采矿09级材料力学003.ppt

CHAP7梁的弯曲问题 3 应力分析与强度计算 7 1平面弯曲构件截面上的正应力7 2斜弯曲的应力计算7 3弯曲与轴力同时作用时截面正应力7 4弯曲剪应力分析7 5弯曲强度计算7 6结论与讨论 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 梁的强度设计 需要找出内力最大截面截面应力最大点为最先失效点截面应力分布不均 找出最大截面应力7 1 1梁弯曲的若干定义与概念对称面 所有横截面相同对称轴组成的平面主轴平面 若截面没有对称轴 但有过形心的形心主轴 所有相同的形心主轴组成的平面对称轴也是主轴 对称面也是主轴平面平面弯曲 梁的外力都作用于一个平面内 梁的轴线发生弯曲也位于该平面内 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 纯弯曲 受弯构件某截面处只有弯矩 没有剪力 该截面处为纯弯曲横向弯曲 受弯构件某截面处既有弯矩 也有剪力 截面上也就有分布的正应力与剪应力 该截面处为横向弯曲 7 1 2纯弯曲时梁横截面上的应力1 中性层与中型轴中性层 梁受弯曲时 一侧纤维深长 一侧纤维缩短 中间必存在一层不伸长也不缩短中性轴 中性层与横截面的交线 垂直于加载方向2 梁弯曲时的平截面假定平截面假定 梁弯曲时 其横截面依然保持平面 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 3 梁横截面上正应变表达式梁上微段长dx 弯曲后中性层长度不变 截面某处 如M点 红线处 纵坐标为y 缩短量为该处线应变该段梁的曲率 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 4 应用虎克定律确定梁截面上的正应力上式中对于确定的梁 弹性模量E是常数对于确定的截面而言 中性轴处的曲率 是常数截面上正应力从中性轴起 向梁的两侧呈线性变化由于曲率尚无法确定 中性轴的位置尚不知道 故应力还不能计算 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 5 应用弯矩与截面应力的关系确定待定常数C截面内力可能很复杂 但总可以分解成轴力 剪力 扭矩和弯矩就纯弯曲问题 截面内力只有弯矩就平面弯曲而言 梁轴线弯曲位于xy平面内截面内力和内力分布的关系 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 6 中性轴位置的确定中性轴 拟定z坐标轴的位置静矩为0 说明z轴过截面形心 z轴与y轴垂直受弯构件截面上z轴上侧应力的合力与下侧应力的合力相等 故z轴为中性轴 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 7 最大正应力与弯曲截面模量因为所以令WZ称为弯曲截面模量 抗弯截面模量 对于矩形截面对于圆形截面对于空心圆形截面 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 8 梁弯曲后轴线的曲率因为所以这就是梁轴线的曲率 梁的曲率与弯矩成正比 与刚度成反比式中EIz 梁的弯曲刚度 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 7 1 3弯曲正应力公式推广应用1 需要注意的几个问题关于正应力的正负号一是注意截面的y坐标 正确使用公式二是拉应力为正 压应力为负关于最大正应力如果梁有一对互相垂直的对称轴 加载方向与其中一个对称轴一致 则中性轴与另一个对称轴一致如果梁中只有一个对称轴 并且加载方向与对称轴一致 则中性轴过形心且与该对称轴垂直 此时截面正应力正的最大值与负的最大值分别为 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 y z 2 纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲横弯曲 截面上既有弯矩 也有剪力弯矩yu剪力在截面上的分布 正应力与剪应力因剪力 或剪应力 存在 变形后梁的截面不再是平面 但对于截面正应力计算影响较小对于细长梁 这种影响更小 可忽略不计例7 1 7 3 Page134 137 7 