全国高考数学复习第八篇圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题习题理.docx

第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1圆锥曲线的定值问题2,5,6圆锥曲线的存在性问题3,4,7,81.导学号 18702516已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C过点P(1,),直线PF1交y轴于Q,且=2,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.(1)解:因为椭圆C过点P(1,),所以+=1,因为=2,所以PF2F1F2,则c=1,所以a2-b2=1,由得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m1),A(x1,y1),B(x2,y2),(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=,x1x2=,k1+k2=2+=2=2,即(2-2k)x2x1=(m-1)(x2+x1)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),由于m1,所以(1-k)(m+1)=-kmk=m+1,即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x.综上得直线AB过定点(-1,-1).2.(2016河北衡水中学调考)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.解:(1)由题意得所以故椭圆C的方程为+=1.(2)是定值.设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),直线PQ的方程为x=my+3,联立所以(3m2+4)y2+18my-21=0,所以y1+y2=,y1y2=,由A,P,M三点共线可知=,所以yM=,同理可得yN=.所以k1k2=,因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=-为定值.3.导学号 18702517已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为+=1(ab0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆方程为+y2=1.(2)根据题意得直线l方程为y=x-1,解方程组得P,Q坐标为(0,-1),(,),则|PQ|=,点O到直线PQ的距离为,所以SPOQ=.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k0).P,Q坐标为(x1,y1),(x2,y2),由得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=,x1x2=,则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),其中x1x2,由于以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,所以|=|,计算得m=(k0),所以0mb0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得=?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又=tan 60=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)存在.设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k0),代入+=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=,y0=k(x0-1)=-,由=得(+)=(2)=0,所以直线TR为线段PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+=-(x-),令y=0得T点的横坐标t=,因为k2(0,+),所以+4(4,+),所以t(0,).所以线段OF上存在点T(t,0)使得=,其中t(0,).5.导学号 18702518已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且过点(,).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k0),与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得解得a=2,b=1.所以椭圆的方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得,(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,(*)因为直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,所以4k=+=+,得2kx1x2=m(x1+x2),将(*)代入得m2=,经检验满足题意.6.椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为的直线l交C于A,B两点.当m=0时,=-.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:|PA|2+|PB|2为定值.(1)解:因为离心率为,所以=.当m=0时,l的方程为y=x,代入+=1并整理得x2=.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),=-=-=-.又因为=-,所以a2=25,b2=16,椭圆C的方程为+=1.(2)证明:l的方程为x=y+m,代入+=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则|PA|2=(x1-m)2+=,同理|PB|2=.则|PA|2+|PB|2=(+)=(y1+y2)2-2y1y2=(-)2-=41.所以|PA|2+|PB|2是定值.7.导学号 18702520已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+y2=1.曲线E的方程是+y2=1.(2)有.设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.联立消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0,=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m20,x1=,x2=,S四边形ACBD=|AB|x2-x1|=,当且仅当2|m|=,即m=时等号成立,此时n=,经检验可知,直线l的方程为y=x-或y=-x+时四边形ACBD的面积最大,最大值为.8.导学号 18702521已知A是椭圆M:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,F是椭圆M的右焦点,过点F的直线l与椭圆M交于B,C两点.(1)若|OB|=|OC|,求B,C两点的坐标;(2)是否存在直线l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)由x2+5y2=5可得+y2=1,所以c=2,所以F(2,0),A(0,1).由椭圆的对称性可知,满足|OB|=|OC|的直线l有两种:当直线lx轴时,令x=2,y=.所以B,C两点的坐标分别为(2,)和(2,-).当直线l与x轴重合时,B,C两点的坐标分别为(,0)和(-,0).(2)存在.易知,当直线l与x轴重合时,|AB|=|AC|,此时直线l的方程为y=0.当直线l与x轴垂直时,直线l不符合题意.当直线l与坐标轴不垂直时,设过点F的直线的斜率为k,直线l与椭圆