第二章三角函數.doc

-第二章 三角函數21 銳角三角函數一、六個銳角三角函數2-281. 一直角三角形兩股長分別為5與12，設q是較小的銳角，求sinq,cos q,tanq,cotq,secq,cscq之值。5/13,12/13,5/12,12/5,13/12,13/52. 設A為銳角且cosA=，求其餘五個銳角三角函數。sinA=5/13,tanA=5/12,cotA=12/5,secA=13/12,cscA=13/53. 設ABC為直角三角形且C=90，tanA=求tanB,cotA之值。 3/2,3/24. 設q是一個銳角，已知sinq=，求cosq,tanq,cotq,secq,cscq之值。5. 設q為銳角且cotq=，求之值？ 5036. 設ABC為直角三角形且C=90， tanA=，求tanB,cotA之值。3/2,3/27. (1)設ABC中，C=90且=1.5，=2，求tanB,sinB,cosA,cotA之值。(2)設ABC中，C=90且=x，=2x，求tanB,cosB,sinA,cotA之值。(1)3/4,3/5,3/5,3/4 (2)1/2,1/28. 設ABC中，A：B：C=1：2：3，求sinA：cosA：tanA之值。：3：2二、特別的三角函數9. 求sin45, cos45, tan45, cot45, sec45, csc45之值。10. 求sin60, cos60, tan60, cot60, sec60, csc60之值。11. 求(1)2sin230+3cot245+cos260之值。(2)之值。(1)15/4 (2)12. 求(1)之值。(2)3tan230+sin260 tan245cos230+sec260之值。(1)5/2 (2)3/213. 求sin15與cos15之值。14. 求tan22.5之值。115. 求sin75與cos75之值。 三、三角函數的大小16. 比較下列各數的大小：(1) sin47 sin74(2) sin52 (1) (2)17. 比較下列各數的大小：(1) cos47 cos62(2) cos23 (1) (2)18. 比較下列各數的大小：(1) tan23 tan47(2) tan38 1(3) sin47 cos38(4) tan47 sin74(5) cot27 cot72(6) cot35 1(7) sec27 sec72(8) sec62 2(9) csc35 csc53(10) sec47 2(11) cot38 csc2(12) sin87 sec11(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)19. 設 sinq，求銳角q的範圍。30 q 9020. 設cotq 1，求銳角q的範圍。0 q 4521. 設secq ，求銳角q的範圍。 0 q 3022. 已知，求銳角q的範圍。 30 q 45挑戰題1. 設ABCDEF且C=90，sinB=且=15，求cosE及之值。 4/5,122. 設ABC中，C=90且tanA=，D在的延長線上，且=10，求及tanD,cotD之值。 6,1/3,33. 設四邊形ABCD中，=3，=2，=1且ABD=BCD=90，求sinA,cosA之值。 ,4. 設兩圓外切且其半徑分別為3與1，如果兩圓外公切線的交角為2q，求tanq之值。 5. 長方形ABCD的兩邊=4，=3，若兩對角線與所夾之銳角為q，求sinq及tanq之值。 24/25,24/722 三角函數的基本關係一、基本關係：倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係1. 設q是一銳角，已知secq=3，求q的其餘三角函數值。sinq=,cosq=,tanq=2,cotq=,cscq=2. 求下列銳角q之值：(1) sinq=cos28(2) tan43=cotq(1)62 (2)473. 若csc74=secq，則q=？ 164. (1)求sin240+sin250之值。(2)求sec223cot267之值。(1)1 (2)15. (1)求csc470tan4202sec220之值。(2)求tan479+2csc211csc411之值。(1)1 (2)16. (1)求(sin51+sin39)2+(sin51sin39)2之值。(2)求tan233csc257之值。 (1)2 (2)17. (1)求sin13cos13tan13cot13sec13csc13之值。(2)求cos210+cos220cos230+cos240+cos250+cos260+cos270+cos280值。(1)1 (2)48. 設0q90且sinq+cosq=，求q=？ 459. q是一個銳角，已知sinqcosq=，求sinq與cosq的值。4/5,3/59. (1)試證：tanq+cotq=(2)設sinqcosq=,求(1)sinqcosq之值。(2)sinq+cosq之值。(3)求tanq+cotq之值。 (1) (2) (3)10. 設x為銳角且cosx=tanx，求sinx與之值。11. 設x為銳角且tanx+cotx=，求下列各式之值：(1)sinx+cosx (2)sin3x+cos3x(1) (2)12. 0q45，已知tanq+cotq=，求下列各式之值：(1)sinqcosq (2)sinq+cosq (3)sinqcosq (1) (2) (3)13. 求之值。114. 求(secx+)(secx)之值。115. 求下列各式之值：(1)sin4x+2sin2xcos2x+cos4x(2)sin2x(1+cot2x)+cos2x(1+tan2x) (1)1 (2)2二、恆等式16. 試證下列三角恆等式：(1)(2)17. 試證下列恆等式：(1)tanq+cotq=secqcscq(2)sinqtanq+cosq=secq18. 試證下列恆等式：(1)secqtanq= (2)挑戰題1. 一個銳角為q的直角三角形，若q的鄰邊長為1，如右圖所示，則其對邊長為何？斜邊長為何？並以此說明：1+tan2q=sec2q。 對邊tanq,斜邊secq2. q是一銳角，已知2sinq=cscq，求q。 453. q是一銳角，已知=3，求tanq之值。 24. 試證下列各恆等式：(1)(2)(3)(1tan2q)2=(sec2q2tanq)(sec2q+2tanq)(4)(5)(6)(7)cos6q+sin6q=13cos2q+3cos4q(8)(9)(10)(11)23 三角函數的近似值與簡易測量一、內插法1. 求下列各函數的近似值：(1)sin2340(2)cot5030(1)0.4014 (2)0.82432. 求下列各函數的近似值：(1)tan4433(2)sin5432(1)0.9844 (2)0.81453. 求下列各函數的近似值：(1)sin5823 (2)cos2456 (3)tan6742 (4)cos282036 (5)cot3.4(1)0.8526 (2)0.9063 (3)2.438 (4)0.8801 (5)16.8424. 若cosx=0.5250，則銳角x的近似值為？58205. 若cscx=1.160，則銳角x的近似值為？59356. 求下列各銳角x的近似值：(1)sinx=0.7294 (2)cosx=0.6128 (2)tanx=1.715(1)4650 (2)5830 (3)5945二、應用問題7. 在一艘船上，測得前方燈塔頂的仰角為12.5，已知此燈塔的高為32公尺，求此船與燈塔的距離？約144m8. 承第7題，如果此燈塔正上方有一氣球，從船上測得此氣球的仰角為32 10，求此氣球與燈塔頂的距離？約59m9. 有一塔高，從距離塔底50公尺處P點，測得塔頂A之仰角為7320，求此塔高度。 約167公尺10. 放風箏時，放出100公尺的線，假設此線在空中成直線，又風箏的仰角是5228，試估計風箏之高度。 約79.3公尺11. 一人站在兩塔底連線的中點處，測得其正東方的塔頂與正西方的塔頂仰角分別為30與60，求兩塔高的比？ 1：312. 有一塔高，從地面一點P，測得塔頂A之仰角為7320，面向塔走10公尺到達Q點後，再測得塔頂A的仰角為7632，求此塔高度。約167公尺13. 在工廠外要測量一根大煙囪的高度，,因為工廠進不去，只好在工廠外找兩個位置P、Q使P、Q與煙囪的底部成一直線，在P、Q兩點分別測得煙囪頂的仰角分別為30與40，且距離為20公尺，求此煙囪的高度及P與煙囪的距離？(1)約37m(37.02) (2)約64m(64.11)14. 一人在山的正西方之地面某處,測得山頂的仰角為45，他往南走了1公里後，再測山頂的仰角為30，求此山高？約707.1m15. 一塔高150公尺，樹A在塔的正東方，樹B在塔的正南方，從塔頂測得A之俯角為45，B之俯角為30，求此二樹間的距離。