初三----图形证明训练30道--附详细答案.doc

图形旋转证明训练30道（1）一解答题（共30小题）1（2015诸城市二模）如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起（1）操作：固定ABC，将CD1E1绕点C顺时针旋转得到CDE，连接AD、BE，如图2探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定ABC，若将CD1E1绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的CDE设为PQR，如图3探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长 2（2015唐山二模）如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点P从点A开始沿折线ACCBBA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持lAC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）当t=3秒时，点P走过的路径长为；当t=秒时，点P与点E重合；当t=秒时，PEAB；（2）当点P在AC边上运动时，将PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当ENAB时，求t的值；（3）当点P在折线ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值3（2014重庆）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEBD，垂足是E点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF（1）求AE和BE的长；（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值（3）如图，将ABF绕点B顺时针旋转一个角（0180），记旋转中的ABF为ABF，在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由4（2014天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF，记旋转角为（）如图，当=90时，求AE，BF的长；（）如图，当=135时，求证AE=BF，且AEBF；（）若直线AE与直线BF相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）5（2014重庆）如图1，在ABCD中，AHDC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG与ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边EFG与ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边EFG的顶点E到达点C时，如图2，将EFG绕着点C旋转一个角度（0360），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F，G的对应点为G，设直线FG与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点试问：是否存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由6（2012本溪）已知，在ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN（1）当BAC=MBN=90时，如图a，当=45时，ANC的度数为；如图b，当45时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当BAC=MBN90时，请直接写出ANC与BAC之间的数量关系，不必证明7（2012余姚市校级自主招生）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN内切圆的半径8（2012高淳县一模）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角（045），得到正方形OA1B1C1设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN（1）求证：OC1MOA1E；（2）试说明：OMN的边MN上的高为定值；（3）MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值9（2011仙桃）两个大小相同且含30角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合将图中DEC绕点C逆时针旋转30得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点（1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转45得D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI10（2011石景山区一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明11（2010南平）如图1，在ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD相交于点E，已知ABC=AEP=（090）（1）求证：EAP=EPA；（2）APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN（点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点）猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论12（2010潍坊）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1（1）求证：OAE1OCF1；（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OECF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由13（2010义乌市）如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F（1）如图2，当BP=BA时，EBF=，猜想QFC=；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式14（2009莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）15（2009济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论16（2007临沂）如图1，已知ABC中，AB=BC=1，ABC=90，把一块含30角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N证明DM=DN；在这一过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明17（2007武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