2013中考数学四边形.doc

新思维教育一对一个性化教案授课日期： 2013 年 3月 日学生姓名教师姓名授课时段年 级初学 科数学课 型一对一教学内容第三章：四边形教 学重、难点知识点：一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 9、n边形的对角线共有条。 说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。 10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n2）180。 11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。 二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3矩形性质定理2：矩形的对角线相等。 4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 说明：要判定四边形是矩形的方法是： 法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明） 法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1） 法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2） 四、菱形 菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。 3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。 5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 说明：要判定四边形是菱形的方法是： 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2） 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1） （五）正方形 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。 注意：要判定四边形是正方形的方法有 方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明） 方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1） 方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2） 六、梯形 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底） 3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。 研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。 七、中位线 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。 3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。八、多边形的面积说明：多边形的面积常用的求法有：（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。 （2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。 （3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。 注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。一、选择题1. 如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）A. 21B. 26C. 37D. 422. 如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=，则CEF的周长为（ ）（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.53.在平面中，下列命题为真命题的是（ ）。（A）、四边相等的四边形是正方形（B）、对角线相等的四边形是菱形（C）、四个角相等的四边形是矩形（D）、对角线互相垂直的四边形是平行四边形二、填空题1. 假设电视机屏幕为矩形。“某个电视机屏幕大小是64cm”的含义是矩形对角线长为64cm。如图，若该电视机屏幕ABCD中，则电视机屏幕的高CD为_cm。（精确到1cm）2、如图，点o是AC的中点，将周长为4的菱形ABCD沿对角线AC方向平移Ao长度得到菱形OBCD,则四边形OECF的周长是 三、解答题1、 （本小题满分14分）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB/DC，B=90，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m。（1）求边AD的长；（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）若S=3300m2，求PA的长。（精确到0.1m） 2. （本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD的面积为S。（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？ 3(本小题满分12分) 图8是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B-D-A-E，路线2是 B-C-F-E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明4、 （10分）如图7，在菱形ABCD中，DAB=60，过点C作CEAC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形图75. （本小题满分9分）如图9，在ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。6.（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。7（9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，ADBC求证：AC1808（ 14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO其它省市中考题：1. 已知：如图，在口ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF=CE。求证：DE=BF2.如图（1），等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，以HF为直径的O与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H，其中H为AD的中点，F为BC的中点，连结HG、GF。 （1）若HG和GF的长是关于x的方程x26xk=0的两个实数根，求O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围。（2）如图（2），连结EG、DF，EG与HF交于点M，与DF交于点N，求的值。CGDHAEBFOCGDHAEBFOMN （1） （2）3.等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连结CE（1）求证：CE=CA；（5分）ABECDABECDF（2）上述条件下，若AFCE于点F，且AF平分DAE，求sinCAF的值。（5分）ADBC4.如图，在梯形ABCD中，ADBC， AB=DC=AD，ADC=1200（1）（分）求证：BDDC （2）（分）若AB=4，求梯形ABCD的面积6.如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的长7.如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C的位置，BC交AD于点G.（1）求证：AG=CG；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长.8. 如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式图7BCA(C)D(D)E9. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，对角线AC、BD相交于点O，BO = DO。A DB CO题15图求证：四边形ABCD是平行四边形。10、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE。已知BAC=30，EFAB，垂足为F，连结DF。（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。四边形答案三、解答题1、. 解：（1）过点D作DEAB于D则DE/BC且DE=BC，CD=BE，DE/PMRtADE中，DE=80mAE=AB-BE=100-40=60m（2）DE/PMAPMADE即即MB=AB-AM=由，得自变量x的取值范围为（3）当S=3300m2时，即当时，PA的长为75m，或约为91.7m。 2. 解：（1）如图所示（2）设正方形ABCD的边长为a则同理， 。（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为，从而算出）（3）理由如下。首先画出图形，连结BD、BD1BDD1中，AB是中线又AA1D1中，BD1是中线同理，得同理，得由（2）得，3（方法不止一种！）解：这两条路线路程的长度一样。证明：延长交于点，是公共边四边形是平行四边形垂直平分，路线的长度为：,路线的长度为：综合，可知路线路程长度与路线路程长度相等。4.提示：得，由DC/AE,AD不平行CE得证5. （本小题满分9分） 证明：D、E是中点，所以DE/BC，DE=0。5BC=EC，所以四边形DECF是平行四边形。6.（本小题满分14分） 解：(1) 易证ABFADH,所以AF=AH (2) 如图，将ADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证AFHAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE (3) 设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得（1-x）2+（1-y）2=(x+y-1)2, 化简得xy=0.5,所以矩形EPHD的面积为0.5.7、证明：梯形ABCD是等腰梯形，BC又ADBC，AB180AC1808（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，图1 此时E（2b，0）SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为其它省市中考题：1、【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD。BAE=DCF。AE=CF，ABECDF（SAS）。BE=DF。2、【答案】解：（1）HF是O的直径，HGF是直角三角形。 HF2=HG2GF2=(HGGF)22HGGF 由一元二次方程根与系数的关系：HGGF=6 ，HGGF=k，HF2=622k。 HF0 ，HF=。 方程x26xk=0的两个实数根，=624k0 又k=HGGF0，且362k0，0k9。 （2）F是BC的中点，H是AD的中点， 由切线长定理得： AE=AH=HD=DG， EB=BF=FC=CG。AE：EB=DG：GC。 AD/EG/BC。 ADHF， GEHF。设DG=DH=a，CG=CF=b，AD/EG/BC，DNGDFC，FMNFHD。 NG：FC=DG：DC， 即NG:b=a:(a+b)， MN：HD=NF：DF=CG：DC , 即MN:a=b:(a+b)。 NG=MN 。又由垂径定理得EM=GM，=。3【答案】解：（1）证明：四边形ABDE是等腰梯形，AC=BD。CD=BE且CDBE，四边形DBEC是平行四边形。CE=AC。CE=BD。（2）CD=BE，且，。AFEC，BDEC，AFBD，设垂足为O，AF平分DAB，AF垂直平分BD，即BO=BD=AC=CE。BOCE，ABOAEF。，即 。EF=CE。CF=CE=AC。sinCAF=。4、【答案】解：（1） 证明： ADBC，ADC=1200，C=600。 又 AB=DC=AD，ABC=C=600，A