广州市2004高三数学调研题.pdf

1 2004 年广州市高三教学质量抽测 数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2页 第 卷 3 至 8 页 共 150分 考 试时间 120 分钟 第I卷 选择题共 60 分 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 不能答在试题卷上 3 考试结束 监考人员将本试卷和答题卡一并收回 参考公式 如果事件A B互斥 那么球的表面积公式 P A B P A P B S 4 R2 如果事件A B相互独立 那么其中R表示球的半径 P A B P A P B 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P 3 3 4 RV 那么n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概其中R表示球的半径 率 knkk nn PPCkP 1 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 不等式的解集是0 1 1 x x A B 1 xx 1 1 xxx C D 1 1 xxxx 1 1 xxxx 2 若是第二象限的角 且 则 2 sin 3 cos A B C D 1 3 1 3 5 3 5 3 3 圆的一条直径的端点是A 2 0 B 2 2 则圆的方程是 A B 0424 22 yxyx0424 22 yxyx C D 22 4240 xyxy 0424 22 yxyx 4 三棱锥 D ABC 的三个侧面分别与底面全等 且 AB AC BC 2 则以 BC 为棱 以3 面 BCD 与 BCA 为面的二面角的大小为 A 300 B 450 C 600 D 900 5 下列各式中 对任何实数都成立的一个是x 2 A B C D 1 1 1 2 x xx2lg 1lg 2 1 2 xx2 2 1 x x 6 等差数列中 那么的值是 n a120 10 S 29 aa A 12 B 24 C 16 D 48 7 下列命题中 正确的是 A 平行于同一平面的两条直线平行 B 与同一平面成等角的两条直线平行 C 与同一半平面成相等二面角的两个半平面平行 D 若平行平面与同一平面相交 则交线平行 8 二项式的展开式的常数项是 6 1 3 x x A 20 B C 540 D 20 540 9 电灯泡使用时数在 1000 小时以上的概率为 0 8 则 3 个灯泡在使用 1000 小时内恰好坏了一个的概 率为 A 0 384 B C 0 128 D 0 104 1 3 10 已知目标函数z 2x y 且变量x y满足下列条件 则 43 3525 1 xy xy x A z最大值 12 z无最小值 B z最小值 3 z无最大值 C z最大值 12 z最小值 3 D z最小值 z无最大值 2 6 5 11 探索以下规律 则根据规律 从 2002 到 2004 箭头的方向依次是 A B C D 12 已知点M 3 0 N 3 0 B 1 0 圆C与直线MN切于点B 过M N与 圆C相切的两直线相交于点P 则P点的轨迹方程为 A B 2 2 1 1 8 y xx x y x C x 0 D 1 8 2 2 y x 2 2 1 1 10 y xx 2004 年广州市高三教学质量抽测 数学 12 5 6 7 910 11 03 48 3 第 卷 非选择题共 90 分 注意事项 第 卷共 4 页 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 由数字 0 1 2 3 4 组成无重复数字的 5 位数 其中奇数有个 14 一个正四棱锥的底面边长为 2 侧棱长为 五个顶点都在同一个球面上 则此球的表面积3 为 15 曲线上与直线 2x y 4 0 平行的切线的纵截距是 xy5 16 设函数 给出以下四个论断 212 0 sin xxf 的周期为 在区间 0 上是增函数 f x f x 6 的图象关于点 0 对称 的图象关于直线对称 f x 3 f x 12 x 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 只需将命题的序号填在横线上 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题 12 分 已知 1 a b 2 I 若 求 a b a b i II 若 的夹角为 135 求 a b a b 18 本小题 12 分 袋中装有 3 个白球和 4 个黑球 现从袋中任取 3 个球 设 为所取出的 3 个球中白球的个数 I 求 的概率分布 II 求E 19 本小题 12 分 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 M N分别为AA1 BB1的中点 求 I CM与D1N所成角的余弦值 II 异面直线CM与D1N的距离 题号 二 三总分 171819202122 分数 4 20 本小题 12 分 如图所示 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN 要求B在AM上 D在AN上 且对角线MN过C点 AB 3 米 AD 2 米 I 要使矩形AMPN的面积大于 32 平方米 则AN的长应在什么范围内 II 若AN的长度不少于 6 米 则当AM AN的长度是多少时 矩形AMPN的面积最 小 并求出最小面积 21 本小题 12 分 如图所示 已知A