模糊数学讲稿1.doc

一、模糊数学简介、教学安排、普通集合（一）简介1 发展历史美：65 L.A.zadeh 信息与控制（理论研究开始）英：74 马丹尼 蒸汽机控制，80年丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系统实现了对水泥窑炉的控制。88年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制。日：72 Sugeno F-measure语音控制模糊汽车（88），无人驾驶直升机（93）84 Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)85 IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代 王培庄，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE从1992年起，每年召开一次国际模糊学术会议。1995年IEEE给Zadeh授予了学会的荣誉勋章。2趋势（1）研究与应用人数逐年上升（2）应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C3I指定自动化系统等方面。*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄象机，（3）与其它学科结合越来越紧，如：模糊神经网络，模糊遗传算法（二）教学安排（课程内容）：1基本理论*普通集合 1*模糊集合 1*分解定理 1*隶书函数确定的若干方法 1*模糊关系 3*扩张原理与模糊数 12.应用*模糊模式识别 2*模糊聚类分析 2*模糊综合评判 2*模糊推理（逻辑） 2*模糊控制 33.复习总结 1说明：不要想着学完这门课程就能解决你的问题，应该仔细研究、明确你要解决的问题，再考虑如何解决。 本课程的目的：一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习打下基础（如果需要）；二是了解一些模糊数学的应用领域和应用方法。（三）普通集合1基本概念：只有描述性定义，是数学里最基本的概念记号X，Y，A，B.相等有限集合、无限集合幂集：P(X)=X的全体子集2 集合表示方法A= 模糊数学，计算方法，N=1,2,3,条件表示法运算并： 交：差：余(补)：对称差：4性质幂等律： ，交换律：，结合律：分配律：吸收律： ，两极律：复原律：补余律：对偶律：，可以推广到任意有限多个集合。集合族的并与交， 常见指标集： 定义： 称为集合族的并集。 称为集合族的交集。集合族的并与交满足分配律：例1 设，求集合族的并集和交集。解：，映射与特征函数（）映射：设是两个集合，如果有一个法则，使得对于中任意元素，都有中唯一元素与之对应，则称是到的映射。 以前见过映射吗？单射：满射：一对一映射：（）映射的性质：条，见页，自看，自证，会用。举几个映射例子.（）特征函数定义定义：设为论域，称映射为集合的特征函数。由唯一确定，也由唯一确定。这样就在和映射|X到，的映射之间建立了一一对应关系。以后经常使用特征函数代替集合，并用代替。（）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算其中为和分别为数族的上确界和下确界。的上确界就是最小上界，下确界就是最大下界，用数学式子如何描述？定义：是的上确界，如果满足定义：是的下确界，如果满足要求：会求上下确界（能看出来即可）例如：上下确界与取大取小有什么差别？例2证明以前怎么证明？即，。二、模糊集合0什么是模糊数学？（模糊数学研究什么？）（一个例子）研究模糊现象的数学就是模糊数学；涉及模糊概念的现象就是模糊现象；什么是模糊概念？概念：具有一定含义的一个词，词组等。如：人，头发，晴天，白色，马，球，衣服，研究生，学生，。概念的本质属性叫内涵，符合概念的全体对象叫概念的外延。普通概念的外延构成普通集合。如：教室里的男同学，河北人等等，这些概念的特点：任何一个对象要么符合这个概念，要么不符合这个概念。1模糊概念：外延不分明的概念，如：“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，“阴天”、“质量好”、“不稳定”，和普通集合的差别是什么？我们知道：给定论域，子集，或二者必居其一且仅居其一。例1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念论域T=30，45 36， 37， 385，39， 39.5 39.8，38.5度算不算发高烧？不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5对应0.5，即38.5属于发高烧的程度为0.5。2定义：设在论域X上给定一个映射称为上的模糊子集，称为隶属函数（或对于的隶属度）与普通集合对比就是将特征函数取值范围由（上的全体模糊集合）。例2 设为人的年龄，Zadeh给出“年老”，“年轻”两个模糊子集，隶属函为： ； 例3 考虑五个人构成的论域：， ， ， ， 体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“发高烧的人”= 3.模糊集合的表示法 zadeh表示法论域或或或写成： （无） 序偶表示法 模糊向量表示法中第个元素的隶属度作为模糊向量的第个分量。 解析表示法：为上某区间，给出表达式。为书写方便以后用代替。4关系与运算（对模糊集合是重新定义）5性质：除互补律（补余律）外均成立。例4考虑， ； ， 带来困难 更客观地反映了实际情况。6可数并、交例5 设，则 7广义运算在中，除外，还有广义并交运算（1） 定义 设的广义并、交运算记为：其隶属函数定义为：是上的二元运算符，称为算子。有多种定义，常用的有序号算子名称1查德2概率和与积3有界和与有界积4Einstein5Hamacher6Yager7最大、乘积如：, ， （2） 特性：（一定的合理性） 均化为 满足一些运算规律，如：交换、结合、两极、对偶律等。 满足一些合理性质，如：单调性等， （3） 满足几条性质的算子（三角模）定义：设映射，若，满足下面条件：交换律：结合律：单调性：，则边界条件：则称T为T三角模或T范数；如果映射满足上面、条和边界条件： 则称S为S三角模或S范数。T模和S模即可以用来定义模糊集合的并、交运算，也可以用于模糊推理。（4）选取算子思路（广义运算或模糊推理中的算子）数学上：满足一定条件，象上面讨论的交换律，单调性等，且当的值域为时，算子化为。实际背景：（专家系统、控制、模糊推理）。在模糊推理中：考虑：把有两根“不易断的绳子”合起来构成一根新绳子，那么这条新绳子属于不易断绳子的程度应为多少？连接方式？考虑诊断病情的情景：发烧感冒的可信度流鼻涕感冒可信度这两个症状都有，此时感冒的可信度应为多少？更复杂一点，发烧，流鼻涕也带有一定的真值程度，推理结果又如何？三、分解定理（一）模糊集合的-截集给定，是否属于，回答是不确定的，选定一个“门槛”-， （），以此作为判定元素是否属于的标准。1截集的定义定义1 设，记，分别称为的截集和强截集。例1 设表示现在教室里全体男同学构成的论域。表示“高个子”同学，隶属函数为：对=1，0.8，0.5，0，求。解：按截集定义： 定义2 设，记分别称，为的支集与的核。当时，称为正规模糊集。2性质（1）设，则 (1) (2)证 在上面 (1)、 (2)式中,并“”换成交“”，等式仍然成立；推广到有限个集合的并、交等式仍然成立。如：，对于无限个F集的并，交等式还成立吗？-（2）若，则：，证（仅证第二式）* 证明第一式，举例说明第四式等式不成立。例2设则：，但是，因此所以，*证明第一式，举例说明第四式等式不成立。（3）（4）设，。若，则证 （最后一式） （5）设，则证 （6），证： 注意：一般例3设，对时，求出解：，因此得又因为故所以（二）分解定理定义1设，定义，其隶属函数为：，称为与的数积。性质1若则性质2若则。定理1（分解定理1）设，则证 即推论 已知模糊集的所有截集，则，例4 设，且；求模糊集合。解 同理 ，因此定理2（分解定理2）设,则推论 定理3（分解定理）设，若存在集合值映射：使得 ，则： ； , 证所以 四、模糊集合的模糊度1定义1若映射满足条件：；，；，； 则称映射为上的一个模糊度，称为集的模糊度。2常用的模糊度