空间向量基本定理(上课用).ppt

3 1 2空间向量基本定理 回顾复习 2 共线向量定理 中点公式 若P为AB中点 则 3 A B P三点共线的充要条件 A B P三点共线 平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 使 思考1 空间任意向量与两个不共线的向量共面时 它们之间存在怎样的关系呢 二 共面向量 2 共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量 思考 空间任意两个向量是否一定共面 空间任意三个向量呢 1 已知平面 与向量 如果向量所在的直线OA平行于平面 或向量在平面 内 那么我们就说向量平行于平面 记作 一定 不一定 三个向量共面 又称三个向量线性相关 反之 如果三个向量不共面 则称这三个向量线性无关 说明 若证明一条直线a与一个平面 平行 1 说明这条直线在平面外 2 直线上的一个向量可以分解为这个平面内不平行的两个向量的分解式 练习 如图 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直 点M N分别在对角线BD AE上 且 求证 MN 平面CDE 证明 由于MN不在平面CDE中 所以MN 平面CDE 思考2 有平面ABC 若P点在此面内 须满足什么条件 可证明或判断四点共面 2 对空间任一点O 有 3 能转化为都以O为起点的向量吗 2 已知点M在平面ABC内 并且对空间任意一点O 则x的值为 D 3 已知A B C三点不共线 对平面外一点O 在下列条件下 点P是否与A B C共面 平面向量基本定理 这表明 平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示 在空间向量中 我们还可以作怎样的推广呢 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理呢 问题情境 猜想 注 空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底 如 其中叫做基向量 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在唯一有序实数组 x y z 使得 O A P A C B B P 证明 1 先证存在性 过点P作直线PP OC 交平面OAB于点P 在平面OAB内 过点P 作直线P A OB P B OA 分别交直线OA OB于点A B 空间向量基本定理 又称空间向量分解定理 存在实数则 x y z 使 2 再证惟一性 用反证法 2 假设存在实数组 使 所以 即 因 所以有序实数组 x y z 惟一 说明 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量 零向量与任意非零向量共线 与任意两个非零向量共面 一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 数学运用 练习 共线 共面 例2 已知空间四边形OABC 对角线OB AC M和N分别是OA BC的中点 点G在MN上 且使MG 2GN 试用基底表示向量 解 在 OMG中 例3 已知平行六面体OABC O A B C 且 用表示如下向量 1 2 点G是侧面BB C C的中心 G 2 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 C 小结 3 空间向量基本定理及推论 1 注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理 即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和 2 介绍了空间向量基本定理的应用 选定空间不共面的三个向量作为基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量法解立体几何问题的一项基本功 1 共线向量定理 2 共面向量定理 4 共线