ARCH与GARCH模型.doc

3.1 ARCH与GARCH模型例1. 自回归条件异方差模型3.1.1问题的提出对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程 （3.1.1）中的的方差可能与成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方程的两边同时除以变量，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程 （3.1.2）在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。通货膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度。一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由Robert Engle研究发展出来的，他认为用一个自回归条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为ARCH模型）会提高有效性。3.1.2定义一般的，公式（1）中随机误差项的方差可以依赖于任意多个滞后变化量（i=1,2,p），记作ARCH（p） （3.1.3）注意：（1） 为了保证在给定条件下，就必须要求（）；（2） 要保证误差序列的平稳性，系数必须满足：。3.1.3检验3.1.3.1Breusch-Pagan 检验在同方差的假设下条件下：SSR/2X2(1)根据Eviews3.1 OLS处理结果，可根据下式计算检验的统计量SSR/2查自由度为1时的分布表，找出给定显著性水平条件下临界值，比较检验统计量与临界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设3.1.3.2拉格朗日乘子检验法（） 已经讨论过两种假设检验法：F检验（Wald检验）法(第5章)和似然比检验法。Wald检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(即一些回归参数等于0)是否显著地减弱了回归模型的解释能力。根据Wald检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备择假设由无条件模型给定。在线性回归模型情况下，显著性由F检验来评估。似然比检验法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，但是这一检验却是用分布完成的。由于似然比(LR)检验法的基础是极大似然原则，因此它是很有吸引力的检验法。 拉格朗日乘数(LM)检验由有限制条件模型限定的原假设出发，检验向备择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的解释能力。拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术为基础，其中拉格朗日乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令为无条件模型参数的极大似然估计，为有条件模型参数的极大似然估计。目标是在限制条件=下求lnL()的极大，这就等价于求下式的极大lnL()（）其中是拉格朗日乘数。很明显，限制条件成立时这个函数达到极大值。拉格朗日乘数度量的是限制条件的边际“价值”：越大，限制条件对lnL()的极大值影响就越大。 要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是所以是似然函数的斜率。如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无条件的参数很接近，而且的值会较小。但是，如果限制条件显著地不成立，则加上限制条件的损失，也就是，就会更大。因此，基于大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计数检验（score test）。拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外的解释变量的特殊情况。假如已经估计了有条件模型 (3.1.4)而且正在考虑可能加入另外q个变量中的部分或全部变量的无条件模型 (3.1.5)关于q个变量中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗日乘数检验首先计算有条件模型(1017)的残差。特别地，如： (3.1.6)然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有解释变量进行回归如果所有这些另外加上的变量都是“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模型时，q个多出来的变量的系数应当为0。然而，如果无条件模型中多包含的变量中有些对r有决定性影响的话，我们认为它们的系数应当是统计上显著的，因此方程(3.1.6)的估计会很好地拟合数据。 