项： 平方： 再移项： 再平方： 两边同除以得： 为使方程简单，对称美观引入： 则所得椭圆的方程为： 【思考2】在方程的推导过程中，三个量有何关系？ （的大小） （的等式关系）【思考3】若将椭圆焦点放在轴上，所得的方程又是什么？ 其中的关系是： （的大小） （的等式关系）【思考4】比较两种方程，完成下表：焦点在轴上焦点在轴上图形焦点坐标关系三、典型例题（方程的理解与运用）【例2】 下列各方程表示的曲线是否是椭圆？如果是指出并写出焦点坐标。（1） （2）（3） （4）（5） （6）【思考5】方程当满足什么条件时其表示的是椭圆？ 【思考6】当方程表示椭圆时，如何判断其焦点的位置？ 【思考7】若方程表示焦点在轴上的椭圆，你能求出的范围吗？【例3】 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1），焦点在轴上；（2）经过两点【思考8】你所用的方法和注意事项是什么？ 【例4】 将圆上的每一点的横坐标变原来的，纵坐标保持不变，求所得曲线的方程，并说明是什么曲线。四、学习小结 本节课主要学习了椭圆的标准方程，以及用待定系数法求标准方程；在应用方程时要注意分清椭圆焦点的位置（没有指明时要注意讨论）以及基本量之间的关系。五、课后巩固与提高3 椭圆的焦点坐标为 4 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围是 3经过两点的椭圆的标准方程为 4已知为坐标原点，是椭圆上一动点，点满足，求的轨迹对应的方程。2.2.2椭圆的几何性质(一) 学习目标 1. 掌握椭圆的简单的几何性质2. 感受运用方程研究曲线几何性质的解析几何思想. 学习重点 椭圆的简单的几何性质及其应用。 学习过程 一、 复习引入【复习】 椭圆标准方程:焦点在轴上焦点在轴上图形焦点坐标关系二、学习探究【探究】观察焦点在轴上椭圆的图形,你能发现椭圆的哪些性质?你能从方程(及代数)角度加以解释吗?【问题1】根据探究完成下表:焦点在轴上焦点在轴上图形方程范围顶点焦点轴长长轴长= 短抽长= 焦距 对称【问题2】在上一节我们已经知道,无论是焦点在轴上还是焦点在轴上,总有,你能在图形上找到该式的几何含义吗?请在下图中标出【问题3】下图没有标出焦点的位置,你能利用尺规作图找出其焦点吗?三、典型例题【例1】已知椭圆的方程为,写出它的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标。【练习1】写出椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标。【例2】根据下列条件，求出椭圆的标准方程。（1） 一个焦点为，短半轴长为2；（2） 经过点且与椭圆有相同的焦点；（3）焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到右顶点的距离为；【例3】（选讲）已知是椭圆上点，为椭圆两焦点，且，求：（1）的周长；（2）的面积。四、学习小结 本节课主要运用了椭圆的方程，从代数角度讨论了椭圆的简单性质包括椭圆的范围、对称性以及焦点、顶点、长轴（或短轴）长、焦距等概念。五、课后巩固与提高 1椭圆的长轴长为 短轴长为 焦距为 焦点坐标为 。2椭圆的一个焦点坐标为，则 3椭圆的焦距为，则 4椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，则点的纵坐标为 5已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆方程。 6已知椭圆在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且椭圆焦距为6，求椭圆方程。 7已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程2.2.2椭圆的几何性质(二) 学习目标 理解离心率的概念和作用；会解决简单的与离心率有关的求值或范围问题。 学习重点 椭圆的离心率及其求法。 