【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】7：立体几何 Word版含答案.doc

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 8【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。2（2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是（）A若，则 B若，则C若，则D若，则【答案】CC中，当时，只和过平面与的交线平行，所以不正确。3.（2013届北京海淀一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【答案】B我们不妨先将A、B、C按如图所示放置容易看出此时BCAB=AC现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB=AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，不难想象ABC将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形于是，在移动过程中，总有一刻，使ABC成为等边三角形，亦总有另一刻，使ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）这样，就得到和都是正确的至于，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为假设A是，那么由ADAB，ADAC知L3ABC，从而ABC三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与ABAC矛盾同理可知D是时也矛盾；假设C是，那么由BCCA，BCCD知BCCAD，而l1CAD，故BCl1，从而BC为l1与l2的距离，于是EFBC，EF=BC，这样就得到EFFG，矛盾同理可知B是时也矛盾综上，不存在四点Ai（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体 4（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（7题图） （）ABCD【答案】D将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为,由直观图可知，最大的面为.在等边三角形中，,所以面积，选D. 5（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（）ABCD【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为，侧面积为，所以正三棱柱的表面积是，选C.6（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）A线段B圆弧C椭圆的一部分D抛物线的一部分【答案】A连接，由题意知因为，且，所以,所以，即为定点。因为所以点P位于线段的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点的轨迹是线段。选A.7（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）ABCD【答案】C由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱垂直底的三棱锥。其中,取的中点，则，所以的面积为，选C. 8（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是ABCD【答案】C 由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.9（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.【答案】由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC因为PO底面ABC，所以平面PAC底面ABC，而BCAC，所以BC平面PAC，所以BCACPC=所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是10.（2013届北京石景山区一模理科）12某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是 【答案】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5所以则最长的一条侧棱PB，其长度是11（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点（）求证：A1B/平面ADC1；（）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。因为平面，平面，所以平面。（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：，.则，设平面的法向量为。由，得到，令，则，所以.又，得。所以设与平面所成角为，则。所以与平面所成角的正弦值为。12（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求证：AM平面BCN;（）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（）E为直线MN上一点，且平面ADE平面MNC，求的值. 【解析】（）ABCD是正方形,BCAD.BC平面AMD,AD平面AMD,BC平面AMD.NBMD,NB平面AMD,MD平面AMD,NB平面AMD.NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,平面AMD平面BCN3分AM平面AMD,AM平面BCN4分(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)（）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5分则，,., 6分，,设平面MNC的法向量,则，令，则 7分设AN与平面MNC所成角为,. 9分（）设，又，E点的坐标为， 11分面MDC,，欲使平面ADE平面MNC，只要， . 14分13（2013届北京海淀一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分14（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值. ()证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面. 3分（）连结，设，建立空间直角坐标系， 则，5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为，则. 8分（）设，则， 10分设平面的法向量为，则，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时. 14分15（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论（）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分16（2013届东城区一模理科）如图，已知是直角梯形，且，平面平面， 是的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值证明（）取的中点，连结， 因为是的中点，所以， 因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形 所以因为平面，平面，所以平面 （）因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内由已知可得，所以， 设平面的法向量为由所以取，所以 又因为平面的一个法向量为 所以 即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为17（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（）求证：PA/平面BEF；（）若PC与AB所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值（）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO / , 为中点 AE/BC，且AE=BC 四边形ABCE为平行四边形 O为AC中点 .1分又 F为AD中点 / .2分 .3分 /平面 .4分（）解法一：.6分易知 BCDE为正方形 建立如图空间直角坐标系，（）则 ，.8分解得： .9分解法二：由BCDE为正方形可得 由ABCE为平行四边形 可得 /为 即.5分 .7分 .8分 .9分（）为的中点，所以 ，,设是平面BEF的法向量则 取，则，得 .11分是平面ABE的法向量 .12分 .13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为.14分18（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：因为，N是BC的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyACDBN所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分（）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量 12分ACDBN所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为14分19.（2013届北京朝阳区一模理科）（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，点分别为侧棱上的点，且PDABCFE（）求证：平面；（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由证明：（）由已知，所以 因为，所以而平面，平面，所以平面 4分PDABCFExyxzx（）因为平面平面， 平面平面，且，所以平面.所以，又因为，所以两两垂直 5分如图所示，建立空间直角坐标系，因为，所以当时，为中点，所以,所以 设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为9分（）设，则 由已知，所以， 所以 所以设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，得设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，则若平面平面，则，所以，解得所以当时，平面平面14分20.（2013届北京石景山区一模理科）17 （本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，（）求证：；（）求直