，BAC=CED，直线AE、BD交于点F（1）如图，若BAC=60，则AFB=；如图，若BAC=90，则AFB=；（2）如图，若BAC=，则AFB=（用含的式子表示）；（3）将图中的ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图或图在图中，AFB与的数量关系是AFB=90；在图中，AFB与的数量关系是请你任选其中一个结论证明18（2007徐州）如图，ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC、AD分别交于点O、E（1）若ABC为等边三角形，则的值为1，求AFB的度数；（2）若ABC满足ACB=60，AC=，BC=，求的值和AFB的度数；若E为BC的中点，求OBC面积的最大值19（2005武汉）将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放（1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，求证：CP1=AP1；（2）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转30到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AB的交点线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60到CP3（如图4），连接P3P2，求证：P3P2AB20如图1，ABC与DEF中，AB=AC，D为BC的中点，EDF+BAC=180，直线DF、DE分别交直线AB、AC于点P、Q（1）如图2，BAC=60，猜想BP+QC与BC的关系，并说明理由；（2）当BAC=120，BP+QC与BC的关系为；（3）当BAC=，探究BP+QC与BC的关系，并说明理由；（4）如图3，当DEF绕点D旋转时，其他条件不变，（3）中的结论是否一定成立？若成立，请你写出一个真命题；若不成立，请你画图说明21（2013武汉模拟）已知ABC中，点E为边AB的中点，将ABC沿CE所在的直线折叠得AEC，BFAC，交直线AC于F（1）若ACB=90，A=30，求证：AC=CF+BF（2）若ACB为任意角，在图（2）图（3）的情况下分别写出AC、CF、BF之间关系，并证明图（3）结论（3）如图（4），若ACB=120，BF=6，BC=4，则AC的长为22（2012秋内江期末）如图，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（ab），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN（1）如图，分别沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，使点A、C分别落在MN上的A、C处，直接写出ME与FN的位置关系；（2）如图，当MNBC时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形AEBN与四边形CFDM的周长（用含a的代数式表示），并判断四边形AEBN与四边形CFDM周长之间的数量关系；（3）如图，若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN将MN两侧纸片折叠，折叠后，点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形BNDM是菱形，请你探索a、b之间的数量关系；（4）在（3）情况下，当a=时，求菱形BNDM的面积23（2012营口二模）已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合） （1）如图，现将PBC沿PC翻折得到PEC；再在AD上取一点F，将PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图，分别在AD、BC上取点F、C，使得APF=BPC，与（1）中的操作相类似，即将PAF沿PF翻折得到PFG，并将PBC沿PC翻折得到PEC，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由24（2012龙岩）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A落在线段BC上，再打开得到折痕EF（1）当A与B重合时，（如图1），EF=；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA=x，当x的取值范围是时，四边形AEAF是菱形；在的条件下，利用图4证明四边形AEAF是菱形25（2011河池）如图1，在ABO中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为一边，在OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长26（2011陕西）如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”一定是一个三角形（2）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？27（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，此时CDE的周长是最小的这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了）28 （2010徐州）如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长=cm；求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由29（2010攀枝花）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点设CP=x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CPQ的度数（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式并求此时函数值y的取值范围30（2009恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值2016年03月09日金钥匙教育1的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015诸城市二模）如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起（1）操作：固定ABC，将CD1E1绕点C顺时针旋转得到CDE，连接AD、BE，如图2探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定ABC，若将CD1E1绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的CDE设为PQR，如图3探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长 