暨南大学杨明华论文.doc

广义分数次积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性杨明华 （暨南大学数学系，广东 广州 510632 ）摘要 主要研究与二阶散度型椭圆算子相伴的分数次积分算子,采用对函数进行环形分解的技术和对算子转化为相应的截断算子的方法,得出其从到是有界的. 关键词齐次Morrey-Herz空间; 椭圆算子;广义分数次积分算子; off diagonal估计The boundedness of generalized fractional integral operators on the homogeneous Morrey-Herz spacesYANG Ming-hua XU Ming ( Department of Mathematics, Jinan University, Guangzhou 510632, China )Abstract：In this paper , we study the generalized fractional integral operators associated to divergence form elliptic operator. By the methods of studying ring decomposition of functions and thier corresponding truncated operators, their boundedness of the results from space to space were established.Keywords：homogeneous Morrey-Herz spaces; elliptic operator ;generalized fractional integral operators ; off diagonal estimates;1 引言定义一个二阶散度型椭圆算子,是指一个定义在上的复的系数的矩阵，且满足一致性椭圆条件:存在,使得,其中，.经典的分数次积分算子定义为: ,其中利用算子的谱理论，算子的广义分数次积分定义为：基金项目 国家自然科学基金资助项目(10771221)；暨南大学青年自然科学基金支持项目（51208036）作者简介 杨明华（1987-），男，江西抚州人，硕士研究生，主要从事调和分析研究 通讯作者：许明，博士，副教授，研究方向：调和分析当即上的laplace算子时，以上广义分数次积分算子就是经典的分数次积分算子. 设是解析半群的热核，若满足是实矩阵，或者是的复矩阵，或者当核是Hlder连续的,那么具有Gaussian上界，即 (1.1) 众所周知，分数次积分算子是调和分析中以偏微分方程为背景的一种重要算子在偏微分方程中为了研究Possion方程，Sobolev1引入经典的分数次算子又称Riesz位势算子并证明是型的1950年，Zygmund证明是弱有界， 1995年Fan Dashan ,Lu Shanzhen以及Yang Dachun2-3给出了奇异积分算子在Morrey空间上的有界性，2002年，Yang Dachun,Zhang Pu,Tang Canqin在文献4给出了型分数次积分算子的定义，并且证明这类算子在Hardy空间，弱Hard空间和Herz型Hardy空间的有界性，2004年在文献5中，X.T.Duong和Yan Lixin给出了广义分数次积分算子在一定条件下从到是有界的。2005年，Lu Shanzhen等6-7在研究奇异积分算子时引入一类与PDE相关的比Herz空间和Morrey空间更一般的齐次Morrey-Herz 空间, 这类函数空间受到人们的重视, 得到了许多算子在其上有界性的结果, 受上述工作的启发, 我们得到一个自然而然的问题是与二阶散度型椭圆算子相关的广义分数次积分算子是否在齐次 Morrey-Herz空间上有界?本文回答了这个问题，得到了广义分数次积分算子在Morrey-Herz空间上有界性的结论. 在叙述主要结果之前，先给出一些必要的记号，设，,其中表示特征函数 .注意：本文中的c表示常数在不同的地方可能表示不同的值.2 预备知识和主要结果定义2.16设,定义齐次空间如下(2.1)其中，当，按照通常意义形式来定义.定义2.27 设,我们用表示局部可积函数的空间，设对所有和每个满足，其中，并且我们用表示满足上面条件的最小常数，当，就是经典的Morrey空间. 定义2.38 设,定义齐次Herz空间如下： 其中，当，按照通常意义形式来定义. 显然我们可以得到以下关系, 引理2.15 假设条件(1.1)成立, 设，且，那么 定理2.1 设,假设条件(1.1)成立,若，则广义分数次积分算子从到是有界的.3 主要定理的证明定理2.1的证明注意到若则有,因此我们只需证明情形, 对任意，记 （3.1） 则(3.2)对于，由引理2.1知从到上有界,因此容易得到(3.3) 对于,当，,显然有，根据Minkowski和Hlder不等式及条件，得到 (3.4)把(3.4)代入中，由Hlder不等式及注意， 同理我们通过类似于的证明方法估计,对于,当，,有,根据Minkowski和Hlder不等式得到，我们有3.5把3.5代入中由Hlder不等式及注意和，综合,得到定理2.1的证明完毕4 补充说明文献9中作者得到当时，散度型椭圆算子相伴的热核一般不满足（1.1）,在文献10中作者Auscher P.和Tchamitchian P.发现当时, 散度型椭圆算子相伴的热核不具有Possion上界，当热核不满足假设条件（1.1）,我们就不能利用引理2.1的估计去得到上文给出的定理3.1的证明结果.那么如果热核不满足假设条件（1.1），广义分数次积分算子在Morrey-Herz空间上的有界性怎样呢? 事实上，这种算子相伴的热核具有off -diagonal估计, 本文通过利用热核的 off diagonal估计，得到广义分数次积分算子在齐次空间上有界性的结论设为中的两个闭子集，表示两个集合之间的欧几里德距离,是n-tupple函数. 下面是有关 off diagonal估计的引理. 引理4.111 设是中的两个闭集子集，设且对某则对所有的这里的，仅仅依赖于和，仅仅与和相关引理4.212 设,.若，和，则从到有界，其中.定理4.1 设，设，则广义分数次积分算子从到是有界的.定理定理4.1的证明同（3.1）和（3.2）一样的方法，我们得到 对于，由于，因此根据引理4.2知从到上有界,因此容易得到 对于,当，,显然有，根据Minkowski和Hlder不等式及引理4.1，注意到，得到（4.1）把（4.1）代入中由Hlder不等式以及注意到以及，类似于过程估计,对于,，,有.根据Minkowski和Hlder不等式以及引理4.1，注意到，得到（4.2）把（4.2）代入中根据Hlder不等式，注意到,综合,的估计得到 定理4.1的证明完毕参考文献1 Stein E M.Singular integrals and differentiability properties of functions M. 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