2019_2020学年高中数学第5章正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性教学案新人教A版.docx

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性教学难点：周期函数、最小正周期的意义.【知识导学】知识点一函数的周期性(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(3)记f(x)sinx，则由sin(2kx)sinx(kZ)，得f(x2k)f(x)(kZ)对于每一个非零常数2k(kZ)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，最小正周期都为2.知识点二正弦函数、余弦函数的奇偶性正弦函数ysinx(xR)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数ycosx(xR)是偶函数，图象关于y轴对称【新知拓展】(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(xT)f(x)不能说T是f(x)的周期(2)从等式“f(xT )f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期例如，f(2xT)ff(2x)，则是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数f(x)的周期(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y0(xR)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)因为sinsin，所以是正弦函数ysinx的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()(3)函数y3sin2x是奇函数()(4)函数ycosx是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)函数f(x)2sin是()AT2的奇函数 BT2的偶函数CT的奇函数 DT的偶函数(2)函数y3sin的最小正周期为_(3)若函数ysinx在a，b上是奇函数，则ab_.答案(1)B(2)(3)0题型一 正弦函数、余弦函数的周期性例1求下列函数的周期(1)y3sin；(2)y|cosx|；(3)y3cos；(4)ysin.解(1)解法一：y3sin3sin3sin，令yf(x)，则f(x4)f(x)，y3sin的周期为4.解法二：，T4.(2)y|cosx|的图象如下图所示周期T.(3)解法一：y3cos3cos.3cos3cos3cos，令yf(x)，则ff(x)，y3cos的周期为.解法二：|3，T.(4)解法一：ysinsinsin，令yf(x)，则f(x)f(x)，ysin的周期为.解法二：2，T.金版点睛求三角函数周期的方法求三角函数的周期，通常有三种方法方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，T；方法三：观察法(图象法)注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.求下列函数的最小正周期(1)ysin；(2)f(x)2sin；(3)f(x)cos；(4)f(x)|sinx|.解(1)sinsin，sinsin，ysin的周期是.(2)解法一：2sin2sin2sin，f(x4)f(x)，f(x)2sin的周期是4.解法二：，T4.(3)f(x)coscos.coscoscos，f(x)f(x)，T.(4)f(x)|sinx|的图象如图所示周期T.题型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin2x；(2)f(x)sin；(3)f(x)sin|x|；(4)f(x).解(1)xR，f(x)sin(2x)sin2xf(x)，所以f(x)sin2x是奇函数(2)xR，f(x)sincos，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(3)xR，f(x)sin|x|sin|x|f(x)，所以函数f(x)sin|x|是偶函数(4)由得cosx1，所以x2k(kZ)，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数条件探究将本例(1)改为f(x)cos2x，(2)改为f(x)cos，再判断函数的奇偶性解(1)xR，f(x)cos(2x)cos2xf(x)，f(x)是偶函数(2)xR，f(x)cossin，f(x)sinsinf(x)，函数f(x)是奇函数金版点睛判断函数奇偶性应把握好的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断(1)判断函数f(x)cos(2x)x3sinx的奇偶性；(2)若函数f(x)sin(2x)是偶函数，求的一个值解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，又f(x)cosxx3sinx，f(x)cos(x)(x)3sin(x)cosxx3sinxf(x)，函数f(x)为偶函数(2)解法一：根据ysinx为奇函数，ycosx为偶函数，要使f(x)sin(2x)为偶函数，只要的终边在y轴上即可把f(x)sin(2x)变为f(x)cos2x或f(x)cos2x.可取k(kZ)当k1时，.解法二：f(x)sin(2x)是偶函数，该函数关于直线x0对称又f(x)的对称轴满足2xk(kZ)，当x0时满足2xk(kZ)k(kZ)当k1时，.题型三 函数周期性与奇偶性的应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，求f的值解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin.f.条件探究若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且ff(x)，f1，求f的值解因为f(x)满足ff(x)，所以f(x)ff(x)故函数f(x)的周期为.由函数f(x)是偶函数以及f1，可得fff1.金版点睛化归思想在周期函数中的应用(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f1，求f的值解函数f(x)是偶函数，ff.又函数f(x)的周期是，fff1.即f1.1函数ysin(0)是R上的偶函数，则的值是()A0 B. C. D答案C解析由题意，得sin()1，即sin1.因为0，所以.故选C.2函数ysin2x是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的偶函数D周期为的奇函数答案A解析显然函数ysin2x是奇函数，其最小正周期为T，故选A.3设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函数yf