【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，ACB=ECD=60，然后求出ACD=BCE，再利用“边角边”证明ACD和BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出ACF=30，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CHQ=30，从而得到ACF=CHQ，判断出CHQ是等腰三角形；（3）求出CGP=90，然后利用ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CGCH整理即可得解【解答】解：（1）BE=CD理由如下：ABC与CDE是等边三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60ACBACE=ECDACE，即BCE=ACD在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），BE=AD；（2）旋转角为30，BCF=30，ACF=6030=30，CHQ=RQPACF=6030=30，ACF=CHQ，CHQ是等腰三角形；（3）CGP=180ACFRPQ=1803060=90，CG=CPcos30=（x+4），CHQ是等腰三角形，CH=2CQcos30=2x=x，GH=CGCH=（x+4）x=2x【点评】本题是几何变换综合题型，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及解直角三角形，综合题，但难度不大，熟记各性质与判定方法是解题的关键2（2015唐山二模）如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点P从点A开始沿折线ACCBBA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持lAC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）当t=3秒时，点P走过的路径长为10；当t=3秒时，点P与点E重合；当t=1.5秒时，PEAB；（2）当点P在AC边上运动时，将PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当ENAB时，求t的值；（3）当点P在折线ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值【考点】几何变换综合题；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由条件可以求出AB=10，根据P点在各边的速度可以求出在各边所用的时间，从而可以求出P在3秒内走的路程；根据CE等于点P走的路程与AC的差建立方程就可以求出t的值；若PEAB，则CPECAB，根据相似三角形的性质建立方程，就可求出t的值（2）由题可得CPE=PEF=MEN，又由ENAB，FEB=C=90可得B=MEN，则有CPE=B，从而得到CPECBA，根据相似三角形的性质建立方程，就可求出t的值（3）由于点P在三条线段上运动，因此需分点P在AC、BC及AB上三种情况进行讨论，然后根据菱形的性质和相似三角形的性质建立关于t的方程就可求出t的值【解答】解：（1）在RtABC中，由C=90，AC=6，BC=8得AB=10点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，点P在AC边上运动的时间为：63=2秒，点P在BC边上运动的时间为：84=2秒，点P在AB边上运动的时间为：105=2秒当t=3秒时，点P走过的路径长为6+4（32）=10由题意可知：当（t2）4=t时，点P与点E重合解得：t=3t=3秒时，点P与点E重合若PEAB，如图1，则有CPECAB=CPCB=CECACP=63t，CB=8，CE=t，CA=6，8（63t）=t6解得：t=1.5当t=1.5秒时，PEAB故答案分别为：10、3、1.5（2）如图2，由旋转可得：PEF=MEN，P在AC上，AP=3t （0t2）CP=63tEFAC，C=90，CPE=PEF，BEF=C=90ENAB，B=90NEB=MENCPE=BC=C，CPE=B，CPECBA=CPCA=CECB（63t）6=8解得：t=当ENAB时，t的值为（秒）（3）当P点在AC上时，（0t2），如图3，EFAC，FEBACB，=AC=6，BC=8，AB=10，BE=8，EF=6t，BF=10四边形PEQF是菱形，POE=90，EF=2OEC=POE=OEC=90，四边形PCEO是矩形OE=PCEF=2PC6t=2（63t）t=当P点在BC上时，此时点Q也在BC上，所以以点P、E、Q、F为顶点不能构成菱形，故不存在当P在AB上时，（4t6），如图4，四边形PFQE是菱形，OE=OF=EF，EFPQFOP=90=FEBOPBEFOPFEB=BF=2PFBF=2BPBF=10t，BP=5（t4），10=25（t4）解得：t=综上所述：当四边形PEQF为菱形时，t的值为（秒）或（秒）【点评】点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，利用相似三角形的性质和菱形的性质是解答本题的关键3（2014重庆）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEBD，垂足是E点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF（1）求AE和BE的长；（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值（3）如图，将ABF绕点B顺时针旋转一个角（0180），记旋转中的ABF为ABF，在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算【解答】解：（1）在RtABD中，AB=5，AD=，由勾股定理得：BD=SABD=BDAE=ABAD，AE=4在RtABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3（2）设平移中的三角形为ABF，如答图2所示：由对称点性质可知，1=2由平移性质可知，ABAB，4=1，BF=BF=3当点F落在AB上时，ABAB，3=4，3=2，BB=BF=3，即m=3；当点F落在AD上时，ABAB，6=2，1=2，5=1，5=6，又易知ABAD，BFD为等腰三角形，BD=BF=3，BB=BDBD=3=，即m=（3）存在理由如下：在旋转过程中，等腰DPQ依次有以下4种情形：如答图31所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知2=2Q，1=3+Q，1=2，3=Q，AQ=AB=5，FQ=FA+AQ=4+5=9在RtBFQ中，由勾股定理得：BQ=DQ=BQBD=；如答图32所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知2=P，1=2，1=P，BAPD，则此时点A落在BC边上3=2，3=1，BQ=AQ，FQ=FAAQ=4BQ在RtBQF中，由勾股定理得：BF2+FQ2=BQ2，即：32+（4BQ）2=BQ2，解得：BQ=，DQ=BDBQ=；如答图33所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知3=42+3+4=180，3=4，4=9021=2，4=901AQB=4=901，ABQ=180AQB1=901，AQB=ABQ，AQ=AB=5，FQ=AQAF=54=1在RtBFQ中，由勾股定理得：BQ=，DQ=BDBQ=；如答图34所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知2=31=2，3=4，2=3，1=4，BQ=BA=5，DQ=BDBQ=5=综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为、或【点评】