二次函数y=ax2的图像与性质.doc

名 师 辅 导教学内容：二次函数y=ax2的图像与性质背景材料维纳的故事维纳（18941964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案实际上这位学生并不想知道答案，可是问他“方法” 学生说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法维纳最有名的故事是有关搬家的事一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家晚上维纳习惯性地回到旧居他很吃惊，家里没人，从窗子望进去，家具也不见了，掏出钥匙开门，发现根本对不上齿于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步突然发现街上跑来一小女孩，维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运我找不到家了，我的钥匙插不进去”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你”有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的但这位学生不知道怎样接近他为好这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于深思之中这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字悟与问：维纳教授在生活上是如此健忘，在数学上却取得了非凡的成绩，这是为什么？课前准备一、课标要求1经历探索二次函数y=ax2和y=ax2c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验2会作出y=ax2和y=ax2c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响3能说出y=ax2c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标4体会二次函数是某些实际问题的数学模型二、预习提示1关键原理：掌握y=ax2c中，a与c对二次函数图象的影响；以及y=ax2，与y=ax2c的开口方向，对称轴和顶点坐标2预习方法提示：作出y=ax2，y=ax2c的图象，观察y=x2的异同，由图象研究其函数的特点，结合图象掌握性质三、预习效果反馈1一般形式的二次函数y=ax2bxc（a0），当 时，为y=ax2c的形式；当时，即为y=ax2的形式2二次函数y=ax2c图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ，我们可以理解为y=ax2沿 向 平移了c个单位长度3二次函数y=2x2，与y=2x2的图象形状相同，对称轴都是 轴，顶点都是，只是不同，它们的图象关于对称4二次函数y=ax2中，a不仅可以决定开口方向，也决定课堂跟讲一、背记知识随堂笔记1二次函数y=ax2的对称轴为，顶点为 当a0时，开口向 ；当x= 时，有最小值 ；在对称轴的 侧，则x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的 侧，即x 0时，y随x的增大而 当a0时，开口向 ；当x= 时，有最大值 ；在对称轴的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y随x的增大而 2二次函数y=ax2c的图象与y=ax2的图象形状相同，即开口大小方向一致，但在坐标系中的 不同， 也不同，二次函数y=ax2c的顶点为 如果c0，y=ax2c，可以由y=ax2沿y轴向 平移个单位长度得到如果c0，y=ax2c可以由y=ax2沿y轴向 平移个单位得到二、教材中“？”解答1问题（P42） 解答：首先汽车的速度v0，其次一般说来，每辆汽车都有其最高时速，因此v不能任意取值，一般应不小于0，不大于其最高时速2问题（P43） 解答：（1）s=v2和s=v2的图象都位于s轴的右侧，函数值都随v的增大而增大，都经过原点不同之处，s=v2的图象在s=v2的图象的内侧，说明s=v2的函数值的增长速度比较快（2）36m可以通过计算602602=36（m）得到，也可以由观察图象得到3做一做（P44） 解答：（1）表格中的数可以是：x=3，2，1，0，1，2，3；y=18，8，2，0，2，8，18（2）略（3）二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，它与二次函数y=x2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标都相同；不同之处是：y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧，说明y=2x2函数值的增长速度较快二次函数y=2x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）4议一议（P45） 