浙江专版2高考数学复习平面向量与解三角形5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理课件.pptx

第五章平面向量与解三角形 5 1平面向量的概念及线性运算 平面向量基本定理 高考数学 考点一平面向量的线性运算及几何意义1 既有大小又有方向的量叫做向量 向量可以用有向线段来表示 2 向量的大小 也就是向量的长度 或称模 记作 3 长度为0的向量叫做零向量 记作0 长度为1个单位长度的向量叫做单位向量 4 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 也叫做共线向量 规定 0与任一向量平行 5 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 6 向量的加法法则 三角形法则和平行四边形法则 7 向量加法的交换律 a b b a 向量加法的结合律 a b c a b c 知识清单 8 与a长度相等 方向相反的向量叫做a的相反向量 记作 a 规定 0的相反向量是0 9 实数 与非零向量a的乘积 a是一个向量 它的长度是 a 的 倍 即 a a 它的方向 当 0时 与a同向 当 0时 与a反向 显然 当 0时 a 0 10 设a b是任意向量 是实数 则实数与向量的积适合以下运算律 1 结合律 a a 2 第一分配律 a a a 3 第二分配律 a b a b 11 向量共线的判断 1 若a与b是两个非零向量 则它们共线的充要条件是 有且只有一个实数 使得b a 2 若a与b是两个非零向量 则它们共线的充要条件是存在两个均不是 零的实数 使得 a b 0 考点二平面向量的基本定理及坐标表示1 平面向量的基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 不共线向量 那么对这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中e1 e2是一组基底 2 平面向量的坐标运算 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 2 若A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 3 若a x y R 则 a x y 3 向量平行的坐标表示 1 如果a x1 y1 b x2 y2 b 0 则a b的充要条件为 x1y2 x2y1 0 2 三点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 共线的充要条件为 x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 0 4 几个重要结论 如图 1 若a b为不共线向量 则a b a b为以a b为邻边的平行四边形的对角线向量 2 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 3 G为 ABC的重心 0 G 平面向量的线性运算的解题策略平面向量线性运算的思路 1 根据已知条件 正确选择基底 2 把条件和结论 或问题 中的所有向量用基底表示 3 进行相关的运算 例1 2017浙江台州质量评估 16 已知不共线的平面向量a b满足 a 3 b 2 若向量c a b R 且 1 则 方法技巧 解题导引设 a b c 由条件知A B C三点共线 且OC为 AOB的平分线 由平分线性质得结论 解析如图 设 a b c 因为向量c a b R 且 1 所以A B C三点共线 由 知 c cos c cos 所以OC为 AOB的平分线 因为c a b a 1 b 所以c b a b 即 所以 易知 所以 答案 平面向量的坐标运算的解题策略向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示 在引入向量的坐标表示后 向量的运算就完全可以转化为代数运算 这样就可以将 形 和 数 紧密地结合在一起 因此 很多几何问题的证明 特别是共线 共点等较难问题的证明 就可以转化为较为简单的代数运算的论证 例2 2016浙江名校 杭州二中 交流卷三 15 已知 ABC中 AB 4 AC 2 若 2 2 的最小值为2 则对于 ABC内 包括边界 一点Q 的取值范围是 解题导引建立合适的平面直角坐标系 由最值确定点B坐标 由向量的坐标运算把向量的数量积转化为动点与定点的距离的平方 由距离的几何意义得结论 解析不妨设 2 2 2 1 1 其中C为AN的中点 可知B M N三点共线 且AB AN 4 因为 的最小值为2 且易知取到最小值时 AM BN 所以 MAN 60 所以 BAC 120 如图 建立以A为坐标原点 AC所在的直线为x轴的平面直角坐标系 设B点在x轴上方 可得A 0 0 B 2 2 C 2 0 则BC的中点D的坐标为 0 设Q