300公尺16. .一塔高200m，在塔的北60東P處與塔的南30東Q處各有一觀測者，他們分別測得此塔頂的仰角為75與45，求兩觀測者所在位置間的距離？ 約207m挑戰題1. 在一沼澤區內豎立一塊石碑，在石碑附近且離水面2m高的某地方，觀測到此碑頂的仰角為20，接著觀測到此碑頂在水中的倒影其俯角為30，求此石碑離水面的距離？ 8.81m2. 一船朝北航行，發現在北30東方位有一燈塔，繼續朝北前進10浬後，測得此燈塔在東北方，試問若該船行駛方向不變，則離燈塔最近的距離是多少？5+53. 有一向正北航行的船，在北15東見一燈塔，航行10公里後，見該燈塔在北30東，試問此船繼續向北航行時，它與燈塔的最近距離為何？ 5公里4. 有一高25公尺的樓房，今分別在樓頂與樓底測得一塔頂之仰角為4240與5410，求該塔至樓房間的距離。 53.98公尺24 廣義角的三角函數一、廣義角：(1)具有大小 (2)具有方向 (3)不限於0與180之間(一)有向角1. 從上午9時15分到當日上午11時整，時鐘的分針旋轉所形成的有向角度數是多少？6302. 一個時鐘從12點整走到2點10分，時針與分針的旋轉量各是多少？時針65，分針7803. 一個靜止的時鐘，時針指向6，將它旋轉240(+240)後，時針的位置為何？104. 面對東方站立，然後旋轉 418之後，面對什麼位置？ 北32東(二)同界角5. 指出下列各角中，哪些是30的同界角？1050,750,690,390,330,330, 390, 690, 750, 10501050,690,330,390,7506. 試寫出30的同界角的一般表示式。n360+307. 求 (1)1350的最小正同界角。 (2)寫出1000與2000之間，1350的同界角。 (1)90 (2)1170,1530,18908. 寫出下列各有界角的同界角q，使0 q 360：(1)1999 (2)88 (3)2001(4)4321 (5)145 (6)870(1)199 (2)272 (3)159(4)1 (5)215 (6)2109. 設q=35，與q為同界角，若1080 720，求？104510. 找出下列各有向角的同界角q，使0 q360：(1)1234 (2)1440 (3)123 (4)2000 (5)327(1)154 (2)0 (3)237 (4)160 (5)32711. 若角q的終邊在第二象限內，則的終邊可能在哪些象限內？1 or 312. 根據下列各條件，指出角是第幾象限角？(1)sinq0且cosq0(2)secq0且cotq0(1)4 (2)213. 根據下列各條件，指出角是第幾象限角？(1)sinq與tanq同號 (2) (3)sinqcosq0(1)1 or 4 (2)3 or 4 (3)1 or 3二、廣義角的三函數(一)三角函數值14. 設有向角q分別為90, 90, 120, 120,求q角的終邊與標準位置單位圓的交點坐標。(0,1)(0,-1)()()15. 寫出q=0, 30, 90, 135, 180, 240, 270, 360,390時，sinq與cosq之值。16. 求sin300, cos300, sin(210), cos(210)的值。 ,17. 求tan150, cot150, sec150, csc150之值。,218. 寫出下列各函數值：(1)sin(30)(2)cos(60)(3)sin(180)(4)cos(225)(5)sin(315)(6)cos1800(7)sin2100(8)cos(3000)(9)sin435(1)1/2(2)1/2(3)0(4) (5) (6)1(7) (8)1/2(9)19. 寫出下列各函數值：(1)tan(210)(2)tan(1200)(3)cot(240)(4)cot(2400)(5)sec1500(6)sec(1500)(7)csc810(8)csc(1800)(1) (2) (3) (4) (5)2 (6)2 (7)1 (8)無意義20. (1)cos1920sin1110+cos1650之值？(2)cos(330)sin150+sin(330)cos150之值？(1) (2)021. 設P(x,)在有向角q的終邊上，且sinq=,求x,cosq之值？x=,cosq=22. 坐標平面上，O為原點，q為第二象限角，P(x,2)是q角終邊上一點，已知=3，求x及cosq之值。x= ,cosq=23. 