1平面弯曲构件截面上的正应力 7 2斜弯曲的应力计算 7 2 1产生斜弯曲的加载条件平面弯曲 外力 荷载 约束反力 作用在梁的对称面 或主轴平面内 梁轴线弯曲后在外力作用平面内斜弯曲 外力不作用在对称面 或主轴平面 内外力作用在对称面 主轴平面 内 但不是在同一对称面或主轴平内 7 2斜弯曲的应力计算 7 2 2叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力材料满足叠加法原理Mz作用产生的正应力My作用产生的正应力最终正应力的分布 A B B A 7 2 3斜弯曲时横截面上的最大正应力对于矩形截面对于圆形截面 7 2斜弯曲的应力计算 7 2斜弯曲的应力计算 A B B A C C 例题7 4Page139 7 3弯曲与轴力同时作用时截面正应力 当构件既受弯曲 也受轴力作用时其轴力引起的截面正应力其弯矩引起的截面正应力或同时有弯矩和轴力作用时 其截面最大正应力或例题7 5Page141 7 3弯曲与轴力同时作用时截面正应力 例题7 5Page141 7 4弯曲剪应力分析 7 4 1矩形梁横截面上的剪应力 7 4弯曲剪应力分析 例题求图示矩形截面梁横截面上的剪应力分布 代入剪应力公式 解 将 剪应力t呈图示的抛物线分布 在最边缘处为零 在中性轴上最大 其值为 为平均剪应力 式中 7 4弯曲剪应力分析 7 4 2工字形截面梁上的剪应力 腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出 式中 d为腹板厚度 7 4 3薄壁环形截面梁上的剪应力 假设 剪应力沿壁厚无变化 剪应力方向与圆周相切 式中 A为圆环截面面积 7 4弯曲剪应力分析 7 4 4圆截面梁上的剪应力 式中 A为圆截面面积 对于等直杆 最大剪应力的统一表达式为 7 4弯曲剪应力分析 7 4 5梁的剪应力强度条件 与正应力强度条件相似 也有三方面的工作要作 1 强度校核 2 截面设计 3 确定梁的许可荷载通常用于校核 特殊情况 需进行剪应力强度计算 1 梁的最大弯矩小 而最大剪力大 高而短的梁 2 焊接组合截面 腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值 3 木梁因其顺纹方向的抗剪强度差 7 4弯曲剪应力分析 例T形梁尺寸及荷载如图所示 已知 s y 100MPa s L 50MPa t 40MPa yc 17 5mm Iz 18 2 104mm4 求 1 C左侧截面E点的正应力 剪应力 2 校核梁的正应力 剪应力强度条件 7 4弯曲剪应力分析 该梁满足强度要求 7 4弯曲剪应力分析 7 4 6薄壁截面梁横截面上的剪应力流与弯曲中心1 薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流 根据剪应力互等定理 杆件表面无切向力作用 则薄壁截面上的剪应力作用线必平行于截面周边的切线方向 并形成剪应力流 由于壁很薄 沿壁厚方向可视为均匀分布 2 弯曲中心 截面各构成部分剪力之合力向一点简化 可得到一个主矢和一个主矩 若简化到某一点 得到的主矩为零 则该点成为截面的弯曲中心 或剪切中心 7 4弯曲剪应力分析 例如 槽型薄壁截面腹板翼缘 7 4弯曲剪应力分析 翼缘处的总剪力FT腹板处总剪力FQ如果向截面形心处简化 得一FQ和一主矩M弯曲中心 主矩为零如果向O点简化 两力偶转向相反 若使主矩为零 7 4弯曲剪应力分析 常见薄壁截面弯曲中心的位置 7 4弯曲剪应力分析 7 4 7开口薄壁构件受横向荷载时的扭转变形横向荷载的概念开口薄壁构件受横向荷载时的扭转问题扭转变形产生的原因理论上克服扭转变形的方法 7 4弯曲剪应力分析 7 5弯曲强度计算 7 5 1弯曲时的可能危险截面危险截面种种最大弯矩作用截面最大剪力作用截面弯矩和剪力都比较大的截面 7 5弯曲强度计算 7 5 2弯曲时的可能危险点可能危险点种种正应力最大的点剪应力最大的点正应力与剪应力都比较大的点 7 5 3基于最大正应力与最大剪应力的强度条件对于最大正应力作用点当抗拉抗压强度不等时其中对于最大剪应力作用点 扭转 或弯剪 其中或注意正应力与剪应力都较大的点 7 5弯曲强度计算 7 5 4弯曲许用应力韧性材料 高应力区屈服 低应力去尚可承载弯曲许用应力一般取值较纯拉伸时高20 50 一般取高出20 