拉格朗日乘数检验法依赖于回归方程(3.1.6)的显著性检验。特别地拉格朗日乘数检验统计量LM=NR20 （3.1.7）服从自由度为q(限制条件个数)的分布。N为样本容量，是回归方程(10-19)的。 如果计算出的检验统计值大于分布的临界值，我们就拒绝有条件模型成立的原假设。拒绝原假设就是认为有些另外的变量应当被包含在模型之中。对模型(3.1.6)的t统计量的研究能够表明应该选择哪些变量，但是没有什么公认的评价方法。 拉格朗日乘数检验法常常用来对异方差进行检验，就是White检验。为了略为深化这里的讨论，假设估计了一个线性回归模型，但是担心误差项方差是否是两个外生变量x和z的函数。White建议异方差由下面的误差项方差的函数所确定： (3.1.8)不存在异方差的原假设为方程(10-21)中的系数满足。为了用White检验，用原始模型的残差平方和作为的估计。按照拉格朗日乘数检验法，用方程(3.1.8)的回归计算NR2，它应当服从自由度为5的分布，其中数5是原假设中限制条件的个数。实际操作：对最小平方估计的残差平方进行辅助回归，用的滞后项的平方和常数项作回归，然后按辅助回归结果显示的R2计算LM统计量。在异方差的原假设H0:的前提下，NR2具有渐近分布，当NR2大于分布的临界值时，接受模型随机误差项中存在ARCH的影响作用。3.1.4方差模型中的p+1个参数的参数估计3.1.4.1极大似然估计法3.1.4.2广义最小平方法步骤：（1） OLS估计原模型，估计参数，得到模型残差et；（2） 用对，和常数项作回归，得到系数的估计，以及的拟合值；（3） 用拟合值估计原模型随机项的方差，以及原模型参数的广义最小平方估计值。3.1.2、GARCH模型1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方差函数（2）的拓展形式，即广义ARCH模型GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity），这被证明是对实际工作的开展非常有价值的一步。GARCH模型的条件方差表达如下 ： （3.1.9）为保证条件方差，要求 （3.1.10）用GARCH（p, q）来表示阶数为p和q的GARCH过程。相对于ARCH，GARCH模型的优点在于：可以用较为简单的GARCH模型来代表一个高阶ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。其原因是：常常有理由认为的方差依赖于很多时刻之前的变化量，但这样的话，我们必须估计很多参数，而这一点很难做到。我们能意识到方程（3）不过是的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个的滞后值代替许多的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为GARCH模型），GARCH模型也可以用极大似然估计法进行估计。最简单的GARCH模型是GARCH（1，1）模型为： （3.1.11）误差项的方差现有三个组成部分：一个常数项，前一时刻的变化项（ARCH项），以及前一时刻的方差（GARCH项）。因为其实质上是一个几何滞后模型，所以只要小于1，可以把（3.1.11）式改写为 （3.1.12）换句话说，此刻的方差以几何下降的权重依赖于过去所有的误差变化量。一般情况下，我们可以有任意多个ARCH项和GARCH项，GARCH（p，q）模型表示为： （3.1.13）最后，等式（6）还可以进一步推广，可以包括一个或多个外生或预定变量作为误差项方差的其他决定因素。例如，是一个外生变量，我们可以把它作为下列GARCH（1，1）模型的一部分： （3.1.14）但是，往的方程中添加外生或预定变量时必须小心。如果取负值，可能会造成方差对于某些观测值取负值。3.1.3、(G)ARCHM模型由恩格尔（Engle）、利立安（Lilien）和罗宾斯（Robins）提出的ARCH-M（ARCH-in-mean）模型提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法，正如我们可以在描述的方程右边添加外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程（1）的右边添加或标准差。比如，如果回归的目的是要解释股票或债券等金融资产的收益，我们就可以这样做，其原因在于人们认为金融资产的收益应当与其风险成正比。例如，我们可以认为某股票指数（如S&P500指数）的票面收益（）依赖于一个常数项、通货膨胀率以及条件方差： （3.1.15）然后我们可以把的方差看成是一个（3.1.7）式那样的GARCH（p，q）过程。这种类型的模型被称为ARCHM（ARCHinmean）模型。例1.长期利率的GARCH模型应用（计量经济模型与经济预测P180,例10.4）我们将为AAA企业债券利率建模，建立它与短期无风险利率（三个月国债利率）的现值和过去值以及工业生产指数和批发价格通货膨胀率之间的关系。图1显示的是1960年1996年初的AAA企业债券利率和三个月国债利率。