坐標平面上，設P點在有向角150的終邊上，且P點距離原點4單位，求P點坐標。 (2,2)24. 設sinq=，求cosq與tanq之值。cosq=,tanq=25. 設cotq= 2，求cosq與sinq之值？cosq=,sinq=26. (1)已知sinq=，求cosq與tanq之值。 cosq=,tanq=(2)已知tanq= 2，求sinq與cosq之值。 sinq=,cosq=27. 設90q180且sinq=，求之值？328. 已知tanq=，求之值？1/2 or 4/329. 設cosq=且tanq0，求之值？ (二)化一般角為銳角三角函數30.(1)sin(q)= (2)cos(q)= (3)tan(q)= (4)cot(q)= (5)sec(q)= (6)csc(q)= 31.(1)sin(180+q)= (2)cos(180+q)= (3)tan(180+q)= (4)cot(180+q)= (5)sec(180+q)= (6)csc(180+q)= 32.(1)sin(180q)= (2)cos(180q)= (3)tan(180q)= (4)cot(180q)= (5)sec(180q)= (6)csc(180q)= 33.(1)sin(360q)= (2)cos(360q)= (3)tan(360q)= (4)cot(360q)= (5)sec(360q)= (6)csc(360q)= 34. (1)sin(90+q)= (2)cos(90+q)= (3)tan(90+q)= (4)cot(90+q)= (5)sec(90+q)= (6)csc(90+q)= 35.(1)sin(90q)= (2)cos(90q)= (3)tan(90q)= (4)cot(90q)= (5)sec(90q)= (6)csc(90q)= 36.(1)sin(270+q)= (2)cos(270+q)= (3)tan(270+q)= (4)cot(270+q)= (5)sec(270+q)= (6)csc(270+q)= 37.(1)sin(270q)= (2)cos(270q)= (3)tan(270q)= (4)cot(270q)= (5)sec(270q)= (6)csc(270q)= 30. (1)sinq (2)cosq (3)tanq (4)cotq (5)secq (6)cscq 31. (1)sinq (2)cosq (3)tanq (4)cotq (5)secq (6)cscq 32. (1)sinq (2)cosq (3)tanq (4)cotq (5)secq (6)cscq 33. (1)sinq (2)cosq (3)tanq (4)cotq (5)secq (6)cscq 34. (1)cosq (2)sinq (3)cotq (4)tanq (5)cscq (6)secq 35. (1)cosq (2)sinq (3)cotq (4)tanq (5)cscq (6)secq 36. (1)cosq (2)sinq (3)cotq (4)tanq (5)cscq (6)secq 37. (1)cosq (2)sinq (3)cotq (4)tanq (5)cscq (6)secq38. 將下列各三角函數化為銳角三角函數：(1)sin(1234)= (2)cos3210= (1)sin26 (2)cos3039. 將下列各三角函數化為銳角三角函數：(1)sin1234= (2)cos(567)= (3)tan(102435)= (1)sin26 (2)cos27 (3)tan552540. 將下列各三角函數化為銳角三角函數：(1)tan(135048)= (2)cot(91216)= (3)sec880= (4)csc(112525)= (1)tan8912 (2)cot91216 (3)sec20 (4)csc452541. 設sin592=k，求tan218之值？(以k表示)42. 設cos(100)=k，求cot280之值？(以k表示)43. 設cosq=k，試將tanq以k表之。 ，q(2n+1)90，n為整數挑戰題1. 已知sinq= ，求下列各式之值：(1)cosq (2)sin(180q) (3)cos(q90) (4)cos(q270) (5)tan(180+q)q 為第三象限角時：(1) (2) (3) (4) (5)q 為第四象限角時：(1) (2) (3) (4) (5)2. 