浅谈合情推理的数学(摘自2002年12月《工科数学》).pdf

第18卷第6期工 科 数 学Vol 18 6 2002年12月JOURNAL OF MA THEMA T ICS FOR TECHNOLOGYDec 2002 浅谈合情推理的教学 黄 明 武汉大学 数学与统计学院 武汉430072 摘 要 论述了合情推理与逻辑推理的关系 在高等数学教学中渗透合情推理的意义 并结合教学实践 就通过合情推理引入数学理论 探求问题结论 探索解题方法作了初步探讨 关键词 合情推理 逻辑推理 演绎 中图分类号 G42411 O 13 文献标识码 C 文章编号 100724120 2002 0620047205 传统的大学数学教学从教材到内容 都过分侧重数学演绎 过分强调逻辑推理 也就是往往把数学 视为一门纯理论科学 这只注重了数学的一个方面 事实上 数学家的创造性工作是论证推理 即证明 但这个证明是通过合情推理 通过猜想而发现的 1 合情推理 或猜想 是一种对研究的对象或问题进行观察 实验 联想 类比 归纳 依据已有的材料 的知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法 纵观数学发展史 很多著名的数学结论都是从猜想开始 如哥德巴赫猜想 费马猜想 欧拉猜想等 然后再去设法证明的 因此 为了取得真正的成就 学生必须学习合情推理 这正是他的创造性工作所 赖以进行的那种推理 波利亚 因此 在大学数学教学中渗透猜想 无疑是培养学生数学思维能力与科 学研究能力的一个重要途径 本文将结合高等数学中的若干问题对此进行探讨 1 追求数学严密的逻辑性中引入猜想 全面反映数学的两个侧面 波利亚认为 数学有两个侧面 它是欧几里德式的严谨科学东西 用欧几里德方法提出来的数学看 起来象一门系统的演绎科学 但在创造过程中 数学看起来象一门实验性的归纳科学 为此 在数学教 学中对逻辑推理与合情推理应同时并重 既教证明 又教猜想 并努力使猜想与证明恰到好处地结合 起来 给严谨 抽象的内容增添几分生动活泼 从而使教学双方共同感受发现的乐趣和数学的理性美 例1 计算积分I 2 0 1 1 tanx dx 这是见于多种高等数学辅导书籍的一道典型例题 当 0时 积分易求得 当 0时 被积函数只可能有x 0或x 2这两个可去间断点 故可 积 但却不能用常规的定积分计算方法求得 辅导书中给出的解法如下 令x 2 u 则 2 0 1 1 tanx dx 2 0 1 1 cotu du 2 0 tan u 1 tanu du 从而 2I 2 0 1 1 cotx dx 2 0 tan x 1 tanx dx 2 故I 4 收稿日期 2001211227 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 但在教学中倘若仅将上述解法照本宣科一番 学生难免会对所作代换产生几分神秘 困惑之感 怎 样想到作此代换 对此 若不深入发掘 诱发合情推理 则讲完此题后学生所得仅限于一题一法 思维受 限 收获不大 这时 教师可引导学生采取类比方法并结合几何直观引入猜想 则局面就豁然开朗了 不妨先考虑特殊化情形 1 I 2 0 1 1 tanx dx 图1 先作出f x 1 tanx的图形以探求解题思路 见图1 f x 过点C 0 1 由x 2 为f x 的可去间断点 补充定义 f 2 0后可认为f x 过A 2 0 进一步发现f x 还过点 P 4 1 2 由P为A C两点连线中点的事实 可使我们不禁猜想 曲 线f x 可能关于点P对称 再结合定积分几何意义 所求定积分等 于矩形A B CD面积的一半 因此关键就是证明上述猜想的正确性 为 此 只需证明P是点 x f x 和点 2 x f 2 x的中点 由f 2 x 1 1 tan 2 x 1 1 cotx tanx 1 tanx 有 1 2 f x f 2 x 1 2 1 1 tanx tanx tanx 1 2 故猜想正确 从而问题迎刃而解 事实上 由上述验证过程 还可看出代换x 2 u的理由 自然可将上述讨论推广到一般情形 即 求 2 0 1 1 tanx dx 可作类似的猜想 并经过类似的分析推导过程可得 2 0 1 1 tanx dx 2 