第五章 导数与微分.doc

第 五 章 导数与微分1 导数在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。一、实例1、变速运动物体的速度问题在中学里我们学过 平均速度 ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律。不过瞬时速度的概念并不神秘， 它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 ，则在 到 这段时间内的平均速度为 可以看出 与 越接近，平均速度 与 时刻的瞬时速度越接近，当 无限接近时，平均速度 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 时刻的瞬时速度， 即物体在 时刻的瞬时速度为 （1）按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为： ，按照上面的公式 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 2、切线问题 设曲线的方程为 ，为过曲线上两点 与 的割线，则的斜率为 如图 ，当点沿着曲线趋近 时，割线 就趋近于点处的切线，趋近于切线的斜率 ，因此切线的斜率应定义为 （2）上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 二、导数概念上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 （3）定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数， 等.若上述极限不存在，则称在点不可导。注：令，则（3）式可改写为 （4）所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率，它能够近似描绘函数在点附近的变化性态。三、例题例1 求函数 在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程。（1,1）解：由定义求得由此知道抛物线 在点（1，1）处的切线斜率为 所以切线方程为x0 即 .例2 求函数 在 处的导数解 根据导数的定义 例3 证明函数 在点 处不可导.证: 因为 极限 不存在，所以10在 处不可导.例4 证明 函数 在 处不可导证明 由于极限 ，不存在,所以在处不可导.例5 常量函数 在任何一点 的导数都等于零，即 接下来我们来了解一下函数在点0可导与函数在点0连续的关系，为此先介绍有限增量公式. 由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 我们称这个是式子为有限增量公式。注：此公式对= 0仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论： 定理1 若函数在处可导，则函数在 处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数 在 处连续，但不可导。例 证明函数 仅在点0 = 0处可导。其中 D（）为狄利克雷函数证：当x00时，由归结原理可得 在 处不连续，所以, 由定理5.1， 在 处不可导。当 时，由于 为有界函数, 因此得到 函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。定义2 设函数 在点的某右邻域 上有定义，若右极限 (0或 (存在，则称该极限值为 在点 0 的右导数，记作，类似地，可定义左导数右导数和左导数统称为单侧导数。例 讨论 在 处的左、右导数如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：定理2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充分必要条件是： 都存在，且 = 。说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。例 例 讨论函数 在 的导数。解 由定理2，连续函数不存在导数举例0例如函数 处是焦点，不可导函数 处振荡，左右导数都不存在。01二 导函数若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为I上的可导函数。此时对每一个I，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为在I上的导函数，也简称为导数，记作 等. 即 .说明：1区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。 2在物理学中导数y也常用牛顿记号y 表示，而记号 是莱布尼茨首先引用的。目前我们把 看作为一个整体，也可把它理解为 施加于y的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种表示导数的形式，例6 证明：(i) ;(ii) (iii) 三、导数的几何意义我们知道由导数的定义，所以曲线 在点的切线方程是 （7） 这就是说：函数在点x0 的导数 是曲线 在点 （x0，y0）处的切线斜率，若 表示这条切线与x 轴正向的夹角，则 =tan ，从而0 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；= 0表示切线与x 轴平行。例7 求曲线 y=x3 在点P（x0，y0）处的切线方程与法线方程。解：由于 =所以根据（7）式，曲线 在点P的切线方程为P切线法线由解析几何知道，若切线斜率为 ，则法线斜率为 ，从而过点P的法线方程为 因此曲线 过点P（）的法线方程为若，则法线方程为。5。3 隐函数与参数方程的导数平面曲线C一般的可表示为参变量方程形式： PQ设 对应曲线上的P点，如果P点由切线，那么切线斜率也可由割线斜率去极限得到割线 的斜率为 取极限得切线斜率 于是得到下面结论结论：设函数 可导且 ，则 证 （ 法一 ） 用定义证明.（法二 ） 由恒有或 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, 有反函数, 设反函数为 ), 有 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有例1 求 解 若曲线C 由极坐标 表示，则可转化为一极角 为参数的参量方程 （3）（3）式表示在曲线 上的点处切线MT与极轴OX轴的夹角的正切，如图所示。TOHT过点的射线与切线的交角的正切是 （4）将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切 (5)例2 证明：对数螺线 上所有点的切线与向径的夹角为一常量PMPxO证明 由（5），对每一个 都有即在对数螺线上任意一点的切线与向径的夹角等于 5。4 微分一. 微分概念:由导数定义 利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为即函数在 处的改变量可表示成两部分：的线性部分 与 的高阶无穷小部分 。当 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替 例 正方形面积的测问题。设正方形的实际边长为 ，由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误差为 ，试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大？即面积误差由两部分组成：第一部分 是 的线性部分;第二部分 是 的高阶无穷小，所以 2 微分定义Th ( 可微与可导的关系 ).由微分的定义 当 充分小时 即 这后一式中的近似号若换成等号就是过 点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以直代曲”。用这种方法近似计算时，要注意它的前提： 应充分小！这一点可以从图（d52）看得很清楚。微分的几何意义 MN）T P 例1 求 和 二. 微分运算法则: 法则14 只证2.一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例2 求 和 例3 求 和 三 微分的应用:1、 建立近似公式: 原理: 即特别当 时, 有近似公式 具体的近似公式如: 等.2. 作近似计算: 原理: 例 求 的近似 精确到万分之一等于sin(29*pi/180) ，ans = 0.4848 ，误差不超过 。提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么?例 求 和 的近似值. 3 估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： 例4 设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝误差不超过 . 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.2. 求速度: 原理: 在初等数学中“直”就是“直”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”之间架起了一个桥梁。但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一条割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量。恩格斯指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直”和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲”等同这一辨证思想的核心。莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.11716.11.4）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。55岁入来比锡大学学法律，20 岁获博士学位，以法律和国际政治为职业，作法律顾问。1672 年因外交事务到巴黎，接触了一些数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自学成才的。他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩。他一方面从事政治、外交活动，一方面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。被誉为德国的百科全书式天才。 5.5 高阶导数与高阶微分一. 高阶导数的概念我们知道，加速度 因此加速度函数是速度函数的导数，从而是路程函数的导数的导数，这就产生了高阶导数的概念。定义: 注意区分符号 和 二. 几个特殊函数的高阶导数:1 求幂函数 的各阶导数2. 正弦和余弦函数: 计算、 3 和的高阶导数：4 的高阶导数：5 多项式的高阶导数. 求 和 .6 的高阶导数：5 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 为例，求 .三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则123 乘积高阶导数的Leibniz公式：例1 设 求 利用萊布尼兹公式 ， 取 注意：利用萊布尼兹公式时要注意 与 的选取次序，否则会使计算复杂。例2 求 解 例3 求 解 例4 其中二阶可导. 求 例5 验证函数 满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即对上式两端求 阶导数, 利用L