解答：（1）二次函数y=2x21的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向，对称轴也都相同，但顶点坐标不同y=2x21也是轴对称图象，它的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）图象略，只要将y=2x2的象沿y轴向上平移1个单位，就可得到y=2x21的图象（2）二次函数y=3x21的图象与二次函数y=3x2的图象形状相同，开口方向、对称轴也都相同，但顶点坐标不同它也是轴对称图形，其开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）实际上，只要将y=3x2的图象向下平移1个单位，就可以得到y=3x21的图象三、重点难点易错点讲解重点：二次函数y=ax2、y=ax2c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2bxc的图象和性质的基础我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析难点：由函数图象概括出y=ax2、y=ax2c的性质函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置易错点：本节的易错点是忽略y=ax2bxc中的条件a0，或分析问题不全面等只有真正理解二次函数的定义和性质才能避免类似错误【例1】 已知抛物线y=（m1）x开口向下，求m的值错解：抛物线开口向下m10m1错解分析：考虑不够全面，只考虑m10，忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2，还应具备m2m=2【例2】 k为何值时，y=（k2）x是关于x的二次函数？错解：根据题意，得k22k6=2解得k=4，k=2当k=4或k=2时，y=（k2）x是二次函数错解分析：忽略了y=ax2中的隐含条件a0四、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】 在同一坐标系中，作出函数y=3x2，y=3x2，y=x2，y=x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？解：图象略（1）x=2时，据图象y=x2=2；x=2时，据图象y=3x2=12y=x2比y=3x2的函数值小10（2）x=2时，据图象（也可由函数式计算）y=x2=2；x=2时，据图象（也可计算）y=3x2=12y=x2比y=3x2的函数值大10（二）学科内综合题【例2】 已知直线y=2x3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（3，m）（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积思维入门指导：待定系数法求表达式，及y=ax2的性质和三角形面积综合知识的应用（2）a=1，抛物线的表达式为y=x2，其对称轴为y轴，顶点为（0，0）（3）a=10，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减小A点为（3，9），B点为（1，1）如图2-3-1，作AEx轴于点F，则AE=9，BF=1，EF=4则S梯形AEFB=（AEBF）EF=（91）4=20，SAEO=39=，SBOF=11=，SABO=S梯形AEFBSAEOSBOF=20=6点拨：两个函数的图象相交，用它们的表达式联立方程组可求出图象的交点坐标在坐标系中，非直角三角形的面积可以用分割，或用可求的图形面积的和差，求出面积如本题，直线AB与y轴交点设为M，也可用SABO= SAOMSBOM的方法（三）应用题【例3】 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m（1）在如图2-3-2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行思维入门指导：建立坐标系，确定某些点的坐标为突破口解：（1）抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，设抛物线表达式为y=ax2由题意可知D点的坐标为（10，4），则把x=10，y=4代入y=ax2得4=100a，a=抛物线的表达式为y=x2（2）当水位上升hm时，水面与抛物线一交点的纵坐标为h4把y=h4代入y=x2中，得x2=25（4h），x=5桥下水面宽为d=10（m）（3）当水面宽度为d=18m时，18=10解得h=076（m），水深将达到的高度为2076=276（m）当水深超过276m时，就会影响船只顺利航行答：略点拨：根据题意首先将实际问题转化为数学模型，即转化为二次函数关系，然后利用二次函数的知识来解决问题【例4】 吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图2-3-3），大门的地面宽度为8米，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（ ）（精确到01米，水泥建筑物的厚度忽略不计）A92米B91米C9米D51米思维入门指导：适当建立坐标系，确定表达式及点A、B坐标 点拨：适当建立坐标系，建立二次函数关系，将实际问题转化为数学问题（四）创新题【例5】 抛物线y=ax2经过点A（2，1），不求a的大小，判断抛物线是否经过点M（2，1）和点N（1，2）？