一道高考数学题的一题多解.doc

一道高考数学题的一题多解 题目:(2010年全国高考卷理科第11题)与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点() A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 有且只有3个 D. 有无数个 分析:本题考查了空间想象能力和逻辑思维能力. 解法一:到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,三个圆柱面有无数个交点,故选D. 点评:此法用旋转的观点考查空间想像能力. 解法二:在直线B1D任取一点P,分别作PO1,PO2,PO3垂直于B1D,B1C,B1A于O1,O2,O3,则PO1平面A1C1,PO2平面B1C,PO3平面A1B,过O1,O2,O3分别作O1NA1D1,O2MCC1,O3QAB,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理得PNA1D1,PMCC1,PQAB. 由于正方体中各个表面全等,各个对角面也全等,所以PO1=PO2=PO3,O1N=O2M=O3Q. 故有PM=PN=PQ,即P点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,因此这样的点P有无数个,故选D. 点评:此法用线面的位置关系和正方体的相关知识,通过三垂线定理找到直线B1D上的动点P到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,从而得出答案. 此法要求考生的逻辑思维要严谨,充分注意立体几何中的相关知识的合理运用. 解法三:图像法. 作正方体ABCD-A1B1C1D1如下: 由图可知直线B1D上的任何一点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,故选D. 点评:此法用图形的直观性考查空间想像能力,简明扼要,但要求答题者具备相当的空间思维能力和逻辑思维能力.此法考生容易由特殊性认为只有B1、P、D三点或B1、D两点符合条件,从而错选B或C答案. 解法四:分别以正方体的棱AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,与正方体的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点的坐标为(x,y,z),则: =, z2+y2=(1-y)2+(1-x)2=x2+(1-z)2 , z2+y2=1-2y+y2+1-2x+x2=x2+1-2z+z2 , y2=x2+1-2z , z2+x2+1-2z=1-2y+y2 +1-2x+x2, z2-2z=1-2y+y2-2x,又z=, =(y-1)2-2x, (x2-y2)2-2(x2-y2)-3=4(y-1)2-2x, x4+y4-2x2y2-2x2-2y2+8x+8y-7=0, (x+y)4-4xy-8x2y2-4xy3-2(x+y)2+4xy+8(x+y)-7=0, (x+y)4-1-4x3y(x+y)2-1-2(x+y)2-1+8(x+y)-1=0, (x+y)-1(x+y)2+1(x+y+1)-(4xy+2)(x+y+1)+8=0, (x+y)-1(x-y)2-1(x+y+1)+8=0. 显然,当点的坐标为(x,y,z),满足条件: x+y-1=0,z=时是题目的解. 当点的坐标为(x,y,z)满足条件: (x-y)2-1(x+y+1)+8=0,z=,如(,),看来也是题目的解. 点评:此题通过建立空间直角坐标系,建立方程模型,利用方程的思