关于范氏气体的几点讨论.doc

关于范德瓦尔斯气体的几点讨论 徐丽物理与电子信息学院物理学专业2006级 指导老师：刘自祥摘 要: 本文主要讨论了非理想气体的代表之一范德瓦尔斯气体方程的推导和各种准静态过程方程及其热容量，以及以范德瓦尔斯气体作为工作物质的卡诺循环的效率讨论，间接证明卡诺循环的正确性。关键词：范德瓦尔斯气体，基本过程，热容量，卡诺循环1. 范德瓦尔斯气体状态方程的推导如图1.1所示，设边长为a，b，c 的长方体容器内贮有N 个同类分子组成的非理想气体，此系统处于温度为T 的平衡态。 vx 图 1.1 图 1.2假设分子间的相互作用力具有球对称性，并表示为下述形式， f=rs-rt (1.1)应实际分子力是属于短程力，故若以 r0 表示分子间的有效作用距离，则当rr0时，f=0。设 MM 是气体中一想象的界面，与器壁S=(bc) 面相距为r0 ，如图2所示。 跟踪某一以初速度 v 飞向 S 面的分子(见图1.1、1.2)，以 L 表示任意时刻 与 S 面之间的距离。当Lr0时， 所受其它分子力作用的合力在 x 方向的投影为0，因此 的速度分量 vx 不变；而当L0的分子对 S 面的作用，则对上式积分即可得到非理想气体状态方程： p=nkT+12mnC+mnD 1.17其中， D=0vx2k=2-12k-12k-3!k!Cvx2k fvxdvx C=2nm B-A (1.18)式(18)表明，C、D均与气体的性质和温度有关。对于理想气体，因f=0，则(17)式化简为： p=nkT。若将式(17)的最后一项略去，并将(18)代入，得 p=nkT+n2B-n2A (1.19)取N=NA，并令 a=NA2Ab=NA2BRT (1.20)则(19)可改写成 p=RTVm+RTbVm2-aVm2 1.21或 p+aVm21+bVm-1Vm=RT 1.22当bVm1时，1+bVm-1=1-bVm，代入上式，得 p+aVm2Vm-b=RT (1.23)式(23)便是我们熟知的范德瓦尔斯方程(1mol)。 因为分子的有效直径 d 与气体的温度有关，故由(14)、(15)、(20)三式可以说明，范德瓦尔斯方程中的修正量 a 和 b 不但与气体的性质有关，同时也与气体的温度有关。2. 范德瓦尔斯气体的各种过程2.1 多方过程 热力学第一定律为: dU=dQ+dA=CdT-pdV (2.1.1)而1mol范氏气体的内能为: dU=CV、mdT+aVm2dV (2.1.2)由式2.1、(2.2)联立，可得 p+aVm2dV+CV、m-CdT=0 (2.1.3)将范氏方程(1.23)代入(2.3),得 RTVm-bdV+CV、m-C=0dVVm-b+CV、m-CRdTT=0 (2.1.4)设C、CV、m与温度无关，积分得 lnVm-b+CV、m-CRlnT=E (2.1.5)E 为常数，则可将(2.5)式变型为： TVm-bRCV、m-C=E (2.1.6)式(2.6)为范德瓦尔斯气体的多方过程的T、V关系，联立(1.23)式，得 1Rp+aVm2Vm-b1+RCV、m-C=E (2.1.7)令 n=1+RCV、m-C=1-RC-CV、m (2.1.8)则 p+aVm2Vm-bn=E (2.1.9) 式(2.9)为范德瓦尔斯气体的多方过程的p、V关系，其中n为多方指数。 将2.6与(2.8)联立，得到用n表示的范德瓦尔斯气体的多方过程的T、V关系： TVm-bn-1=E (2.1.10) 2.2 热容量由热容量的定义C=dQdT 知,不论是理想气体还是范德瓦尔斯气体,下列过程的摩尔热容量为(表1)：表 1 各种过程的热容量过程等温过程绝热过程等压过程等容过程热容量C=C=0C=CpC=CV 需要注意的是，定压摩尔热容量与定容摩尔热容量的差值不再是理想气体的Cp-CV=nR，现推导如下：范德瓦尔斯气体内能是状态函数，若取 T、V 作独立变量，即 Um=UmT、V (2.2.1)将上式微分，得 dUm=UmVmTdVm+UmTVdT (2.2.2)由热力学第一定律，得 dQ=dUm+pdVm=UmTVdT+UmVmT+pdVm (2.2.3)由定容摩尔热容量的定义式， CV、m=limT0QTV=limT0UmTV=UmTV (2.2.4)将上式代入式(2.2.3)，得 dQ=CV、mdT+UmVmT+pdVm (2.2.5)若体积取 T、p 作独立变量，即 Vm=VmT、p (2.2.6)将上式微分，得 dVm=VmpTdp+VmTpdT (2.2.7)代入(2.2.5)，得 dQ=CV、mdT+UmVmT+pVmpTdp+VmTpdT =CV、m+UmVmT+pVmTpdT+UmVmT+pVmpTdp (2.2.8)由定压摩尔热容量的定义式， Cp、m=limT0QTp=dQdTp (2.2.9)将式2.2.8代入式(2.2.9),得Cp、m=CV、m+UmVmT+pVmTp所以， Cp、m-CV、m=UmVmT+pVmTp (2.2.10)对于1mol范德瓦尔斯气体,内能为 Um=CV、mdT-aVm+Um0 (2.2.11)则 UmVmT=aVm2 (2.2.12)将范德瓦尔斯方程式展开，得fp、V、T=pVm+aVm-pb-abVm2-RT=0则fTp=pVmTp-aVm2VmTp+2abVm3VmTp-R=0所以， VmTp=Rp-aVm2+2abVm3=RRTVm-b-2aVm-bVm3 (2.2.13)将式2.2.12及式(2.2.13)代入式(2.2.10)，得 Cp、m-CV、m=p+aVm2RRTVm-b-2aVm-bVm3=RTVm-bRRTVm-b-2aVm-bVm3即 Cp、m-CV、m=R1-2aVm-b2RTVm3 (2.2.14)式(2.2.14)即为范德瓦尔斯气体定压摩尔热容与定容量摩尔热容量的差值，理想气体时则变为Mayer公式,即Cp、m-CV、m=R。这明显表现出于理想气体的不同，因为在等呀过程中，对外做功膨胀时，吸收的热量用于增加热运动对应的动能，还要用一部分热量作为克服表面净引力作的功，这一部分额外的功，造成了Cp、m-CV、mR。那么范氏气体的热容量之比也与理想气体不同。对于理想气体,热容量之比为： =Cp、mCV、m=1+2i (2.2.15)对于范德瓦尔斯气体：=Cp、mCV、m=1+2iRTVm3RTVm3-2aVm-b2-1 (2.2.16)2.3 各种准静态过程的多方指数 将各种过程热容量代入(2.1.8)式，利用(2.2.14)式就可得到范德瓦尔斯气体各种准静态过程方程及相应的多方指数 n 的值(表2)。表 2 范德瓦尔斯气体各种过程方程和多方指数准静态过程过程方程多方指数等温过程 p+aVm2Vm-b=En=1绝热过程p+aVm2Vm-bn=E TVm-bn-1=En=CV、m+RCV、m等压过程p=En=2aVm-b2RTVm3等容过程Vm-b=En=注：表中E为一常数。3. 范德瓦尔斯气体的卡诺循环 卡诺定理告诉我们：工作于一定高温热源与低温热源之间的任何可逆卡诺循环的效率都是相同的，与工作物质无关。由此可知，任何工作物质卡诺循环的效率与理想气体卡诺循环的效率相同。通常，热学教材中计算卡诺循环的效率都是以理想气体为工作物质，并导出 =1-T2T1，下面我们以范德瓦尔斯气体为工作物质并计算其卡诺循环的效率。 现在仍然以1mol范德瓦尔斯气体进行讨论，循环过程如图3.1所示。由式(2.2.2)和式(2.2.12)，可得1mol范德瓦尔斯气体的内能为： dUm=CV、mdT+aVm2 dVm (3.1)由热力学第一定律可得 dQ=dU+dA=CV、mdT+aVm2 dVm+pdVm (3.2)当系统经历一个绝热过程，与外界没有热量交换，dQ=0，由表2可知，绝热方程为： TVm-bn-1=E常数 (3.3) T1 T2 图3.1(一) 等温膨胀过程气体与温度为 T1 的高温热源保持接触，从状态p1、V1、T1 等温膨胀到状态p2、V2、T2 。在这过程中气体吸收的热量 Q1 可通过式(3.2)求得 Q1 =V2V1CV、mdT+aVm2 dVm+pdVm=V2V1aVm2 +pdVm =V2V1RTVm-bdVm=RT1lnV2-bV1-b (3.4)(二) 绝热膨胀过程 气体由状态p2、V2、T2 绝热到膨胀到状态p3、V3、T3 。在这过程中气体吸收的热量为零。(三) 等温压缩过程气体与温度为 T2 的低温热源保持接触，由状态p3、V3、T3 等温压缩而达到状态p4、V4、T4 。在这过程中气体放出的热量 Q2 为 Q2=RT2lnV3-bV4-b (3.5)(四)绝热压缩过程 气体由状态p4、V4、T4 绝热压缩而回到状态p1、V1、T1 。在这过程中气体吸收的热量为零。整个过程完成后，气体回到原来状态。内能作为状态函数其变化为零。由热力学第一定律可知，在整个循环过程中气体对外所做的净功W应等于气体在循环中所吸收的净热量 Q1 -Q2： W= Q1 - Q2=RT1lnV2-bV1-b-RT2lnV3-bV4-b (3.6)由于过程(二)和过程(四)是准静态绝热过程，由式(3.3)可得 T1V2-bn-1=T2V3-bn-1 T1V1-bn-1=T2V4-bn-