微分中值定理的证明及应用.doc

微分中值定理的证明及应用摘要： 文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。关键词： 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 辅助函数 我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。 1. 微分中值定理的证明1.1 对Lagrange中值定理的简单证明 分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的. 故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为使它满足罗尔定理的全部条件，为此设 则 即 （1）由（1）可构造新函数, 有题设可知在a,b上连续，在（a,b）内可导，且, 因此满足罗尔定理的全部条件。所以函数, 即我们要构造的函数。 证明：构造辅助函数, 其中根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道在闭区间a,b上是连续的，在开区间（a,b）内是可导的，并且还有, 所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数在(a,b)内至少存在一点, 使得 即, 故证得. 1.2 对Canchy中值定理的简单证明 分析：若用Rolle定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足Rolle定理的条件，不妨设 , 可变形为 （2）由（2）可构造辅助函数, 有题设可知在a,b上连续，(a,b)内可导且, 因而满足Rolle定理的条件，即为所要构造的函数。证明：构造辅助函数, 其中根据提舍得已知条件和连续函数的性质，我们可以知道函数在闭区间a,b上是连续的，在开区间(a,b)内是可导的，而且还有, 所以我们根据Rolle定理就可以知道在(a,b)内一定存在一点, 可以使得即 , 故证得. 2 微分中值定理的应用2.1 证明等式例1 假设在闭区间上连续，在开区间内可导，并且, 分析：构造辅助函数，转化所证 . （c为常数）检验相应条件令, 则, , . 可由介值定理在内取数a, 使得. 然后在上使用Rolle定理证明：构造函数. 则在上是连续的，在内是可导的，又, . 则可由介值定理得到，对于必存在, 使得. 又因为, 故可以在上应用Rolle定理，则必存在. 使得. 即 .例2 已知函数在0,1上连续，在（0,1）内可导，并且(0)=0, (1)=0, 证：（i）存在使得（）存在两个不同的, 使得分析：与在（0,1）内有交点函数在（0,1）内有零点 证明：（）构造函数 则(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导,并且(0)=-10,由零点定理得在（0,1）内存在一点使得即 （）在上分别连续，在, 内分别可导，则由Lagrange中值定理得存在，分别使得 又, 故 .即存在两个不同的, 使得.2.2 证明不等式例3 设为a,b上二阶可导函数，(a)=(b)=0, 并存在使得(c)0, 试证：至少存在一点使得0 存在使得0而在, 同样推得 0例4 证明不等式： , . 证明：构造函数, 则知并且 , , 故在上严格递增，即对任意的有, 从而在上严格递增，即对任意的, 都有. 从而有, .2.3 求极限问题例5 设在内可导，且 , 求常数c解： , 其中即, 从而.2.4 探讨方程根的存在性例6 设函数在区间上连续，并且时, 其中m为常数，又f(a)0, 试证方程=0在区间内有唯一的实根。 证明：由题设可知对函数在上可应用Lagrange中值定理，则 , 因而 又, 由连续函数介值性定理知，存在使得, 又, . 故在上严格单调递增，从而=0在内有唯一的实根.我们在证明微分中值定理时运用了预备知识即罗尔定理，用罗尔定理来证明其他的微分中值定理最重要的就是要满足罗尔定理的条件，条件要求可以简单地概括为闭区间连续，开区间可导，并且函数两端一样高。其实运用这个定理关键在于构造出满足这种条件的函数，同样在证明其他微分中值问题时若要运用某个微分定理也只要构造出满足这个定理条件的辅助函数就可以简单化了。微分中值定理的应用有很多方面，本文简单的列举了部分，应用的关键也在于一定要满足定理得条件，这几个微分中值定理在应用不同方面时各有优劣和侧重点，所以我们在解题中如果能正确恰当地运用这些定理就会达到事半功倍的功效。参考文献：1华东师范大学数学系编.数学分析上.北京：高等教育出版社.2马瑞辰，翟修平等.微分中值定理的研究及应用.江苏：泰州职业技术学院，2004.3周祖逵.数学通报J.微分中值定理的预备定理，1987，（4）：25-26.4同济大学大学数学教研室编.高等数学（上册）M.北京：高等教育出版社，2000.5裴礼文.数学分析中的典型问题和方法M.北京：高等教育出版社，1993.6刘玉莲等.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，1992.7刘玉莲，傅沛仁等.数学分析（上册）M.北京：人民教育出版社，1983.8刘孝书.微分中值定理证明中的辅助函数的一种简明构造法.河南：商丘师范学院，2003.9吉林大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，1995,107-11.10朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用.浙江：绍兴文理学院，2009.11李美.浅谈微分中值定理证明.山西：大同职业技术学院，2005.Proving And Application Of The Differential Mean Value TheoremName:Liu Mei Student number:200741420216 Advisor:Ge XintongAbstract: This paper firstly introduces the mid-value theorem proving a regularity when concise method, namely through construct auxiliary function to achieve the conditions in order to use bangalore theorem to prove other bangalore theorem mid-value theorem, and use this method proved Lagranges mean value theorem and cauchy mid-value theorem are obtained. Then classification lists the mid-value theorems in proof equation, inequality, o limit and the existence of discussion equation root applications, and differential mid-value theorem namely rolle mid-value theorem, Lagranges mean value theorem and cauchy mid-value theorem, Taylor mean value theorem in solving problems in different applications is each to have pros and mutual complementary penetrat