从图1可以看到，企业债券利率一般都高于国债利率，而且短期利率的波动比国债要小。企业债券反映的是对国债利率未来值的期望（因此它应当比国债利率的波动小），而且包含了反映违约可能性的较小风险溢价。 图3.1.1：3个月国债利率和AAA企业债券利率我们将AAA企业债券（RAAA）对国债利率的现值和滞后值（R3），工业生产指数的现值和滞后值（IP），所有商品生产者价格指数的增长率（GPW），以及AAA企业债券利率的滞后值做回归（滞后因变量的加入是模型成为几何下降的滞后结构，使其它解释变量的短期波动变得平滑）。经过一些试验以后，选择下面用普通最小二乘估计法得到的方程： s0.001656 DW1.481279 对数似然值2760.615 （*） 图3.1.2：最小二乘估计的计算结果图3.1.3显示的是该回归的残差。我们注意到波动的“成群”现象，波动在一些较长的时间内会非常小（例如1962年1967年），在其他一些较长的时间内会非常大（例如1980年1988年）。这些情况都说明其误差项具有条件异方差。因此可以考虑使用ARCH或GARCH模型表示。 图3.1.3：AAA企业债券回归残差为探索这样做的可能性，用一个简单GARCH（1，1）模型表示误差项的方差，并对方程（*）重新回归，得到以下的结果： s0.001660 DW1.481227 对数似然值2791.006 （*） 图3.1.4：GARCH（1，1）的计算结果注意到采用了误差项方差的GARCH表达式对所有的系数估计几乎没有什么影响。另外，GARCH方程中只有一个系数是统计显著的。还应该注意到，回归的标准误差增大了（从0.001656到0.001660）。这并不意味着模型没有解释利率，他只说明一个事实，即用普通最小二乘估计有异方差误差的方程时，估计的标准误差是有偏的。为了对异方差的形式做进一步的探讨，我们在前面的GARCH模型中加入了一个外生变量。保持GARCH（1，1）结构，但是在该方程中加入3个月国债利率的滞后变化量，该模型的估计结果如下： s0.001662 DW1.481128 对数似然值2843.775 (*) 3个月国债利率滞后值的变化对回归误差项方差的变化有显著的解释作用。此外，ARCH项和GARCH项系数现在都是高度统计显著的。最后在回归方程中一些系数的大小有了虽然微小但是仍能注意到的变化，许多t统计值都变大了。例2股票收益（计量经济模型与经济预测P178,例10.5）众所周知，股票收益不仅依赖于其风险的大小，而且还受到其他很多因数影响，比如贴现率的变化以及批发价格的通胀率等。本文我们将研究S&P500股票指数的月收益，来分析股票收益的其他影响因数。在回归模型中我们引入理论上应当减少股票收益的两个变量：3个月国债利率的变化R3t ，以批发价格通胀率GPWt。因为股票价格应该反映期望未来收益的贴现值，因此贴现率（此例中就是国债利率）的增加应当减少现值，所以我们期望在做回归时，国债利率变化的系数为负。另外，批发价格通胀率能够减少税后资产收益，所以我们期望它与股票收益是负相关的。为了说明不同的问题，在此文中我们使用了四个模型，首先我们用Citibase关于S&P500指数的数据（FSPCOM）和S&P500指数产生的红利（FSDXP）计算月收益RETURNSP，RETURNSPt=(FSPCOMt-FSPCOMt-1)/FSPCOMt-1+0.01FSDXPt/12首先，我们做一个简单的最小二乘估计，使用Eviews3.1软件进行计算，得到回归结果如下：（注：我们使用DDD代表R3t）Dependent Variable: RETURNSPMethod: Least SquaresDate: 04/09/04 Time: 10:02Sample(adjusted): 1960:02 1996:02Included observations: 433 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0120280.0017556.8552220.0000DDD-0.8299970.306072-2.7117730.0070GPW-0.8547170.234959-3.6377240.0003R-squared0.055120 Mean dependent var0.009266Adjusted R-squared0.050725 S.D. dependent var0.033816S.E. of regression0.032947 Akaike info criterion-3.980928Sum squared resid0.466767 Schwarz criterion-3.952725Log likelihood864.8710 F-statistic12.54203Durbin-Watson stat1.520157 Prob(F-statistic)0.000005由上表，我们得到普通最小二乘估计的回归方程为： RETURNSPt=0.0120-0.8300R3t-0.8547GPWt R2=0.0551 s=0.03382 DW=1.5202 对数似然值：864.9我们注意到，上面的计算结果中R2=0.0551，其值比较小，说明股票收益波动很大，这些收益的方差很少能被我们所引入的变量所解释，这是因为我们只引入了两个变量，股票收益的另一影响因数即风险没有包括进来，但R3t和GPWt的系数具有我们所期望的符号，且都是统计显著的。