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文档简介

高 等 数 学第三次课教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用语言验证函数极限的步骤。（2） 了解无穷小概念及其与函数极限的关系（3） 了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念教学难点：函数极限的定义教学关键：函数极限的定义教学过程：一、由数列极限引入函数极限根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：（1） 自变量趋于无穷大的函数的极限（2） 自变量趋于有限值的函数极限二、定义1、自变量趋于有限值的函数极限定义：设在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记做说明：1、对于给定的，不唯一 2、在有无极限与有无定义无关例1、证明：，得证。例2、证明极限证明：，有，有得证左极限与右极限（1）当从的左边趋于时，则称A为当 的左极限，记作或（2）当从的右边趋于时，则称A为当 的右极限，记作或结论：2、自变量趋于无穷大时函数的极限的三种情况： （） （） 定义：设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 满足不等式X时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记作定义：设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 满足不等式X时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记作说明：类似可以定义函数的左极限例：利用极限定义证明证明：， 所以得证三、函数极限的性质1、（唯一性）如果存在，则此极限唯一。2、（局部有界性）如果=A，那么存在常数M0,和，使得当时有证明：因为=A，所以取时，有记M=，则得证3、（局部保号性）如果=A而且A0（或A0(或)说明：由此定理可以得到更强的结论：如果=A（A），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有推论：如果的某一去心邻域内，那么A或（A）函数极限与数列极限的关系：如果存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数值数列必收敛，且证明：设=A，则当时有，又因故对由假设，。故当时，从而，即四、无穷小与无穷大1、无穷小：如果函数当为当时的无穷小。如为无穷小如为无穷小说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关定理1、在自变量的同一变化过程中，函数具有极限A的充分必要条件是=A+，其中是无穷小。2、无穷大设函数在的某一去心邻域有定义（或大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。注意：无穷大与很大数的区别 3、 无穷小与无穷大的关系定理：在同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小：反
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