脆性材料 高应力区小 因内部缺陷破坏的概率也小弯曲许用应力取值一般较纯拉拉伸时高70 110 7 5 5弯曲强度设计过程三类问题 设计 校核 确定许用荷载具体步骤 根据荷载与梁的结构绘制内力图确定最大内力截面确定最危险点根据强度条件解决相应问题7 5 6应用举例例题7 7 7 12 Page155 7 5弯曲强度计算 7 6结论与讨论 7 6 1正应力公式应用中的几个问题1 加载方向与加载范围 加载方向 必须过轴线 否则须向轴线方向简化 加载范围 弹性范围 坐标系 坐标原点在截面形心 坐标轴为形心主轴2 坐标系与正负号的规定坐标系 右手系坐标系 弯矩按矢量方向定符号正负号 严格按照坐标定根据内力合力的实际方向确定截面应力负号7 6 2关于截面惯性矩受弯构件截面正应力与惯性矩成反比材料分布远离中性轴则惯性矩更大 7 6结论与讨论 7 6 3关于中性轴的讨论三根梁总截面积相同 截面处弯矩相同 应力不同7 6 4偏心荷载与截面核心1 偏心荷载作用下截面内力与应力分布斜弯曲 中性轴过形心 而不一定是形心主轴拉压 弯曲组合 中性轴可能截面内 可能在外 或 或 2 中性轴方程 自行阅读 3 截面核心截面核心 脆性材料偏心受压 使中性轴不超出截面的偏心加载范围 7 6结论与讨论 同理 7 6 5提高梁承载能力的措施1 选择合理的截面形状材料远离中性轴分布不能忽略构件本身的稳定性2 变截面梁与等强度梁理想的变截面梁 工艺上的困难变通的变截面梁 阶梯型和鱼腹型3 改善受力状态支座位置改变对内力的影响 7 6结论与讨论 CHAP8应力状态与强度理论 8 1应力状态的基本概念8 2平面应力状态任意方向的面上的应力8 3主应力与最大剪应力8 4应力圆及其应用8 5广义虎克定律8 6应变能与应变能密度8 7强度理论8 8工程应用问题8 9结论与讨论 8 1应力状态的概念 8 1 1一点的应力状态1 一点的应力状态受力构件一点处各个不同截面上的应力情况 2 研究应力状态的目的找出该点的最大正应力和剪应力数值及方位以便研究构件破坏原因并进行失效分析 8 1 2研究应力状态的方法 单元体法1 单元体 微元 围绕构件内一所截取的微小正六面体 8 1应力状态的概念 2 单元体上的应力分量 应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面第二角标表示应力平行的轴 面的方位用其法线方向表示两角标相同时 只用一个角标表示 8 1应力状态的概念 3 截取原始单元体的方法 原则 用三个坐标轴 笛卡尔坐标和极坐标 依问题和构件形状而定 在一点截取 因其微小 统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求 几种受力情况下截取单元体方法 8 1应力状态的概念 c 同b 但从上表面截取 b 横截面 周向面 直径面各一对 a 一对横截面 两对纵截面 8 1应力状态的概念 8 1应力状态的概念 8 2平面应力状态任意方向面上的应力 8 2 1方向角与应力分量的正负号 角 从x正方向逆时针转为正正应力 拉为正剪应力 顺时针为正 8 2 2微元的局部平衡就如下微元的一部分 讨论其静力平衡 8 2平面应力状态任意方向面上的应力 上式经过整理得 如果取垂直y 的截面 例题8 1 8 2Page220 8 2平面应力状态任意方向面上的应力 8 3 1主平面 主应力与主方向方法 在剪应力计算式中 令 x y 方法 令d x d 0 求正应力的极值 8 3主应力与最大剪应力 如果已知主应力的大小 求其方向 8 3主应力与最大剪应力 应力状态按主应力分类 只有一个主应力不为零单向应力状态 单轴应力状态 只有一个主应力为零两向应力状态 双轴应力状态 平面应力状态 三个主应力均不为零三向应力状态 三轴应力状态 空间应力状态 单向应力状态又称简单应力状态平面和空间应力状态又称复杂应力状态 8 3主应力与最大剪应力 8 3 2平面应力状态的三个主应力将前面计算的主应力方向角代入正应力计算式 得 z轴方向 三个主应力大小排序命名 8 3主应力与最大剪应力 8 3 4面内最大剪应力不同方向切取的微元 其面上剪应力大小不同连续变化 必有极值存在 令 则 代入剪应力计算公式 得剪应力极大值和极小值 或 8 3主应力与最大剪应力 例一图示单元体 试求 30o斜截面上的应力 主应力 并画出主单元体 极值剪应力 