上图为上述回归的残差，这里也存在着波动的“成群”现象。其次，我们做一个GARCH(1，1)模型，即误差项中包含前一时刻的变化量（ARCH项）以及前一时刻的方差（GARCH项）。计算结果如下：Dependent Variable: RETURNSPMethod: ML - ARCHDate: 04/09/04 Time: 10:04Sample(adjusted): 1960:02 1996:02Included observations: 433 after adjusting endpointsConvergence achieved after 13 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C0.0127270.0015558.1844830.0000DDD-1.0924320.299419-3.6485120.0003GPW-0.8012960.182970-4.3793760.0000 Variance EquationC0.0001877.80E-052.3952700.0166ARCH(1)0.1863300.0464054.0153120.0001GARCH(1)0.6473140.1015116.3767870.0000R-squared0.052833 Mean dependent var0.009266Adjusted R-squared0.041742 S.D. dependent var0.033816S.E. of regression0.033103 Akaike info criterion-4.047044Sum squared resid0.467897 Schwarz criterion-3.990637Log likelihood882.1851 F-statistic4.763642Durbin-Watson stat1.516388 Prob(F-statistic)0.000301得到回归方程为：RETURNSPt=0.0127-1.0924R3t-0.8013GPWt2=0.0002+0.1863(t-1)2+0.6473(t-1)2 R2=0.0528 s=0.0338 DW=1.5164 对数似然值：882.2从上表结果中，我们看到ARCH和GARCH项的系数的都是统计显著的。虽然与第一种方法比较回归方程中的系数有很大变化，但是仍然具有我们所期望的负号，而且统计上是显著的。而且，我们还注意到，与上面的方法比较，回归的R2减小了，这是因为普通最小二乘法会使R2达到最大，在GARCH模型中对异方差的修正导致R2有所下降。我们知道持有股票的期望收益应当能够补偿投资人的股票风险，即认为股票的收益应当与其风险成正比，所以我们在模型中加入误差项本身的方差或标准差。于是这就是下面所要做的GARCH-M模型。Dependent Variable: RETURNSPMethod: ML - ARCHDate: 04/09/04 Time: 10:05Sample(adjusted): 1960:02 1996:02Included observations: 433 after adjusting endpointsConvergence achieved after 13 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. SQR(GARCH)0.4849160.2542551.9072050.0565C-0.0016360.007565-0.2162190.8288DDD-1.0013600.307156-3.2601070.0011GPW-0.8781170.176662-4.9706000.0000 Variance EquationC0.0001466.37E-052.2865570.0222ARCH(1)0.1832320.0423984.3217020.0000GARCH(1)0.6911280.0861488.0225580.0000R-squared0.050442 Mean dependent var0.009266Adjusted R-squared0.037068 S.D. dependent var0.033816S.E. of regression0.033183 Akaike info criterion-4.052899Sum squared resid0.469078 Schwarz criterion-3.987090Log likelihood884.4525 F-statistic3.771654Durbin-Watson stat1.487198 Prob(F-statistic)0.001136因此得到回归方程为：RETURNSPt= -0.0016-1.0014R3t-0.8781GPWt+0.4849t2=0.00015+0.1832(t-1)2+0.6911(t-1)2 R2=0.0504 s=0.03382 DW=1.4871 对数似然值：884.5从回归方程可看出，虽然标准误差项t在统计上勉强显著，但其系数据有我们期望的符号。