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文档简介

程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题三次样条插值的基本提法：对插值区间进行划分：，函数在节点上的值，并且如果函数在每个小区间上是三次多项式，于上有二阶连续导数，则称是上的三次样条函数，如果在节点上还满足条件 则称为三次样条插值函数。 三次样条插值问题提法：对上给定的数表如下. 求一个分段三次多项式函数满足插值条件式，并在插值区间上有二阶连续导数。这就需要推导三次样条插值公式：记在节点处的值为()(这不是给定插值问题数表中的已知值)。在每个小区间利用三次插值公式，得三次插值公式： ，。为了得到这个公式需要个条件： (1).非端点处的界点有个；(2).一阶导数连续有个条件；(3).二阶导数连续有个条件，其中边界条件： 其中： 且()。 ，为对应变量的一阶导数。其推导过程如下：为了确定的值，把展开为： +这里，对连续求两次导，得： 。于是考虑在节点处的右极限值，得： 。 同理，在相邻小区间上可得的表达式为：及在节点处的左极限值为：。利用二阶导数于节点处的连续性条件，这里，有下式成立：，用除等式两边，并注意，上式可简记为： 且最后求得的线性方程组为： (*)通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。得出来的表达式就可以用软件来求解。具体求解过程如下： 已知对数据点，假设函数关系为，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式，使，满足关系。 例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。 1 2 4 5 1 3 4 2分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用软件来求区间上间隔为0.5的各点的值。求解过程如下： 因自然样条插值函数的边界条件为 这里，故确定的方程组形式形如上面的(*)式，其中系数和可按如下步骤进行：将上述参数带入(*)式，得到以下方程组： 解得： 由公式 +可知， 由所求出的表达式可知区间可分为，对两个区间分别用命令即可：针对第一个区间：; 其图像如下命令如下：x=1:4;y=(-1/8)*x.3+(2/8)*x.2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4;y1=interp1(x,y,xi,spline)其运行结果如下： y1 = Columns 1 through 6 0.8750 1.765
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