函数周期性教案.doc

函数周期性教案一，函数周期性1，函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期,2. 最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。3.周期函数性质：（1）若T（0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。4.重要推论1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|二，周期函数的性质及题型。利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1） 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3） 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1） 若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: 已知A、B C （2001年全国高考第22题第二问） f(x)是R上的偶函数f(-x)=f(x) 又f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 已知A、CB 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于x=a对称 已知C、BA f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函数 由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f()=0基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一个周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函数 f(-x)=f(x+4) f(x)关于x=2对称 又f(x)是奇函数 8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式解：当时f(x)=2x+1f(x)是偶函数f(x)=f(x) f(x)=2x+1当时f(4+x)=2(4+x)+1=2x7又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x) 当时求f(x)=2x73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)关于x=999对称，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数解：设则 f(x)在-2，0上是减函数 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故当时f(x)为增函数 例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 f(x)= f(2-x) f(x)关于x=1对称 根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上单调a =6 5. 确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+2=401个根.练习1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数2.求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。3.设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x