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第十四章一次函数教材分析 西城外国语学校 丁瑾 一、教材分析（一）本章地位和作用 函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习反比例函数和二次函数的基础对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习而不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解又决定了具体的一次函数、反比例函数、二次函数的学习能否顺利地进行一次函数是学生接触的第一类具体函数形式，由具体实例抽象出统一的函数形式、利用函数图像归纳函数性质、利用函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法变化对应、数形结合等思想方法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学生加深认识（二）本章知识结构知识结构框图如下：本章共分为4节：14.1变量与函数由具体实例引出变量与常量的概念、函数概念、自变量与函数值；函数图像的概念、画函数图像、从函数图像上读取信息解决问题；函数的三种表示方法及实际问题中的综合应用14.2一次函数正比例函数的概念、图像、性质；一次函数的概念、图像、性质；与正比例函数的关系；解析式的确定；一次函数的应用分段函数及图像14.3用函数观点看方程、方程组、不等式14.4课题学习 选择方案是新加入的一节，作为一次函数的应用独立拿出来作为课题学习（三）课程学习目标 1以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型 2结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合的分析简单的函数关系 3理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题4通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系5通过讨论课题学习中选择最佳方案问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力（四）本章课时安排：14.1变量与函数 5课时14.2一次函数 5课时14.3用函数观点看方程、方程组、不等式 3课时14.4课题学习 选择方案 2课时数学活动和小结 2课时二、具体知识（一）函数的相关概念1知道现实生活中存在变量与常量，变量在变化的过程中有其固有的取值范围，变量之间有相互制约、相互依存的关系2初步理解函数的概念：两个变量相互联系，一个变量发生变化时另一个变量也随之变化；函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的3能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围（使函数的解析式有意义；实际问题有意义）；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值4初步理解函数图象的意义，掌握用“描点法”画函数图象的一般步骤，能比较准确地画出较简单函数的图象；初步学会依据函数图象分析变量之间的数量关系，回答有关问题（二）一次函数1理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，说出正比例函数的性质及其图象的性质，理解比例系数对正比例函数（）性质的影响：解析式（k为常数，且）自变量取值范围全体实数图象形状过原点和（1，k）点的一条直线k的取值位置经过一、三象限经过二、四象限趋势（从左向右）上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小*特征值k的意义：时，（1，k）在第一象限，直线的倾斜角为锐角，且倾斜角的度数随k的增大而增大；时，（1，k）在第四象限，直线的倾斜角为钝角越大，图像越靠近y轴，函数变化速率越大2理解一次函数的概念和特征，能正确地画出一次函数的图象，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的位置关系： 当时，直线由直线向上平移b个单位长度；当时，直线由直线向下平移个单位长度；3掌握一次函数的性质及其图象的性质，理解、对一次函数的性质的影响：（对比正比例函数的性质和图象的性质）解析式（k为常数，且）自变量取值范围全体实数图象形状过（0，b）和（，0）点的一条直线k、b的取值位置经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势（从左向右）上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小（1）k决定直线从左向右是什么趋势（倾斜程度），b决定它与y轴交点在哪个半轴，k、b合起来决定直线经过哪几个象限；注意看图识性，见数想形（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；*与垂直4能依据给定的两个独立条件，用待定系数法求一次函数的解析式： （1）常见的直接条件：对于正比例函数，根据除原点外的一点（，）确定k，；对于一次函数，根据两点(，)和(，)，解方程组确定k、b让学生记住（2）间接条件：围成图形的面积；平行关系等（三）用函数观点看方程（组）和不等式会用函数的观点来再次认识一元一次方程、二元一次方程（组）和一元一次不等式，能用辨证的观点看待一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系1能直观地用函数的图象来反映方程（组）的解和不等式的解集，能用一次函数的性质来解决简单的方程（组）问题、不等式问题和实际问题2反之，利用解方程、解方程组、解不等式来解决一次函数相关问题（1）一次函数的图象与x轴交点的横坐标一元一次方程的解（2）一次函数与两个图象的交点二元一次方程组的解（3）使一次函数的函数值（或）的自变量的取值范围一元一次不等式（或）的解集（四）一次函数的应用1掌握一次函数在数学中的应用：（1）会求某个一次函数的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积：（2）会求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：关键是求某两条直线的交点的坐标（即多边形顶点的坐标）2掌握一次函数在实际中的应用：如分段函数问题、简单线性规划问题等三、教学建议“变量之间的对应关系”反映了函数最本质的特征，在教学中要注重引导学生用联系的观点看待问题，以函数为工具分析、解决问题，这是本章教学的特点在教学中既要注意数学方法的运用，又要注意数学思想的渗透 （一）重视概念的形成和发展，逐步深化学生对函数的认识1对于函数的初步认识变量与函数的教学是学生从初等数学向高等数学学习的转变的初始阶段，为了便于学生的接受，可以由老师先借助生活中的实例，逐渐抽象到数学中的概念，让学生认识并理解函数的概念中最主要的基本要素 2对于函数的再认识引导学生认识到：研究的问题是有在一定条件下进行的，即变量是有取值范围的，自变量和函数和人们研究的目的有关；变量之间是相互制约、相互依存的，它们之间的对应关系是客观存在的（包括那些只能用图象或列表方法才能表示的函数关系）3对于函数的深化认识给出不同形式的数量关系，紧扣函数定义，让学生判断它们是否为的函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9） （二）注重落实基础知识和基本技能本章中自变量取值范围；正比例函数和一次函数的一般式、图像和性质、解析式的确定是所有学生必须掌握的基础知识，描点作图是最基本的技能，要反复练习，配备系列题组，使学生熟练掌握例1：确定一次函数解析式的系列题组：1若是关于的一次函数，且当时，；当时，求出这个函数的解析式；2若与成正比例关系，且时，求关于的函数关系3已知一次函数的图象过点（3，5）与（，），求这个一次函数的解析式4已知一次函数过（5，）和（4，）两点，求一次函数的解析式5已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），求解析式6若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，求解析式7已知函数一条经过原点的函数图象如左下图，求该函数解析式 8直线图象如右上图，求和的值9求经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式 注意：（1）数形结合：从画图的角度分类；从计算的角度分类 （2）规范书写：代清公式，知坐标求长度加绝对值；知长度求坐标去绝对值10气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6.高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38，高空中xkm的气温为y.当0x11时，求y与x之间的关系式（三）培养学生严谨推理能力和规范的表述能力1画函数图象时，要明确函数图象的意义，规范画图象的要求：（1）关于列表：如何取点，省略号意义；可让学生自己取，然后谈经验，明确要求（2）关于描点连线：从左到右（自变量从小到大），多取点看趋势（3）学生容易出现问题：自变量取值有遗漏，不标注坐标轴，两轴单位长度不统一，不注解析式，不用平滑曲线连接等2画实际问题函数图象时，要特别注意自变量的取值范围对函数的图象的影响，说明两轴所表示的变量的实际意义，两轴单位长度可以不统一，但要表明单位3解答题的书写要规范板演，步骤清晰，步步有据，在做题的过程中反复加深对公式的记忆和对基础知识的掌握（四）重视数形结合的研究方法，重视函数图像的作用数形结合是本章最重要的数学思想方法，渗透于函数的所有知识内容中一方面，函数研究方法本是就由函数图像归纳出函数性质，由图知性；另一方面，在解题过程中，数和形的转化是解题的关键，应指导学生养成随手画图的习惯1数形结合地认识函数：从“数”的方面，体现变量之间的对应关系；从“形”的方面，是横纵坐标满足对应关系的点组成的图形，函数的性质要结合函数图像记忆图象特征和函数变化规律的统一：图象特征函数变化规律最高点（最低点）函数最大值（函数最小值）从左向右上升（从左向右下降）y随x的增大而增大（y随x的增大而减小）与x轴交点的横坐标函数值为0时的自变量取值与y轴交点的纵坐标自变量为0时的函数值2数形结合地解决问题： （1）由图象读取信息例2（07绍兴市）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示某日8:0011:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条分析：由图1、2可知罐装速度为650瓶/小时，装箱速度为750瓶/小时； 由图3可知，3小时罐装总量比装箱总量多300瓶解：设罐装生产线x条，则装箱生产线（26-x）条 答：设罐装生产线14条例3如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图像（全程）根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？分析：应认真分析平面直角坐标系中两个函数图象的相互位置关系，特别是交点和分界点的实际意义，从而找到解题的切入点，确定解题的步骤和方法解：（1）A（15，5），B（33，7） 当y=6时，x=24（分钟） （2）过原点和（24，6）点 当x=48时，y=12（千米）（3）B（33，7），C（43，12） 解 ，得比赛开始38分钟时，两人第二次相遇（2）解决与函数相关的几何图形问题例4在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线在第一象限的一点（1）设OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围（类教材P120习题9）解：（）（2）在直线求一点Q，使OAQ是以OA为底的等腰三角形解：OAQ是以OA为底的等腰三角形点Q在OA的垂直平分线上，A（4，0）， 当x=2时，y=2 Q（2，2）（3）若第（2）问变为使OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？（5个）例5已知点（1，2）和点（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：（1）在x轴上找一点C，使得的值最小；（2）在y轴上找一点C，使得的值最小；（3）在直线上找一点C，使得的值最小；（4）在x轴、y轴上各找一点M、N，使得的值最小分析：结合轴对称最短距离问题寻找解题思路，用一次函数解析式及交点有关知识解决问题（五）加强对知识间内在联系的认识，用一次函数把方程和不等式等不同的数学对象统一起来认识1在初始阶段的教学中注意渗透以下知识点：函数图象与坐标轴交点的代数意义；两条直线交点坐标的代数意义；直线经过点（点在直线上）的代数意义；函数值大于0（或函数值小于0）的几何意义等2从一次函数的角度对二元一次方程（组）和一元一次不等式的再认识：（1）任何一个二元一次方程（a、b、c为常数，且），它都可以转化成的形式，它的图象又对应直线；这条直线上的每个点的坐标（x，y）都与二元一次方程的解（x，y）相对应；反之亦然方程未知数x，y未知数之间的制约关系函数自变量x和函数y自变量与函数之间的对应关系图象点的横坐标x和纵坐标y点在同一直线上（2）任何一个二元一次方程组（且）都可以化为（其中、为常数，且，），它对应看x为何值时，两个一次函数和的函数值相等，还对应着它们的图象的交点坐标；反之亦然方程组未知数x，y唯一解两个函数自变量x和函数y自变量相等时函数值也相等两条直线点的横坐标x和纵坐标y两条直线的交点（3）任何一个一元一次不等式可化为或（a、b为常数，且），的解集的函数值大于0时的自变量x取值范围；的解集的函数值小于0时的自变量x取值范围；（，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量x取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围（六）适当借助实际问题情境，由具体到抽象的认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想1在函数（包括正比例函数和一次函数）的概念引入中，借助一组简单的实际问题，寻找变量之间对应关系的相同点，归纳出新知这样可以把更多的时间用于重点教学之中，淡化背景的干扰因素2一些实际问题可以用方程求解，要引导学生用函数的观点去重新审视，提高理论高度，深化对问题的认识（七）合理借助多媒体教学，提高课堂效率，帮助学生直观地理解问题四、补充习题1下列图形中的曲线不表示是的函数的是（ ）vx0Dvx0Avx0CyOBx25月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都描述上述过程的大致图象是（ ）st80Ovt80Ovt80OtvOACD803小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）路程（百米）yx时间（分钟）9636183004小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ）A37.2分钟B48分钟C30分钟D33分钟DCBA5（08山东潍坊市）某蓄水池的横断面示意图如右图所示,分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下面的图像能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ）6.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点 从点出发沿着 方向匀速运动，最后到 达点.运动过程中的面积（）随时间（t）变化的图象大致是（ ） ABDC.7（08顺义一模）如图，已知直线与的交点的横坐标为，根据图象有下列3个结论：；是不等式的解集其中正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D38（08成都）某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是 yxPO2-2-229如图，已知函数和的图像交于点，则根据图像可得不等式的解集是 10（08湖北省咸宁市）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 11声音在空气中传播的速度（m/s）是气温（）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：气温（）05101520音速（m/s）331334337340343气温时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？12（08陕西）生态公园计划在园内的坡地上造一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵种植A、B两种树苗的相关信息如下表：品种 项目 单价（元/棵）成活率劳务费（元/棵）A1595%3B2099%4 设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？13（08湖北省咸宁市）“512”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区已知蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从B地运往C处的蔬菜为x吨(1) 请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；总计200吨x吨300吨总计240吨260吨500吨(2) 设、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；(3) 经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案14（08海淀毕业考）已知一次函数的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线经过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果，求直线的解析式 15(08河北) l1l2xyDO3BCA（4，0）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线、交于点（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标O(天)y（米）40001000302016（08广东省湛江市）某农户种植一种经济作物，总用水量（米）与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示（1）第天的总用水量为多少米？（2）当时，求与之间的函数关系式 （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？17.（08湖北）华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量（万件）与纪念品的价格（元件）之间的函数图象如图所示，该公司纪念品的生产数量（万件）与纪念品的价格（元件）近似满足函数关系式.若每件纪念品的价格不小于20元，且不大于40元.请解答下列问题：（1） 求与的函数关系式，并写出的取值范围；（2） 当价格为何值时，使得纪念品产销平衡（生产量与销售量相等）；（3） 当生产量低于销售量时，政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量，促成新的产销平衡.若要使新的产销平衡时销售量达到46万件，政府应对该纪念品每件补贴多少元？10203040500（元件）（万件）1020304060 1234554321678Ot/小时s/千米QP甲乙18（08贵州）如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：（1）写出甲的行驶路程和行驶时间之间的函数关系式（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条19“512”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象123 4 5（小时）20015010050Oy(千米)出租车客车（1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范围）；（2）写出