最后我们考虑一个更加复杂的模型，GARCH(4,2)模型，其中仍然包含条件标准误差项，其计算结果如下： Dependent Variable: RETURNSPMethod: ML - ARCHDate: 04/09/04 Time: 10:06Sample(adjusted): 1960:02 1996:02Included observations: 433 after adjusting endpointsConvergence not achieved after 100 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. SQR(GARCH)0.4073080.1315433.0963830.0020C0.0005390.0039980.1347560.8928DDD-0.9589690.265635-3.6101010.0003GPW-0.8177200.166875-4.9001930.0000 Variance EquationC0.0002440.0001231.9831540.0474ARCH(1)0.2779980.0602974.6104460.0000ARCH(2)0.0072010.0353180.2039010.8384ARCH(3)-0.0412030.074881-0.5502520.5821ARCH(4)0.1068130.0439192.4320300.0150GARCH(1)-0.2433170.103323-2.3549100.0185GARCH(2)0.6949010.0943077.3685080.0000R-squared0.044711 Mean dependent var0.009266Adjusted R-squared0.022074 S.D. dependent var0.033816S.E. of regression0.033441 Akaike info criterion-4.065492Sum squared resid0.471909 Schwarz criterion-3.962078Log likelihood891.1790 F-statistic1.975132Durbin-Watson stat1.505836 Prob(F-statistic)0.034519 得到回归方程为：RETURNSPt= 0.0005-0.9590R3t-0.8177GPWt+0.4073t2=0.0002+0.2780(t-1)2+0.0072(t-2)2-0.0412(t-3)2+0.1068(t-4)2-0.2433(t-1)2+0.6949(t-2)2 R2=0.0447 s=0.03382 DW=1.51 对数似然值：891.2我们注意到，回归方程中条件标准误差系数的数值比上一种方法得出的结果稍微减小，但现在却是统计显著的，而且，第一个和第四个ARCH项和两个GARCH项都是统计显著的。在本例所介绍的模型中，解释变量对因变量的解释程度都比较小，所以对于股票收益的预测作用不大，但是，它却表明收益确实不仅依赖于风险，而且正如我们所预期的，它还依赖于利率的变化和通货膨胀。例3：对我国深市股票收益率的ARMA模型及GARCH模型的拟合分析及比较例3.1平稳性分析及检验在时间序列分析中，平稳时间序列是一类重要的随机序列。平稳时间序列的定义有两种：宽平稳和严平稳。时间序列是严平稳的，如果的分布随时间的平移而不变；时间序列是严平稳的，如果有有穷的二阶矩，且均值与自协方差随时间的平移而不变。如为正态序列，那么为严平稳与宽平稳是相互等价的，因此，经济时间序列分析中序列的平稳性分析常指宽平稳。平稳时间序列可以由它的均值方差，自相关系数Pk和偏自相关系数kk的特征描述，而非平稳过程参数的估计非常困难，因此，分析时间序列时首先检验其是否平稳，若非平稳则通过检验其非平稳类型，用差分或Box-Cox非线性变换的方法使均值和方差非平稳转换为平稳时间序列，在构造出模型做进一步的分析对时间序列平稳性的检验方法主要有自相关函数检验法和单位根的ADF检验法。理论上，如果一个随机过程是随机的，它的任何大于零的滞后自相关系数都会是零，也就是说，它的样本自相关系数近似的服从以零为均值，1/n为方差的正态分布。另一种方法是单位根的ADF检验。假设服从有单位根的AR(p)自回归过程，若特征方程（B）的根落在单位圆上，就说该序列非平稳。本文以我国深市2000.1.1-2001.8.8的大盘收盘指数为原始数据，分析图如下： 图1：的线性图 从图中可以初步判断该序列含一个时间的趋势项，均值随时间的改变而改变，是非平稳的。同时，观察样本的自相关图（该图略），发现自相关系数缓慢的下降，一阶偏自相关系数显著的不为零，可见是典型的非平稳性时间序列，需要进行非平稳转换。对该序列做精确的平稳性ADF检验，其中含有趋势项及位移项，但仍然不能拒绝非平稳的零假设，三种检验都支持了非平稳的假设，故需要对其进行平稳性变换再进行分析。