矩阵及矩阵运算的应用.doc

矩阵及矩阵运算的应用例1 在讨论国民经济的数学问题中也常用到矩阵.例如,假设在某一地区,某一种物资,比如说媒,有s个产地A1,A2,AS和n个销地B,B,B.那么一个调运方案就可以用一个矩阵 来表示.其中a表示由产地A运到销地B的数量.则某一种物资若有s个产地,n个销地.那么一个调运方案就可表示为一个sn矩阵,矩阵中的元素表示由产地A要运到销地B的这种物资的数量,比如说吨数.如果从这些产地还有另一种物资要用到这些销地,那么这种物资的调运方案也可表示为sn矩阵,于是从产地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵.显然,这个矩阵就等于上面俩个矩阵的和.例2 在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究.如果我们把四种等位基因、B、O区别开，有人报告了如下的相对频率，见下表爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人BO0.29140.00000.03160.67700.10340.08660.12000.69000.20900.06960.06120.66020.22080.00000.20690.5723总计1.00001.00001.00001.0000现在的问题是：一个群体与另外一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因的“距离”合宜的度量.解：有人提出一种利用矢量代数的方法.首先，我们用单位矢量，即绝对值为1的矢量，来表示每一个群体.为此目的，我们取每一种频率的平方根，记.由于对这四种群体的每一种有所以我们得到.这意味着下列四个矢量（爱斯基摩人）（班图人）（英国人）（朝鲜人）的每一个都是单位矢量，即在四维空间中，这些矢量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个矢量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把和之间的夹角记为，那么由于，再由内积公式，得：cos=有详细的数值是cos=（0.5398）（0.3216）+.=0.9187= 按同样的方式，我们可得到下表：（单位为度）爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60最小的“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的“距离”最大. 例3 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动做年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变，并且认可流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？解 设开始时，令乡村人口为，城镇人口为，一年以后有乡村人口： 城镇人口： 或写成矩阵形式两年以后，有十年以后，有事实上，它给出了一个差分方程;=A.我们现在来解这个差分方程.首先年之后的分布（将A对角化）：=().这就是我们所要的解，而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态=()总人口仍是，与开始时一样，但在此极限中人口的在城镇，而在乡村.无论初始分部是什么样的，这总是成立的.值得注意的是这个稳定的状态正是A的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质：人口总数保持不变，而且乡村和城镇的人口数绝不能为负.前一性质反映在下面的事实中：矩阵每