线性代数__第四单元测试.doc

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 专业 班 姓名 学号 一判断题若线性相关，则对于任一组不全为零的数总有 ( ).若线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合。( )含有非零向量的组向量的最大无关组是唯一； ( ).向量组与其自身的任一最大无关组等价。( )有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ ）有无穷多个解的非齐次线性方程组的通解的形式不唯一； （ ）集合是一个向量空间； （）8、有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ ）二选择题1n维向量线性相关的充分必要条件是 D （A）对于任何一组不全为零的数组都有（B）中任何个向量线性相关（C）设，非齐次线性方程组有唯一解（D）设，A的行秩 s.解：由相关的充要条件：向量组相关2若向量组线性无关，向量组线性相关，则 C （A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示 （D）比不可由线性表示解： 由线性无关（整体无关，部分无关），而线性相关（只需前得系数取0）3.设向量组，则下列说法不正确的是（C ） A、若中有一个是零向量，则向量组线性相关， B、若线性无关，则其中任意向量不能由其余向量线性表示 C、若可由线性表示，则表示式必不唯一D、零向量必可由线性表示。4若是向量组的最大线性无关组，则下列说法不正确的是 （ B ） A、可由线性表示 B、可由线性表示C、可由线性表示 D、可由线性表示5设有其次线性方程组和，其中均为矩阵，现有四个命题： 若的解均是Bx=0的解，则R（A）R（B）；若R（A）R（B），则的解均是的解；若与同解，则；若，则与同解以上命题中正确的是（ B ）。A、 B、 C、 D、6.设向量组(I)可由向量组（II）线性表示，则 （ D ） A、当时，向量组（II）必线性相关 B、当时，向量组（II）必线性相关 C、当时，向量组（I）必线性相关 D、当时，向量组（I）必线性相关7设n维向量组的秩为3，则 C （A）中任意3个向量线性无关 （B）中无零向量（C）中任意4个向量线性相关 （D）中任意两个向量线性无关8.若是向量组的最大线性无关组，则下列说法不正确的是 （ B ） A、可由线性表示 B、可由线性表示C、可由线性表示 D、可由线性表示9.非齐次线性方程组中，未知数个数为4，方程个数为3，又设3个线性无关的向量 都是该方程组的解，为任意常数，则该方程组的通解为 （ ）A、 B、C、 D、解：通解特解（非齐次）通解（齐次）10.已知 是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程 的通解必是（ ）A、 B、 C、 D、三填空题： 1 设，其中，则 2 已知线性相关，则 2 解：列摆行变换：，3 设向量组线性无关，则满足关系式 解：方法：4已知向量组的秩为2，则t = 3 5已知向量组，则该向量组的秩为 2 6.向量组，的秩为2，则a = 2 b = 5 7.方程的通解为 8、设为的矩阵，方程 以 为基础解系，则 . 9、已知 则向量空间L的维数为 解： 生成空间的维数为 向量组的秩 10、齐次线性方程组的解空间S的一个基为 ，S的维数为 3 。解：令自由变量故基础解系（即解空间的基为）11.从的基，到基，的过渡矩阵为解; 即四计算题：1 设向量，试问当为何值时 （1）可由线性表示，且表示式是唯一？（2）可由线性表示，且表示式不唯一？（3）不能由线性表示？ 2设， （1）试求的最大无关组，把不是最大无关组的向量用最大无关组表示 （2）d为何值时，可由的最大无关组线性表示，并写出表达式3. .分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由变量取定值。4、方程组 何时有解，并求其通解（用向量形式表示）。 令，得，即特解为：令：，得即得到基础解系： 即通解为：五、证明题：1、设向量组线性无关，用三种方法证明：向量组线性无关。证明：法一：定义法令，只需证明系数全为零由克拉默法则，有唯一零解故命题