8 3主应力与最大剪应力 分析圆轴扭转时的应力状态 4 圆轴扭转时 横截面为纯剪切应力状态 最大拉 压应力在与轴线成 45o斜截面上 它们数值相等 均等于横截面上的剪应力 5 对于塑性材料 如低碳钢 抗剪能力差 扭转破坏时 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断 6 对于脆性材料 如铸铁 粉笔 抗拉性能差 扭转破坏时 通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断 例二分析圆轴扭转时的应力状态 8 3主应力与最大剪应力 8 4Mohr应力圆 8 4 1应力圆方程对于前面任意方向的应力公式 可以整理成 两式平方和 或 考察此方程 建立坐标系 x x y 则上式为一圆的方程 其圆心C点坐标为 圆的半径为 比较 8 4Mohr应力圆 8 4 2Mohr应力圆的画法 建立应力坐标系 定坐标及比例尺 取x面 定出D 点 取y面 定出D 点 连DD 交s轴于C点 以C为圆心 DD1为直径作圆 8 4Mohr应力圆 8 4 3Mohr应力圆的应用 点面对应关系应力圆上一点坐标代表微元某个面上的应力 角度对应关系应力圆上半径转过2 微元上坐标轴转过 旋向对应关系应力圆上半径的旋向与微元坐标轴旋向相同 任一方向应力求外法线与x轴夹角为 斜截面上的应力 以D为起点 与 转向相同转过2 到E点 E点坐标即为所求应力 用应力圆确定主平面 主应力 由主平面上剪应力t 0 确定D转过的角度 D转至s轴正向A1点代表s 所在主平面 其转过角度为2 转至s轴负向B1点代表s 所在主平面 确定极值剪应力及其作用面 应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t 纵轴坐标最小的G2点为t 作用面确定方法同主应力 8 4Mohr应力圆 8 4Mohr应力圆 求 1 30o斜截面上的应力 2 主应力及其方位 3 极值剪应力 例三用应力圆法重解例一 8 4Mohr应力圆 平行s3斜截面上应力由s1 s2作出应力圆上的点确定 平行s2斜截面上应力由s1 s3作出应力圆上的点确定 平行s1斜截面上应力由s2 s3作出应力圆上的点确定 由弹性力学知 任意斜截面上的应力点落在阴影区内 1 三组特殊的方向面 2 三向应力状态的应力圆 tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o 8 4 4三向应力状态 3 一点处的最大剪应力 8 4Mohr应力圆 8 4Mohr应力圆 例四试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力 并确定主平面和最大剪应力作用面位置 解 给定应力状态中有一个主应力是已知的 即sz 90MPa 因此 可将该应力状态沿z方向投影 得到平面应力状态 可直接求主应力及其方位 sx 300MPa sy 140MPa txy 150MPa 因此 根据s1 s2 s3的排列顺序 可知 s1 390MPa s2 90MPa s3 50MPa 8 4Mohr应力圆 8 4Mohr应力圆 主应力方位 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或 14o 单元体内的最大剪应力 8 4Mohr应力圆 8 5广义Hooke定律 8 5 1广义胡克定律1 胡克定律 2 广义胡克定律 二向应力状态 三向应力状态 另有 用应变表示应力 若微元主应力已知 则广义胡克定律为 若为平面应力状态 若为单轴应力状态 8 5 2各向同性材料各弹性常数之间的关系各向同性的概念各向同性材料弹性参数之间的关系 各向异性的概念 横观各向同性体的概念 例题在一体积较大的钢块上有一直径为50 01mm的凹座 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图 圆柱受到FP 300kN的轴向压力 假设钢块不变形 试求圆柱的主应力 取E 200GPa n 0 30 柱内各点的三个主应力为 求得 由广义虎克定律 在轴向压缩下 圆柱将向横向膨胀 当它胀到塞满凹座后 凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p 