单位根的ADF检验结果如下：（表1） 表1：的ADF检验结果：ADF Test tatistic-1.5792031% Critical Value*-3.98645% Critical Value-3.423510% Critical Value-3.1344在金融分析中常常将股价或股指的对数差分值作为收益率的指标，本文也采取这一方法，进而分析变换后的平稳时间序列，变换如下：对变换后的序列再做平稳性的ADF检验，该检验拒绝了非平稳假设，是一个平稳性的随机序列，检验值如下：（表2） 表2：的ADF检验结果：ADF Test Statistic-9.5748041% Critical Value*-3.9864 5% Critical Value-3.4235 10% Critical Value-3.1344例3.2模型的建立及检验一个时间序列可以有多种方法建立它的模型，较常用的是ARIMA模型。该模型用变量自身的滞后值及随机误差作为解释变量，而不引进外生变量。若经过d次差分后为平稳序列，则：其中： 当d=q=0时，ARIMA(p,d,q)模型也称为p-阶自回归模型，记为AR(p)。AR(p)模型即为：当的特征方程的所有的根都在单位圆以外时，为一平稳过程，此时，自相关函数呈混合指数衰减或呈拖尾型；而偏自相关函数滞后p阶后截尾。当d=p=0时，ARIMA(p,d,q)模型也称为滑动平均模型，记为MA(q)。 MA(q)模型为：当服从MA(q)时，它的自相关系数是滞后q阶截尾的，而偏自相关系数呈混合指数衰减。由此可以初步判断随机序列服从的模型。ARMA(p,q)模型包含了AR(p)过程和MA(q)过程的特征，自协方差函数和偏自相关函都呈拖尾型，它的具体识别需要技巧，常用“试错法”，即从低阶到高阶逐个取（p,q）的值来试，直到找到一个最优的模型。首先观察的样本自相关系数图及偏自相关系数图（图2）的特征，发现滞后七期、八期的相关系数与偏相关系数都较接近临界值，经过试拟合，最后用由赤池准则AIC(Akaikes information criterion)和Schwartz的SBC准则筛选得拟合的模型如下：（表3）图2: 的样本自相关系数与偏自相关图 表3：的拟合模型VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. AR(1)-0.0112390.051322-0.2189820.8268MA(2)-0.0038010.052176-0.0728560.9420R-squared-0.002889Mean dependent var0.000795Adjusted R-squared-0.005550S.D. dependent var0.014464S.E. of regression0.014504Akaike info criterion-5.623552Sum squared resid0.079306 Schwarz criterion-5.602773Log likelihood1067.663Durbin-Watson stat1.995971此时，可以接受估计系数为零的原假设。同时，虽然DW统计量接近于2，但不可以接受残差服从正态分布的原假设，还需要再检验该模型的残差的正态分布假设，做Q-Q图，发现残差虽然相关不显著，但不完全服从正态分布，这会给该模型的参数估计和预测的精确性带来很多的麻烦，也会对该模型的可靠信提出怀疑。见图3： 图3：残差Q-Q图再进一步检验残差，发现残差平方之间存在着序列相关，这是残差中存在ARCH效应或GARCH效应的检验方法之一，故，需要再对残差做ARCH效应的LM检验。残差平方的自相关图于偏自相关图见图4：图4：残差平方的自相关系数和偏自相关系数图 因此，可以认为在对我国股市收益率的分布拟合中，ARMA模型不是最理想的。3.3GARCH模型的拟合及预测ARCH模型的主要思想即时刻的的方差依赖于时刻的平方误差的大小，即依赖于。ARCH模型的一个推广是GARCH模型，其中在时间刻的条件方差不仅依赖于过去的平方干扰，而且还依赖于过去的条件方差。在经济学的许多领域，特别是金融学中应用最广的是GARCH(1,1),尽管其形式简单。GARCH(1,1)的模型如下：=+=+其中，服从标准正态分布。对序列是否服从ARCH或GARCH分布的常用检验方法有LM检验法和F-统计量检验法。如果检验统计量显著大于临界值，则接受备则假设即有ARCH或GARCH效应，需要对它进行方程的拟合。 由于的ARMA模型中的系数显著的为零，且残差的平方存在自相关，故，可以直接对序列做ARCH效应检验。分别作滞后一阶至四阶的ARCH的 LM检验，检验结果发现F-统计量以概率零大于临界值，LM值也远远大于临界值，拒绝原假设，这两种检验都有力的支持了残差中有ARCH或GARCH效应存在，且比较明显，说明该序列是序列相关的。又考虑到原模型的拟合并不十分合适，故用ARCH模型对其再进行拟合表4：ARCH LM检验结果ARCH(1)F-statistic 24.0024LM 22.68199Probability 0.000001 0.000002ARCH(2) F-statistic 16.26964LM 30.17497Probability 0.00000 0.0000