B C是长轴长为 4 的椭圆上的三点 点A是长轴的一个端点 BC过椭圆中心O 且 BC 2 AC 0AC BC i I 建立适当的坐标系 求椭圆方程 A B C D M NP 5 II 如果椭圆上有两点P Q 使 PCQ的平分线垂直于AO 证明 存在实数 使 PQAB 22 本小题 14 分 已知数列 an 是首项为 3 公比为的等比数列 Sn是其前 n 项和 2 1 试用Sn表示Sn 1 是否存在自然数 c k 使得 3 成立 证明你的论断 1k k Sc Sc 2004 年广州市高三教学质量抽测数学 参考答案及评分标准 一 CDADABDDABCB 6 二 13 36 14 9 15 16 或 25 8 三 17 解 I a b 若 共向 则 3 a b a b ia b 2 若 异向 则 6 a b a b ia b 2 II 的夹角为 135 cos135 1 8 a b a b ia b 2 2 2 2 2 1 2 2 1 11 a b a b a b a b i 12 1ab 18 解 I 的可能取值为 0 1 2 3 1 P 0 P 1 3 4 3 7 C C 4 35 12 34 3 7 C C C 18 35 P 2 P 3 5 21 34 3 7 C C C 12 35 30 34 3 7 C C C 1 35 的分布列为 II E 0 1 2 3 12 4 35 18 35 12 35 1 35 9 7 19 解 I 如图 以D为原点 DA DC DD1分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 1 则C 0 2 0 D1 0 0 2 M 2 0 1 N 2 2 1 2 2 1 2 2 1 CM 1 D M 3 设CM与D1N所成的角为 则 cos 0 1 1 CM2 2 2 2 1 1 3 3 CM D N D N iiii ii 1 9 为钝角 CM与D1N所成的角为 即 cos 1 9 解法解法 2 2 2 2 设CM与D1N所成的角为 则 cos 1 1 CM 2 2 2 2 1 1 3 3 CM D N D N iiii ii 1 9 6 II 取 DD1的中点 E 分别连接 EM EB 则 EM BC EB D1N B C E M 共面且 D1N 平面 BCEM D1到平面 BCEM 的距离 d 等于异面直线 CM 与 D1N 的距离 8 0123 P 4 35 18 35 12 35 1 35 z z z z y y y y 7 7 23 10 11111 DBCEMBAACDDBAM CDEB NA D VVVV 2 1 4 11 123 4 即SBCEM d 3 1 3 4 而 SBCEM BM BC 25 d 12 2 5 5 解法解法 2 2 2 2 设 的法向量为 x y z CM 1 D N n 则 220 220 xyz xyz 0 2 x zy 取 0 1 2 8 n 异面直线CM与D1N的距离d 12 1 22 5 5 5 DM n n i 20 解 设AN的长为x米 x 2 AM DN DC AN AM 3 2 x x SAMPN AN AM 3 2 3 2 x x I 由 SAMPN 32 得 32 2 3 2 x x x 2 即 3x 8 x 8 0 2 332640 xx 即AN长 的 取 值 范 围 是 8 28 3 xx 或 6 8 2 8 3 II 令 y 则 y 8 2 3 2 x x 2 22 6 2 334 2 2 x xxx x xx 当x 4 y 0 即函数 y 在 4 上单调递增 2 3 2 x x 函数 y 在 6 上也单调递增 10 2 3 2 x x 当 x 6 时 y 取得最小值即 SAMPN取得最小值 27 平方米 2 3 2 x x 此时 AN 6 米 AM 4 5 米 12 21 解 I 以 O 为原点 OA为 X 轴建立直角坐标系 设A 2 0 则椭圆方程为 22 2 1 4 xy b 2 O 为椭圆中心 由对称性知 OC OB A B C D M NP 8 又 AC BC0AC BC i 又 BC 2 AC OC AC AOC为等腰直角三角形 点C的坐标为 1 1 点B的坐标为 1 1 4 将C的坐标 1 1 代入椭圆方程得 2 4 3 b 则求得椭圆方程为 6 22 3 1 44 xy II 由于 PCQ的平分线垂直于 OA 即垂直于x轴 不妨设PC的斜率为k 则QC的斜率为 k 因此PC QC的直线方程分别为y k x 1 1 y k x 1 1 由得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0 8 22 1 1 3 1 44 yk x xy 点C 1 1 在椭圆上 x 1 是方程 的一个根 xP 1 即xP 2 2 361 31 kk k 2 2 361 31 kk k 同理xQ 9 2 2 361 31 kk k 直线PQ的斜率为 定值 2 2 2 2 31 2 2 1 31 12 3 31 PQPQ PQPQ k kk yyk xxk k k xxxx k 11 又 ACB的平分线也垂直于OA 直线PQ与AB的斜率相等 kAB 1 3 向量 即总存在实数 使成立 12 PQAB PQAB 22 解 I a1 3 q 2 1 Sn 6 1 Sn 1 6 1 2 1 2n 1 1 2n Sn 1 Sn 3 4 2 1 II 3 6 1k k Sc Sc 53 42 0 k k cS cS 而 Sk 6 1 6 Sk Sk 0 1 2k 5 42 3 即 Sk Sk 7 5 42 3 9 由 得 Sk c S