学习过程 一、 复习引入【复习1】 椭圆的简单性质:焦点在轴上焦点在轴上图形方程范围顶点焦点轴长长轴长= 短抽长= 焦距 对称【复习2】椭圆标准方程中的关系及其几何含义 二、学习探究【探究】结合图一和图二探讨用什么量去刻画椭圆的扁平程度？ 说明：图一中的三个椭圆具有相同的焦点又图一观察可以得出当相同时，越 （填大或小），椭圆越扁 说明：图二中三个椭圆的长轴相同 图二又图二观察可以得出当相同时，越 （填大或小），椭圆越扁。n 椭圆离心率公式及其作用：离心率定义式： 【思考1】利用的关系，椭圆离心率还可以表示怎样的形式？离心率变形式： 【思考2】椭圆离心率的范围是怎样的？ 三、典型例题【例1】（1）求椭圆的离心率。 （2）已知椭圆一焦点将椭圆长轴分成，求椭圆离心率。 （3）已知椭圆过点，离心率，求。 （4）若椭圆的离心率，求。【例2】（1）为椭圆的两焦点，过的直线交椭圆于两点，求椭圆的离心率（2）椭圆的左焦点，是两顶点，如果到直线的距离不超过，求离心率的范围。四、 课堂小结本节课主要学习了椭圆离心率的概念和定义式以及其变形式，如何求离心率或其范围，要充分利用几何条件，寻找的齐次方程或齐次不等式。五、 课后巩固与提高1 根据条件，求出椭圆的标准方程（1） 焦距为8，离心率为。（2） 离心率，长轴长与短轴长之和为36（3） 经过点，2已知椭圆方程为（1）若其焦距为1，求的值。（2）若其离心率为，求的值。2 求离心率问题（1） 若椭圆两焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离，求椭圆离心率。（2） 设椭圆的两焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。（3） 设椭圆的两焦点分别为，为椭圆上一点，且满足，求椭圆离心率。2.2.3直线与椭圆位置关系 学习目标 体会解析几何基本思想、设而不求、数形结合思想；掌握直线与椭圆位置关系的判断方法和弦长公式 学习重点 直线与椭圆位置关系与弦长公式；设而不求思想。 学习过程 二、 探究点与椭圆位置关系【探究1】 已知椭圆方程为，判断点与椭圆的位置关系（填在椭圆内部、椭圆上、椭圆外部）以及与1的大小关系（填）。（1） 若，则点在椭圆 ，此时 1（2） 若，则点在椭圆 ，此时 1（3） 若，则点在椭圆 ，此时 1【新知1】设点，椭圆的方程为则以下关系等价：点在椭圆外 点在椭圆上 点在椭圆内 例题1若点在椭圆的内部，求的取值范围。二、探究直线与椭圆位置关系【探究2】观察下列图形一，可以得出直线与椭圆的位置关系有 （数字作答）种，分别是 【探究3】 已知椭圆，直线，判断直线与椭圆是否又交点？若有，你能求出交点和两交点之间的距离吗？（注意体会交点横纵坐标的来源）【新知2】设椭圆，直线，联立两方程得方程组： 消去整理得： （*）结合图形完成下表：图形交点个数位置关系方程组解的个数方程（*）的判别式【思考】你能简单叙述一下求直线与椭圆交点的步骤吗？ 例题2已知椭圆以及直线，当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？【巩固练习1】求证：直线与椭圆恒有两个交点。【新知3】结合探究3和下图完成完成以下填空： 如上图 若直线与椭圆相交于两点，则： （运用两点间距离公式） （利用点满足直线方程）（弦长公式）例题3若直线被椭圆：截得的弦长为，求直线方程。【巩固练习2】已知直线，椭圆，求直线被椭圆截得的弦的长度。【巩固练习3】若直线，椭圆。a) 求证：直线与椭圆相交；b) 若交于两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线方程；c) 求直线被椭圆截得的弦长的最大值。2.3.1双曲线及其标准方程 学习目标 经历从具体情景中抽象出双曲线的过程；掌握双曲线的定义与标准方程；能运用待定系数法求双曲线的标准方程。 学习重点 双曲线的定义及其标准方程的建立与应用。 学习方法 动手操作、观察、类比学习。 学习过程 三、 问题情景【情景】 感受双曲线，图一是电厂常用的双曲线形冷却塔；图二是广州塔（俗称小蛮腰），观察边缘线形状。 图一 图二【问题】 如何去定义双曲线？如何去建立双曲线方程？双曲线具有哪些性质？