同样根据 所作的分析推导 亦可得到代换x 2 u 2 在数学概念 数学结论的教学中 引入猜想 揭示数学思维过程 前苏联数学教育家斯托利亚尔指出 数学教学是思维活动的教学 因此 充分暴露数学思维过程 应成为数学教师的首要任务 而教师要揭示数学思维过程 一定程度上来源于模拟数学家的探索过程 而这种过程往往自猜想开始 以最后确定的形式出现的定型的数学 好象是仅含证明纯论证性的材料 然而 数学的创造过程与其他知识的创造过程是一样的 在证明一个数学定理之前 你先得猜测这个定 理的内容 在你完全作出详细证明之前 你先得猜测证明的思路 你先得把观察到的结果加以综合然后 加以类比 你得一次又一次地进行尝试 波利亚 因此在某些数学概念 某些数学结论的教学中 可引导 学生模拟数学家的思维过程 大胆地猜想 然后深入细致地分析从而导出新概念 得到新结论 例2 求二元函数z f x y 在条件 x y 0 下的极值 此处暂时略去关于f x y x y 条件的表述 求解这类问题用L argrange乘数法 关于 L argrange乘数法 一般教科书通常是单纯从函数角度推导得到所求极值的充要条件 实际上 可引导 学生借助几何直观引入猜想 首先 将例2的内容赋予直观意义 条件 x y 0 对应于一条规定的平 面曲线S 函数z f x y 对应于一空间曲面 2 这样问题可类比于如下问题 假设当某人在 2 上沿着规定的平面曲线S所对应的路径行走时 在此路径上哪一点能达到最大 高度 当你通过一点往上行或往下行时 那么在这点肯定不会达到最大高度 只有当此路径与曲面 z f x y 上某条曲线相切时才能过到最高点 如图2所示 84工 科 数 学 第18卷 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 图 2 a 图 2 b 这样 z f x y 的极值点 x0 y0 应是等高线f x y c与曲线 x y 0 相切的点P0 因此 等 高线f x y c与曲线 x y 0 在点P0处的两切向量平行 从而两者的分量应对应成比例 这样 前面的猜想可进一步转化为极值点的必要条件 满足下列方程组 fx x y x x y fy x y y x y 为常数 这时引入L angrang乘数法已是水到渠成 例3 斐波那契数列的通项 由于斐波那契数列在理论与实际两方面的重要意义 在数学教学中历来颇受关注 此数列的构成规 律为F0 F1 1 Fn Fn 1 Fn 2 但对于其通项公式 Fn 1 5 1 5 2 n 1 5 1 5 2 n n 1 2 有关教材与专著中通常是用求递归数列通项的特征方程法或母函数法求得 而当学生未学上述两种方 法时 教师可引导学生作出适当的猜测从而导出此通项公式 首先考察Fn Fn 1 Fn 2 根据其特点可 猜想 何种函数f n Fn满足它呢 此函数应使自变量取n 1 n 2 n时仍为同一类型至多只有系数 的差别 这样三个同类型函数之和或差才可能等于零 从而可进一步猜想 符合条件的函数是否为指数 函数 设 Fn f n n 是待定常数 有 n n 1 n 2 必满足方程 2 1 0 从而应有两根 1 1 5 2 2 1 5 2 于是得 f1 n 1 5 2 n f2 n 1 5 2 n 均为满足条件的函数 因此猜想正确 进而又可推得 f n c1 1 5 2 n c2 1 5 2 n c1 c2为任意常数 也应是满足条件的函数 再由f 0 f 1 1 得 c1 c2 1 c1 1 5 2 c2 1 5 2 1 解得 c1 1 5 1 5 2 c2 1 5 1 5 2 从而有 94第6期 黄明 浅谈合情推理的教学 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved Fn 1 5 1 5 2 n 1 1 5 2 n 1 n 0 1 2 3 解题教学中引导猜想 探求 开拓解题思路 解题是数学教学的一个重要方面 通过解题教学应使学生学会用数学的思想 观点 方法去分析问 题 解决问题 培养良好的心理品质 解题教学中若能引导学生先对问题的内容及隐含条件 解题方法及 结论给出合情推理 将有助于建立并优化解题思路 为此可引导学生注意利用直觉 直观 归纳或类比等 方法 