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算4（2014天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF，记旋转角为（）如图，当=90时，求AE，BF的长；（）如图，当=135时，求证AE=BF，且AEBF；（）若直线AE与直线BF相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）【考点】几何变换综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE，BF的长（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D重合时），然后运用勾股定理及30角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值【解答】解：（）当=90时，点E与点F重合，如图点A（2，0）点B（0，2），OA=OB=2点E，点F分别为OA，OB的中点，OE=OF=1正方形OEDF是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90得到的，OE=OE=1，OF=OF=1在RtAEO中，AE=在RtBOF中，BF=AE，BF的长都等于（）当=135时，如图正方形OEDF是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135所得，AOE=BOF=135在AOE和BOF中，AOEBOF（SAS）AE=BF，且OAE=OBFACB=CAO+AOC=CBP+CPB，CAO=CBP，CPB=AOC=90AEBF（）BPA=BOA=90，点P、B、A、O四点共圆，当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着PAO的增大而增大OE=1，点E在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，当AP与O相切时，EAO（即PAO）最大，此时AEO=90，点D与点P重合，点P的纵坐标达到最大过点P作PHx轴，垂足为H，如图所示AEO=90，EO=1，AO=2，EAO=30，AE=AP=+1AHP=90，PAH=30，PH=AP=点P的纵坐标的最大值为【点评】本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、30角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P的纵坐标最大时点P的位置是解决最后一个问题的关键5（2014重庆）如图1，在ABCD中，AHDC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG与ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边EFG与ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边EFG的顶点E到达点C时，如图2，将EFG绕着点C旋转一个角度（0360），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F，G的对应点为G，设直线FG与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点试问：是否存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）利用平行四边形性质、勾股定理，求出DH、CH的长度，可以判定ACD为等腰三角形，则AC=AD=7；（2）首先证明点G始终在直线AB上，然后分析运动过程，求出不同时间段内S的表达式：当0t时，如答图21所示，等边EFG在内部；当t4时，如答图22所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上；当4t7时，如答图23所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上（3）因为MCN为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形：若点N为等腰三角形的顶点，如答图31所示；若点M为等腰三角形的顶点，如答图32所示【解答】解：（1）ABCD，CD=AB=4在RtADH中，由勾股定理得：DH=2，CH=DHAC=AD=7（2）在运动过程中，AE=t，AF=3t，等边EFG的边长EF=EG=GF=2t如答图1，过点G作GPAC于点P，则EP=EG=t，GP=EG=tAP=AE+EP=2ttanGAC=tanBAC=tanACH=，tanGAC=tanBAC，点G始终在射线AB上设BAC=ACH=，则sin=，cos=当0t时，如答图21所示，等边EFG在内部S=SEFG=EF2=（2t）2=t2；当t4时，如答图22所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上过点B作BQAF于点Q，则BQ=ABsin=4=4，AQ=ABcos=4=8CQ=AQAC=87=1设BC与GF交于点K，过点K作KPAF于点P，设KP=x，则PF=x，CP=CFPF=3t7xPKBQ，即，解得：x=（3t7）S=SEFGSCFK=t2（3t7）（3t7）=t2+t；当4t7时，如答图23所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上过点B作BQAF于点Q，则BQ=ABsin=4=4，AQ=ABcos=4=8CQ=AQAC=87=1设BC与GF交于点K，过点K作KPAF于点P，设KP=x，则EP=x，CP=EPCE=x（7t）=x7+tPKBQ，即，解得：x=（7t）S=SCEK=（7t）（7t）=t2t+综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=（3）设ACH=，则tan=，cos=当点E与点C重合时，t=7，等边EFG的边长=2t=14假设存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形，若点N为等腰三角形的顶点，如答图31所示，则NMC=MCN=过点C作CPFM于点P，则CP=CF=7PM=14设CN=MN=x，则PN=PMMN=14x在RtCNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：（7）2+（14x）2=x2，解得：x=过点N作NQCM于点Q，CM=2CQ=2CNcos=2=7；若点M为等腰三角形的顶点，如答图32所示，则MNC=MCN=过点C作CPGN于点P，则CP=CF=7PN=14设CM=MN=x，则PM=PNMN=14x在RtCMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：（7）2+（14x）2=x2，CM=x=综上所述，存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或【点评】本题是几何变换综合题，涉及平移与旋转两种几何变换第（2）问中，针对不同时间段内的几何图形，需要分类讨论；第（3）问中，根据顶点的不同，分两种情形进行分类讨论本题涉及考点众多，图形复杂，计算量偏大，难度较大；解题时需要全面分析，认真计算6（2012本溪）已知，在ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN（1）当BAC=MBN=90时，如图a，当=45时，ANC的度数为45；如图b，当45时，中的结论是