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第六章金属自由电子论 电子气的费米能和热容量 接触电势差 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论 金属电导率 一费米能量 1 金属中的价电子彼此之间无相互作用 6 1电子气的费米能和热容量 1 模型 索末菲 自由电子气 自由电子费米气体 自由的 无相互作用的 遵从泡利原理的电子气 2 金属内部势场为恒定势场 价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动 3 价电子服从费米 狄拉克分布 在热平衡时 能量为E的状态被电子占据的概率是 2 费米分布函数 EF 费米能级 等于这个系统中电子的化学势 它的意义是在体积不变的条件下 系统增加一个电子所需的自由能 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数 图象 随着T的增加 f E 发生变化的能量范围变宽 但在任何情况下 此能量范围约在EF附近 kBT范围内 3 费米面 E EF的等能面称为费米面 在绝对零度时 费米面以内的状态都被电子占据 球外没有电子 T 0时 费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小 此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级 4 求EF的表达式 分两种情况讨论 E E dE间的电子状态数 E E dE间的电子数 系统总的电子数 1 在T 0K时 上式变成 将自由电子密度N E CE1 2代入得 其中 令n N Vc 代表系统的电子浓度 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算 金属中一般n 1028m 3 电子质量m 9 10 31kg 几个电子伏 由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量 这与经典的结果是截然不同的 分步积分得来 2 则上式化简为 因此一方面 另一方面 将g E 在EF附近展开为泰勒级数 函数的特点具有类似于 E EF 函数的性质 仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值 且是E EF的偶函数 只考虑到二次方项 略去三次方以上的高次项 可得到 很显然 I0等于 由于为 E EF 的偶函数 因此I1 0 令 E EF kBT 则 得 得 系统的电子数 T 0时 定义电子气的费米温度 约为104 105K 利用kBT EF 最后得 在金属熔点以下 T EF与差别不大 当温度升高时 EF降低 E E dE间的电子数 E E dE间电子的能量 电子的总能量 每个电子的平均能量 1 每个电子的平均能量 二金属中电子气的热容量 2 每个电子对热容量的贡献 在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为J mol k2而电子比热的量级为mJ mol k2 常温下电子对与热容量的贡献很小 如何解释呢 这是因为在常温下 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态 只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级 也就是说能量随温度发生变化的只是少数电子 所
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