洞察题目已知与未知中的关键点从而给出猜想 进一步依靠逻辑论证 逐步证实猜想 确定解题 思路 例4 若f x 在 0 2 上可导 且 f x 1 f 0 f 2 1 试证 1 2 0f x dx 3 首先逐一分析本题给出的各条件并考察其直观意义 f x 在 0 2 上可导且f 0 f 2 1 说明 f x 的图形是一条由A 0 1 到C 2 1 的连续曲线 其上每一点都有切线且端点A C的高度相等 f x 1 即曲线上任一点 x f x 处切线斜率k 1 因此可猜想 函数曲线应被框在以y 1 x y 1 x y 3 x y x 1这四条直线为边所围成的 正方形内 而 2 0f x dx表示曲边梯形A ODC的面积 综合上述信息并作图3 由图3 设直线y x 1 y 3 x x 2及x轴 y轴所围图形的面积为SOAB CD 若猜想正确 则 应有 图3 2 0f x dx SOAB CD 2 0f x dx S AOE S CD E 不难求得SOAB CD 3 S AOE S CD E 1 因此问题的关键是 证明猜想成立 设 g x x 1 0 x 1 3 x 1 x 2 h x 1 x 0 x 1 x 1 1 x 2 故只需证明h x f x g x 即可 此时学生不难用所学方法 证明此不等式 例5 如果f x 在 a b 上可导 且f a f b 则对介于f a 与f b 之间的任何实数 存在 a b 使得f 这一命题与闭区间上连续函数的介值定理类似 但由于f x 在 a b 上未必连续 显然它不能作 为介值定理的推论 但从结论出发 自然可联想教材中证明介值定理的思路即从特例零点定理开始而后 推广到一般 从而使我们猜测 若将问题特殊化 即作某种特殊规定 类比于零点定理 如令f a 0 则应存在 a b 使得f 0 然而 此结论不能由零点定理或罗尔定理推得 于是猜 测 能否用费尔玛定理证明 而由条件f a 0 不难推出f x 一定在 a b 内取得最大 小 值 因此可由费尔玛定理证明结论 推广到一般 这时可与教材中由零点定理推介值定理的证法相比较 从而想到 用同样的证明方法 能否达到目的 事实上 任给数C满足f a C f b 不妨设f a f b 作辅助函数 F x f x Cx 易验证F x 满足零点定理条件 故结论成立 综上所述 教学中培养学生的猜想预见能力是一项极有意义之举 而随着CA I与数学实验课的开 展 对所探讨的问题我们还能借助于计算机技术与数学软件更快地给出较合理的猜想 但应看到 猜想 05工 科 数 学 第18卷 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 与逻辑推理 是数学学习和研究中相辅相成的两个方面 教师在注重引导猜想的同时还须使学生明确 对于所作猜想必须严格证明 有许多数学问题仅靠引入猜想还难以立即找到解题思路 必须综合应用猜 想与逻辑推理才能求得 引入猜想后 在分析 探求的过程中还应善于 区别更合理的猜想与较不合理的 猜想 而舍去较不合理的猜想 从而优化解题思路 参 考 文 献 1 美 波利亚 数学与猜想 M 北京 科学出版社 2001 2 钱昌本 高等数学解题过程的分析与研究 M 北京 科学出版社 1993 3 同济大学应用数学系 微积分 M 北京 高等教育出版社 1999 4 王绵森 马知恩 工科数学分析基础 M 北京 高等教育出版社 1999 On the Teaching of Plausible Reason ing H UA N G M ing W uhan U niversity W uhan430070 Abstract In this paper at first the author discusses the relation between logic reasoning and plausible reasoning and elusidates the meaning of plausible reasoning in H igher M athethmatics teaching Then combing some teaching practice w ith the topic the author inquires u