柱体内任一点均为二向均压应力状态 柱内任一点的径向与周向应力均为 p 考虑到柱与凹座之间的间隙 可得应变e2的值为 解 在柱体横截面上的压应力为 8 6一般应力状态下的应变能密度 8 6 1弹性体变形后的总应变能变形能 弹性体受力变形 外力做功储存形式功 力 沿力方向的位移弹性体受力与位移呈线性变化 应变能 应力对于微元做功 能量储存于微元内 微元边长dx dy dz 应力 2 3 应变 1 2 3 上式为应力对于微元做功 则微元内应变能为 将广义胡克定律代入并整理得 而应变能密度 应变比能 上式是在主单元体上导出的总应变能密度计算公式 事实上 总应变能密度由两部分构成 其一是体积改变能密度 其二是畸变能密度 8 6 2体积改变能密度与畸变能密度总应变能密度由两部分构成 讨论主应力作用下的微元 令 可证明 此两部分其一只有体积改变 其二只有形状改变 失效 因温度或荷载作用而丧失其功能分 强度失效 刚度失效 失稳失效 疲劳失效 蠕变失效 松弛失效强度失效 断裂或屈服刚度失效 构件过度变形失稳失效 压杆失稳 局部屈曲疲劳失效 交变荷载作用导致裂纹扩展 断裂蠕变失效 随时间过度变形松弛失效 随时间而应力降低 8 7强度理论概述 简单应力状态下失效判据为 s或 b相应的强度设计准则为 复杂应力状态 失效与材料性质 应力大小 应力组合等因素有关 8 8关于脆性断裂的强度理论 断裂失效的三种类型无裂纹结构或构件的突然断裂 脆性材料多发生此类断裂有裂纹构件的突然断裂 韧性材料多发生这种断裂 断裂力学理论解释构件的疲劳断裂 交变应力作用结果 8 8 1第一强度理论 最大拉应力准则 准则 无论材料处于什么应力状态 发生脆性断裂的共同原因是单元体中最大拉应力s1达到某个共同极限值sjx 1 断裂原因 最大拉应力s1 与应力状态无关 3 强度条件 2 破坏条件 4 应用情况 符合脆性材料拉断试验 如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断 未考虑其余主应力影响 且不能用于无拉应力的应力状态 如单向 三向压缩等 8 8 2第二强度理论 最大伸长应变强度准则 准则 无论材料处于什么应力状态 发生脆性断裂的共同原因是单元体中最大伸长线应变e1达到某个共同极限值ejx 1 断裂原因 最大伸长线应变e1 与应力状态无关 3 强度准则 2 破坏条件 4 应用情况 符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等 不符合大多数脆性材料的脆性破坏 8 9关于屈服的强度理论 8 9 1第三强度理论 最大剪应力准则 准则 无论在什么样的应力状态下 材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大剪应力tmax达到某一共同的极限值t0max 1864年Tresca提出 1 屈服原因 最大剪应力tmax 与应力状态无关 2 屈服条件 3 强度准则 4 应用情况 形式简单 符合实际 广泛应用 偏于安全 最大极限剪应力 单轴拉伸横截面达到屈服时斜截面最大剪应力 t0max s 2 tmax 1 3 2 8 9 2第四强度理论 畸变能密度准则 准则 不论应力状态如何 材料发生屈服的共同原因是单元体中的形状改变比能ud达到某个共同的极限值ud0 1913年Mises初次提出 1 屈服原因 最大形状改变比能ud 与应力状态无关 2 屈服条件 3 强度准则 4 应用情况 对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果 单轴拉伸屈服 8 10强度失效判据与设计准则的应用 1 不论是脆性或塑性材料 在三轴拉伸应力状态下 均会发生脆性断裂 宜用最大拉应力理论 第一强度理论 3 塑性材料 除三轴拉伸外 宜采用形状改变比能理论 第四强度理论 和最大剪应力理论 第三强度理论 4 三轴压缩状态下 无论是塑性和脆性材料 均采用形状改变比能理论 2 脆性材料单轴压缩时 宜采用最大拉伸线应变理论 第二强度理论 例一某结构危险点的应力状态如图所示 其中s 120MPa t 60MPa 材料为钢 许用应力 s 170MPa 试校核此结构是否安全 解 主应力为 钢材在这种应力状态下会发生屈服失效 故可采用第三和第四强度理论作强度计算 两种理论的相当应力分别为 两者均小于 s 17