思维入门指导：不解a，可从抛物线性质入手解：A的坐标为（2，1），抛物线y=ax2的开口向上，即图象都在x轴的上方由抛物线关于y轴对称可知A点关于y轴对称点（2，1），即M点也在抛物线上，抛物线y=ax2经过点M抛物线在x轴上方，不可能经过第四象限的点N（1，2），抛物线y=ax2不经过点N点拨：特殊点应用特殊解法（五）中考题【例6】 （2003，武汉，4分）若二次函数y=ax2c，当x取x1，x2（x1x2）时函数值相等，则当x取x1x2时，函数值为（ ）AacBacCcDc答案：D 点拨：由二次函数y=ax2c关于y轴对称，可知x=x1、x2时函数值相等，x1、x2互为相反数，即x1x2=0当x取0时，代入y=ax2c，得y=c本题巧妙的应用了函数的对称性【例7】 （2003，甘肃，3分）已知h关于t的函数表达式为h=gt2（g为正常数，t为时间），则函数图象为图2-3-5中的（ ）答案：A 点拨：h=gt2，g为正常数，t为时间，t0，g0，h为t的二次函数当堂练习（5分钟）1直线y=x与抛物线y=x22的两个交点的坐标分别是（ ）A（2，2），（1，1）B（2，2），（1，1）C（2，2），（1，1）D（2，2），（1，1）2若二次函数y=ax2（a0）的图象过点P（2，8），则函数表达式为 3抛物线y=x21的顶点坐标是，对称轴是，开口方向是若点（m，2）在其图象上，则m的值是【同步达纲练习】课后巩固练习（12分 100分钟）一、基础题（16题每空2分，711题每题3分，12题6分，共49分）1抛物线y=4x24的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= 2当m= 时，y=（m1）x3m是关于x的二次函数3抛物线y=3x2上两点A（x，27），B（2，y），则x= ，y= 4当m= 时，抛物线y=（m1）x9开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 5抛物线y=3x2与直线y=kx3的交点为（2，b），则k= ，b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（1，2），则抛物线的表达式为7在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）Ay=x2By=x2Cy=2x2Dy=x28抛物线，y=4x2，y=2x2的图象，开口最大的是（ ）Ay=x2By=4x2Cy=2x2D无法确定9对于抛物线y=x2和y=x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A两条抛物线关于x轴对称B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于y轴对称D两条抛物线的交点为原点10二次函数y=ax2与一次函数y=axa在同一坐标系中的图象大致为（ ）11已知函数y=ax2的图象与直线y=x4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）A4B2CD12求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x3交于点（2，m）二、学科内综合题（8分）13如图2-3-7，直线经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x21的图象，在第一象限内相交于点C求：（1）AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积三、学科间综合题（8分）14自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=49t 2求：（1）一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；（2）计算物体下落10m，所需的时间（精确到01s）四、应用题（15题7分，16题4分，17题8分，共19分）15已知一个正方形的周长为cm，面积为Scm2（1）求S与之间的函数表达式；（2）画出函数图象；（3）S随的增大怎样变化？16如图2-3-8，一座拱桥为抛物线，其函数表达式为y=x2当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度h是（ ）A3mB2mC4mD9m 17有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时02m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？五、创新题（16分）（一）动态题18如图2-3-10，在矩形ABCD中，BC=4，AB=2P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动设BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）分别求出0x2和2x4时，y与x之间的函数表达式；（2）在同一坐标系内画出（1）的函数图象（二）开放题19如图2-3-11，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6（1）如图（a），在OA上选取一点G，将COG沿CG翻折，使O点落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的表达式（2）如图（b），在OC上选取一点D，将AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E求折痕AD所在直线的表达式；再作EFAB交AD于F点若抛物线y=x2h过点F，求此抛物线的表达式，并判断它与直线AD的交点的个数（3）如图（c），一般地，在OC、OA上选取适当的点D、G，使纸片沿DG翻折后，点O落在BC边上，记为E请你猜想：折痕DG所在直线与中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想六、中考题（20分）20（2003，南京，5分）已知二次函数y=ax22的图象经过点（1，1），求这个二次函数的表达式，并判断该函数图象与x轴交点的个数21（2004，宁安，3分）函数y=x24的图象与y轴的交点坐标是（ ）A（2，0）B（2，0）C（0，4）D（0，4）22（2003，海南，2分）今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来下面图2-3-12的四个图中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（ ）23（2003，上海，10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=09cm，线段DE表示拱内桥长，DEAB，如图2-3-13甲在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度建立平面直角坐标系，如图2-3-13乙（1）求出图乙中以这一部分抛物线为图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）如果DE与AB的距离OM=045cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据=14，计算结果精确到1m）加试题：竞赛趣味题（10分）1（4分）在1和1000之间有 个数不是100的倍数2（2003，“TRULY信利环”全国初中数学竞赛，6分）已知二次函数y=ax2bxc（其中a是正整数）的图象经过点A（1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则bc的最大值为参考答案三、1b=0；b=0、c=0 2Y轴；（0，c）；y轴（对称轴）；上3y轴；（0，0）；开口方向；x轴 4开口大小一、1Y轴；（0，0）；上；0；y=0；左；减小；右；增大；下；0；y=0；增大；减小2位置；顶点；（0，c）；上；下其交点坐标为（2，2）、（1，1）点拨：求函数图象交点坐标，通常考虑并立方程组求其公共解2y=2x2 解：将P（2，8）代入函数y=ax2，得8=a22，a=2函数表达式为y=2x23（0，1）；y轴；向下；3 解：将（m，2）代入表达式y=x21，得m21=2，m2=9，m=3点拨：已知二次函数的函数值，求其自变量值时，由于其对称性，所以通常情况下都为两个值，不要丢漏一、1下；0；大；4 点拨：对二次函数y=ax2c（a0）性质的考查33；12 解：将A（x，27）代入表达式y=3x2，得3x2=27，解得x=3；将B（2，y）代入得y=322=12点拨：A（x，27）经过计算x有两个解，这也是和函数图象的对称性一致的，同学们不要丢解点拨：由抛物线开口向下，可得m10，又据二次函数定义m2m=2，求m的值，得表达式，从而得出其性质6y=2x2 解：由抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可知其表达式为y=ax2，将点（1，2）代入得y=2x27C 解：因为关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此，若x=x时，y=y，代入A、B、C、D中，与y=2x2相同的为C另解：根据关于x轴对称的点的坐标特征，可用特例法即y=2x2，取一点（1，2）其关于x轴对称点为（1，2），代入A、B、C、D，只满足C的表达式8A 解；二次函数y=ax2，越大，开口越小，越小，开口越大点拨：a的正负决定抛物线的开口方向，的大小决定抛物线开口的大小9C 点拨：y=x2与y=x2关于x轴对称，关于原点对称（中心对称），且都经过原点（0，0），交点为原点，都是正确的而两条抛物线本身关于y轴是对称的，但两抛物线并不关于y轴对称10C 解：抛物线开口向上，则a0，直线y=axa，应过一、二、三象限，可否定A、B；抛物线开口向下，则a0，直线y=axa，应过第二、三、四象限，可否定D，因而选C点拨：本题主要考查二次函数中a与图象开口方向的关系，同时考查了一次函数系数与其图象在坐标系中的位置关系点拨：理解二次函数与y=x4，y=x的图象的交点相同，即此点是直线y=x4，y=x，y=ax2三个图象的公共点 12解：（1）将点（1，2）代入y=ax2，得2= a12，a=2y=2x2（2）根据二次函数的性质，可知y=x2（3）将点（2，m）代入y=x3，得m=23，m=4将点（2，4）代入y=ax2，得4= a22，a=1y=x2点C在第一象限，C点坐标为（1，2）则SAOC=32=3（2）y=x21的顶点为（0，1），设为点D，则BD=2则SBDC=BD1=21=1三、14解：（1）h=4932=441（m）（2）h=10，则10=49t2，t=14（s）四、15解：（1）根据题意，得S=2（0）（2）列表，图象如答图2-3-12468S=2124（3）a=0，0，S随的增大而增大点拨：在解决二次函数实际应用问题时，写函数表达式，画图象时，应注意自变量的取值范围16D 解：根据图象可以知道，A、B两点的横坐标分别为6，6，则代入y=x2，解得其纵坐标为y=62=9，则水面离桥顶的高度h是9m点拨：找到本题中隐含条件，A、B两点的横坐标，而其纵坐标的绝对值就是离开桥顶的高度值17解：（1）设拱桥顶到警戒线的距离为d抛物线顶点为（0，0），对称轴为y轴，设其表达式为y=ax2由题意知C点坐标为（5，d），A的坐标为（10，d3），且y=ax2过A点、C点（2）洪水到来时，水位以每小时02m的速度上升，从警戒线开始再持续=5（小时）到拱顶点拨：解决实际问题，适当建立坐标系，将实际数据转化为数学条件，二次函数与实际问题结合，是近几年的热点五、（一）18解：（1）根据题意可知，当0x2时，重叠部分面积y=x2；当2x4时，设PS交AD于点E，则重叠部分面积y=S矩形ABCDS矩形ABPE=82x（2）图象如答图2-3-2点拨：此题为动态题，掌握动中含静的图形是解题关键（二）19