构造法在数学解题中的方法与技巧.pdf

广西民族学院学报 自然科学版 第 7卷第 4 期 JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIESVol 7 No 4 2001年 11 月 Natural Science Edition Nov 2001 文章编号 1007 0311 2001 04 0303 04 构造法在数学解题中的方法与技巧 黄飞燕 广西航运学校 广西 南宁 530007 摘 要 结合教学实践及解题研究理论 详细分析了在数学解题中运用构造法解题的方法与技巧 在数 学教学中具有一定的实践作用与指导意义 关键词 构造法 解题研究 方法 技巧 中图分类号 G424 1 O143 文献标识码 A 学习数学必须善于寻求解题方法 解题意味着什 么呢 在于发现一条摆脱疑难 绕过障碍的途径 实现 从已知到未知的转化过程 在解题过程中 由于某种 需要 要把题设条件中的关系构造出来 要么将关系 设想在某个模型之上得到实现 要么将已知条件经过 适当的逻辑组合而构造出一种新的形式 从而使问题 获得解决 在这种思维过程中 对已有知识和方法采 取分解 组合 变换 类比 限定 推广等手段进行思维 的再创造 构成新的式子或图形来帮助解题的方法称 之为构造法 用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解所 给问题 A 而是构造一个与问题 A 有关的辅助问题 B 这里引出问题 B 并非为了它本身 而是通过它帮 助解决问题 A 如果问题 B 比问题A 更简单更直观 那么这种思考问题的方法就可能获得成功 例1 设 ABC的内切圆与外接圆半径分别为 r 与 R 它的最长的高为 h 那么 关系式 r R h 是 否恒成立 分析与解 这是一个存在性的探究题 在同一 个圆内作几个不同类型的内接三角形 见图 1 图 1 圆内接三角形图 由图形可知 尽管三角形的外接圆半径 R 保持 不变 它的高 h 却可变得很小 因此可判定r R h 不恒成立 于是 只须举出使 r R h 的反例即可 由图形可知 出现 r R h 的情况是钝角三角 形 为了构造方便 不妨考虑钝角等腰三角形 设腰 长为 a 底角为 则 h asin h 例2 设 K 2 求证存在唯一的一个整数K 303 收稿日期 2001 08 12 作者简介 黄飞燕 女 广西航运学校教师 使得代数式 4 K 2 x2 2 K 2 x 1的值恒为正 数 并求出这个整数 K 分析与解 构造二次函数 y 4 K 2 x2 2 K 2 x 1 这样 所求问题便转化为证明存在唯一的一个正数 K 使得函数的值恒大于零 这时只需 4 K2 0 4 K 2 2 4 4 K 2 0恒成立 只需 1 成立 可以推出 0 K 0 故二次函数 y 的判别式 0 5 构造图形法 若问题条件的数量关系有明显的几何意义或以 某种方式将问题转化为几何图形实现 借助几何图形 的性质的研究 从而获得问题的解决的方法称之为构 造图形法 例 8 已知 a1 b 2 b 1 a2 1 且 0 a 1 0 b 1 求证 a2 b2 1 分析 与解 由 a 2 1 a 2 2 1 b 2 1 b2 2 1 可在直径AC 为 1的圆中构造以 a 1 a2 1 b2 b 为四边的圆内接四边形 如图2 图 2 圆内接四边形图 然后根据托勒密定理 AD BC AB DC AC BD 易证得BD 1 所以 BD 也是圆的直径 因而有 a2 b2 1 6 构造数列法 在处理与自然数 n 有关的数学问题时 根据题目 提供的特征 通过代换构造出一个与欲解 证 问题 有关的数列 并对该数列的特性进行分析 由此探寻 出解题的途径 我们把这种方法称为构造数列法 例 9 已知 x k k z 求证 1 2 tg x 2 1 22 tg x 22 1 2ntg x 2n 1 2n ctg x 2n ctgx 分析与解 构造数列 ak 1 2k tg x 2k sk 1 2 kctg x 2 k ctgx k 1 2 n 即有 a1 1 2 tg x 2 s1 1 2 ctg x 2 ctgx 1 2 tg x 2 1 tg 2x 2 2tg x 2 1 2 tg x 2 a1 s1 又 305 2001年第 4期 黄飞燕 构造法在数学解题中的方法与技巧 sk sk 1 1 2k ctg x 2k 1 2k 1 ctg x 2k 1 1 2k 1 1 2 tg x 2 k 1 tg 2x 2k 2tg x 2k 1 2ktg x 2k ak k 2 故 n i 1 ai s1 s2 s1 sn sn 1 sn 即待证命题成立 7 构造复数法 例10 在锐角 ABC 中 求证tg2A tg2B tg2B tg2C tg2C tg2A 3 6 分析与解 构造复数 Z1 tgA itgB Z2 tgB itgC Z3 tgC itgA 则有 Z1 Z2 Z3 tgA tgB tgC 1 i Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 tgA tgB tgC 2 而在锐角 ABC 中 tgA tgB tgC 3 3 Z1 Z2 Z3 3 6 即命题得证 8 构造坐标点法 有些不是解析几何的问题 我们可以通过构造坐 标点 借助于解析几何中的一些重要公式或性质 得 到方便的解决 例11 已知正数 a b 满足a b 1 求证 a 2 2 b 2 2 25 2 分析与解 构造坐标点 P 2 2 Q a b 则不等式的左边就是 PQ 2 又因为 Q a b 是直线 x y 1被两坐标轴截得的线段 AB 上的点 且 AB 的中点 C 到P 点的距离 PC 25 2 又 PC 是 等腰 PAB 底边AB 上的高 则有 PQ PC 即 命题得证 图 3 PAB 的构造图 以上是作者对构造法解题的八个方面的应用举 例 在解题中 若能根据原题的已知条件 选择相应的 构造法 便可使问题变得直观化 形象化 从而得到较 为新颖而简洁的解题途径 起到事半功倍的效果 参 考 文 献 1 李成章 精心联想 巧妙构造 J 中学数学 1990 5 35 37 2 朱定符 左昌华 构造法证明存在性命题 J 中学数学研究 1995 2 24 25 3 杜文勇 构造函数证明某些与自然数 n 有关的代数恒等式 J 数 学通讯 1990 8 17 4 高桐乐 数学解题中的基本模型构造 J 数学通讯 1989 11 7 5 刘桦 构造数列法解题初探 J 数学通讯 1990 4 13 16 责任编辑 黄祖宾 责任校对 郑义友 The Method and Technique of Composition Methodology in Maths HUANG Fei yan Guangxi Shipping Technology School Nanning 530007 China Abstract This article deals with the composition methodology in maths in combination wit