設4cos2q8sinq+1=0，求(1)sinq=？(2)在360與360之間所有滿足此方程式之有向角q。 (1)1/2 (2)q= 330,210,30,1503. 設a0，若點P(4a,3a)在有向角q的終邊上，求tanq與之值？3/4,1/34. 若sinq=且cotq0，求之值？ 025 正弦定理與餘弦定理一、三角形面積公式1. 已知ABC中，=3，=8，A=120，求ABC面積？62. 試求單位圓之內接正三角形的面積。3. 三角形一邊長為5，另一邊長為8，夾角如下，試分別求其面積。(1)30 (2)45 (3)90 (4)120 (5)150(1)10 (2)10 (3)20 (4)10 (5)104. 四邊形ABCD，設q為對角線與的一個交角，求證：此四邊形的面積為。5. 在ABC中，若B=120且B的角平分線交於D，求證：提示：ABD+BCD=ABC6. ABC中，=8，=5，A=60，求A的內角分角線長。7. ABC中，A=60，=8，=3，求A的內角分角線長。8. 在ABC中，、長不變，A分別為45與90時，兩三角形的面積之比為何？1：9. 在ABC的三邊、上各取一點D、E、F,若，求=？1/310. 若相鄰兩邊長分別為20與30的平行四邊形，有一組夾角150為則此平行四邊形的面積為何？ 300二、正弦定理11. (1)若a：b：c=2：3：4，求sinA：sinB：sinC之值？(2)若A：B：C=2：3：4，求a：b：c之值？(1)2：3：4 (2)sin40：sin60：sin8012. 設ABC的三邊長a,b,c滿足2c=4a2b=4ba的關係，求sinA：sinB：sinC之值？6：5：713. ABC中，設(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求sinA：sinB：sinC。 7：5：314. 在ABC中，C=120，B=30，=4，求A及、？30, =4,=415. ABC中，A=45，B=60，=7，求及之長。(sin75=)=,=16. ABC中，A=45，B=30，=5，求及之長。=55,=17. 在ABC中，B=30，=4， =4,求A、C及？C =60,A =90,=8或C =120,A =30,=418. 在ABC中，=3，=4，A=60，求。19. 在ABC中，=3，=4，A角度如下，試分別求出之長：(1)A=90 (2)A=138(查表) (1)5 (2)6.5420. 在ABC中， A=60，=4，求ABC外接圓之半徑長？21. 在ABC中，=，=且C=60，則ABC的面積及外接圓面積各為何？,p22. 在ABC中， A=60，=5，求ABC外接圓之半徑長？ 三、餘弦定理23. 池塘邊有B,C兩點，某人A在點處測出BAC=50，且測出=70m， =100m，求=？76.8m24. ABC中，=5，=7，=3，求三內角之角度。A=120,B=2147,C=381325. 一個三角形，三邊長為2,3,4，求最大內角之角度。 1403026. 在ABC中，=5，=3，=7，求A=？ 12027. 在ABC中，=1+，=2，A=30，求, B,C？,B=45,C=10528. 在ABC中，=4，=5， A=60，求=？2+29. 在ABC中，=，=1，B=30，求 (1)之長 (2)C的角度。(1)=2或1 (2)=2時，C=120；=1時，C=6030. 在ABC中，=2，D、E分別在邊上且=，BAD=DAE=30，求、之長？=,=3,=231. 在ABC中，=5，=7，=6，且D為中點，求=？232. 在ABC中，=5，=6，=7，求邊上的中線長。 2挑戰題1. 在梯形ABCD中，/且=7，=5，=8，D=53，C=30且tan53=，求梯形ABCD之高及面積？ 4,34+82. 在ABC中，B=30=2C，且=10求(1) (2)ABC面積 (3)外接圓半徑 (4)邊的中線長？(1)5-5 (2) (3)5 (4)3. 在四邊形ABCD內接於一圓且=5，=3，=2，D=120求(1) 及之長？ (2)四邊形ABCD面積？(1)=3,= (2)26 三角測量1. 在下圖中，A,B間有障礙物，不能直接丈量，今量得=8公尺，=53公尺，且ACB=60，試求A,B兩點間的距離。約70.5公尺2. 我們計畫在A,B兩點間開鑿一條隧道，但因受高山阻隔，在A點附近看不到B點，在B點附近也看不到A點，於是我們在山上找一點C可同時