四、 学习探究【探究1】双曲线定义，请同学们按如下步骤作图：1） 作出一条长度为的线段（为常数）；在平面内取两定点2） 在线段的延长线上取一点；3） 以为圆心，为半径画圆；以为圆心，为半径画圆，作出两圆的交点；4） 在线段的延长线上取其他的点 ，重复3）的步骤；把所有交点用线连接；5） 以为圆心，为半径画圆；以为圆心，为半径画圆，作出两圆的交点；6） 对所取的点，重复步骤5）把所有交点用线连接。【思考1】在你所作的两条连线中，右边连线上的点满足怎样的几何条件？左边连线上的点又如何？ 若点在左边连线则 若点在右边连线则 【思考2】根据你的作图过程类比椭圆定义你能给双曲线下个定义吗？ 双曲线定义： 定义中的关键字： 【探究2】双曲线的标准方程的建立过程：类比椭圆标准方程的建立步骤思考如何建立双曲线的标准方程。a) 如何建立直角坐标系，如何设点？b) 动点满足的几何等式关系是什么？ c) 将几何关系转化为代数关系式为？ d) 如何化简代数关系式？（过程） 【思考3】当焦点在轴上时，双曲线的标准方程是怎样的？ 【思考4】在方程中始终具有怎样的关系？ 完成下表：（双曲线的标准方程）焦点在轴上焦点在轴上图形方程焦点坐标的关系五、 典型例题例题1 判断下列方程表示的曲线是否是双曲线，若是指出以及焦点位置和焦点坐标。（1） （2）（3） （4）【思考5】当满足什么条件时，方程表示双曲线？ 【思考6】若方程表示双曲线，如何判断双曲线的位置？ 【思考7】若方程表示焦点在轴上的双曲线，求的范围。例题2 求适合下列条件的双曲线的标准方程。（1），经过点，焦点在轴上；（2）；（3）经过点；（4）与双曲线有相同的焦点，且经过点。【反思】题型及问题是： 所用的方法是： 解题基本步骤： 应注意的问题是： 例题3 已知两地相距800 ，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2 ，设声速为，（1） 爆炸点在什么曲线上？（2） 求这条曲线的方程。【思考8】最少需要几个观测点就可以确定爆炸点的确切位置？（阅读课本44页的双曲线时差定位） 总结与反思 主要内容： 需注意的问题： 基本思想和方法： 巩固与提高 1 已知双曲线上一点到焦点的距离为8，则到的距离为： 2设圆的方程为，是圆上一动点，是圆外一点，直线（为圆心）与线段的垂直平分线交于点，求的轨迹方程。3已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程。4若，且直线的斜率乘积为常数，求点的轨迹方程，并讨论其表示的曲线类型。2.3.2双曲线的几何性质（一） 学习目标 能从几何、代数角度去理解双曲线的基本性质，并能根据几何条件求双曲线方程，会求双曲线的离心率，进一步体会解析几何基本思想。 学习重点 双曲线的相关概念，离心率的求法 学习方法 观察、类比学习。 学习过程 一、问题情景【问题情景一】在前面，我们已经利用椭圆的方程（代数）讨论了椭圆的几何性质（几何）其中包括 （填几何性质）；我们如何利用双曲线的方程去讨论双曲线的性质呢？请同学们认真阅读课本，结合下图，小组合作探究完成后面的表格： 图一方程范围对称性顶点实轴虚轴【问题情景二】与椭圆类似，在双曲线中我们将也称为双曲线的离心率。【思考1】结合图二思考双曲线离心率反映了双曲线的什么性质？ 图二【思考2】结合双曲线之间的关系，你能得出其离心率的变形式和离心率的范围吗？变形式： 范围： 二、 典型例题例题1求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率。练习1求双曲线的离心率。练习2 P是以F1F2为焦点的双曲线上一点,若PF1PF2,且tanPF1F2= ,求双曲线的离心率。练习3求以椭圆的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.例题2（1）若双曲线以坐标轴为对称轴且实轴长为，离心率，求双曲线标准方程； （2）已知双曲线与双曲线有共同的离心率，且经过点，求双曲线的标准方程。三、 巩固与提高1.已知双曲线的方程为，则它的实轴长为_，虚轴长为_，焦点坐标为_，离心率为_2已知曲线方程为，(1) 当曲线为椭圆时，k的取值范围是_。(2) 当曲线为双曲线时，k的取值范围是_。3.F1、F2为双曲线的两个焦点，点P