概率论与数理统计公式整理.doc

第1章 随机事件及其概率1排列组合 2关系运算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3几何概型v （1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某个区域,面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空间上的某个立体,体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。根据题意，这是一个几何概型问题，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P()=1- P(B)6条件概率事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)08独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立. 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。9伯努利概型概率P(A)=p , 发P()=1-p=q，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。 第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2连续型随机变量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函数 1 ； 2、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2)； 3 ， ； 4 右连续性： 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量， 二项分布， 当时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 , 0, , , x2)二维随机变量的数字特征期望 函数的期望方差协方差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).，X与Y的方差D（X）与D（Y）也分别记为与。cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)相关系数如果D（X）0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作|1，当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：cov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩X与Y的k+l阶混合原点矩，记为k+l阶混合中心矩记为：独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则 伯努利大数定律当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，辛钦大数定律（2）中心极限定理列维林德伯格/独立同分布的中心极限随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：棣莫弗拉普拉斯二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。泊松定理若当，则 其中k=0，1，2，n，。第六章 样本及抽样分布数理统计的基本概念样本函数和统计量（）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩 ，,其中为二阶中心矩。 （2）正态总体下的四大分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布。样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布样本函数 其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。第七章 参数估计（1）点估计矩估计样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有极大似然估计样本的似然函数，简记为Ln. 为样本的似然函数。最大似然估计量。 估计量的评选标准无偏性若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出的置信区间第八章 假设检验基本步骤1）提出零假设