2014初中数学青年教师解题大赛试题参考答案.doc

2014年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题 参考答案（2014年12月4日下午1:304:00）一、选择题（每题6分，共36分）姓名姓1. 已知，则的值为（C ）A. B. C. D.2. 已知满足，则的值为（ D ） A. 4 B.6 C.8 D.4或83小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的 （ B ）. A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍学校学4. 方程的解的个数是4，则的取值范围为（ B ）A. B. C. D.5. 平面上动点满足，,则一定有（ B ） 6. 函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程mf(x)2+n f(x)+g=0的解集不可能是( D )A. 1,3 B. 2,4 C. 1,2,3,4 D. 1,2,4,8二、填空题（每题8分，共32分）7. 设集合+b1ab2中的最大元素与最小元素分别为M、m,则M-m的值为5-23 。县市8. 化简：=n2+3n/4(n+1)(n+2) 。9. 在中，, 则的面积的最大值为 16/3 .10. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 434/10000 .三、解答题（共82分）11.（本题12分）如图，点是正方形边上一点（不与点重合），连接并将线段绕点顺时针方向旋转90得到线段，交边于点，连接（1）求证：；（2）求的度数；（3）当的值等于多少时，？并说明理由 证明: (1)在正方形ABCD中，A=90，ADP+APD=90 DPE=90 EPB+APD=90 ； (2)作EGAB交AB的延长线于G, PGE=A=90 又，DP=PE ADPPGE AD=PG=AB,AP=GE AB-PB=PG-PB 即AP=BG BG=GE EBG=BEG=45 CBE=45 (3) 当的值等于1/2时， 证明 ：A=PBF=90、 ADPBPF DP/PF=AP/BF 当的值等于1/2时，AP=PB DP/PF=PB/BF DP/PB=PF/BF DPE=PBF=90 12.（本题15分）请用一个长方形纸片折出一个30的角（不借助任何工具）写出你的作法，并说明理由.作法： 如图，将长方形纸片ABCD沿着一组对边中点对折得折痕EF 再将A沿着过点B的直线折叠使点A落在折痕EF上的点A处得折痕BG,则ABG=GBA=ABC=30证明 ： 延长GA交BC于H, 由作图知： ADEFBC AE=EB BAG= =90=BAH AG=AH 又BA=BA ADPPGE GBA=HBA 由折纸知ABG=GBA，ABC =90 ABG=GBA=ABC=3013.（本题共20分）凸四边形ABCD内接于O，其中AC为O直径，AB=BC，已知BD=10.求：四边形ABCD的面积.E解：方法1 记AC和BD的交点为E,AC为O直径 ABC=ADC=90 AB=BC BAC=ACB=DAC=BDC= 45又ABE=DBA CDB=CADBAEBDA ADEBDC AB/BD=BE/AB AD/BD=DE/DC AB2=BDBE ADDC=BDDEAB2+ ADDC= BDBE+ BDDE=BD(BE+DE)=BD2=102=100S四边形ABCD=SABC+ SADC=1/2ABBC+1/2 ADDC=1/2(AB2+ ADDC)=50方法2： 设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=2R 运用托勒密定理可得ABCD+BCAD=ACBD即2RCD+2RAD=2R10从而得AD+CD=102S四边形ABCD=SBAD+ SBCD=1/2BDADSin45+1/2BDCDSin45 =1/2BDSin45(AD+CD) =1/2102/2102=50方法3： 可分别过点A、C作BD上的垂线段AE、CF用ABEBCF可以得到AE+CF=BD=10方法4：过点A作BD的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10 S四边形ABCD=1/2BDAF=50方法5： 在4得到 AD+CD=102后，将他平方得 AD2+CD2+2ADCD=200 由勾股定理 AD2+CD2=AC2=2AB2 2AB2+2ADCD=200S四边形ABCD=SABC+ SADC=1/2(AB2+ ADDC)=5014.（本题20分）如图，抛物线y=ax2+bx -1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.（2）如图1，当点P的横坐标为 时，求证：OBDABC.（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求POD的面积.（4）当以点、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标.x PABCOPx yx yABCODE图1 图2 备用图yABCODE解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为y=1/2x2-1/2x -1 直线BC的表达式为y=1/2x -1 证明：（2）点P的横坐标为 ，即x= 时yP=-10/9 yD=-2/3 ED= yD-yP=2/3=OE EOD=EDO= 45 又OA=OC=1 OAC=OCA= 45 OAC=EOD 又OBD=ABC OBDABC.（3） OE=2PE OE=x PE=-y=-1/2x2+1/2x +1)2(-1/2x2+1/2x +1)= x解得x1=-2(舍去) x2=2 即OE= 2 PE=2/2， DE=yD=2/2-1 PD=PE-DE=1 sPOD=1/2PDOE=2/2 (4) 点P的坐标为：（25/5， 3/5-5/5）或（-25/5，-3/5+5/5）.或（4/5，-37/25） 或（1，-1）15.（本题15分）证明：不存在整数使得成立。证明：假设存在整数使得成立， 则关于x得一元二次方程x2+3xy-(2y2+122)=0在y是整数时有整数解， 于是=（3y）2+4 (2y2+122)=17y2+488是完全平方数， 设m2=17y2+488=17(y2+28)+12 m2-12=17(y2+28) 故m2-12能被17整除， 显然，整数m不能被17整除， 再设整数m=17n+p,其中n为任意整数，|P|=1、2、3、8m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12其中17（17n2+2nP）能被17整除而当|P|=1、2、3、8时，p2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52都不能被17整除，所以m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12一定不能被17整除，这就与前面所说m2-12能被17整除相矛盾，所以假设“存在整数使得成立”是错误的；所以不存在整数使得成立。初中组13题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明E方法1:用相似三角形 记AB、PC得交点为E 设正三角形边长为a，易证：PAEPCB ACEPCAPAPB=PEPC AC2=CEPCPAPB+ AC2 = PEPC+ CEPC=PC(PE+CE)=PC2PC2- PAPB=AC2=a2=3R2 即PC2-PAPB为定值3R2 方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：PCAB=APBC+BPAC即aPC=aAP+aBP 所以PC=PA+PB 所以PC2-PAPB=(PA+PB)2- PAPB= PA2+PB2+PAPB=a2=3R2即PC2-PAPB为定值3R2方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明 ：设正三角形边长为a,在APC 、BPC 、APB中， APC=BPC=60 BPA=120 根据余弦定理得 ：a2=PA2+PC2-2PAPCCOS60= PA2+PC2-PAPC (1) a2=PB2+PC2-2PBPCCOS60= PB2+PC2-PBPC (2) a2=PA2+PB2-2PAPBCOS120= PA2+PB2+PAPB (3) 由（1）-（2）