一道课本例题所联想的.doc

一道课本例题所联想的多角度探究思路及变式训练东莞市 郭贵锋【摘要】本文围绕着新课程理念，从分析课本例题入手，以问题为载体，开展多角度探究，剖析解题思路，渗透数学思想方法，并进行变式训练，培养学生的解题能力和求异思维，从而促进“学生全面、持续、和谐的发展”。【关键字】探究 ；新课程 ；多角度 ；变式张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考。”数学源于问题，问题是思维的起点。在课堂教学中，以学生合作讨论交流为前提，以教材为基础，以问题为载体，在教师的启发指引下，学生通过观察、猜测、推理、验证、交流等有效的数学活动，积极发挥自主能动性，经历数学知识的形成与应用过程，掌握方法，培养能力，达到举一反三，触类旁通的目的。1.题目引入：在本学期期末复习时，准备以课本例习题展开，其中以圆中的计算为考点引用九年级上册课本例题题目（20102011学年东莞市期末考试试题）:如图1，BC为O的直径，AB=6cm，AC=8cm，CAB的平分线AD交O于D，连结CD、BD，求BC、BD的长？分析 本题的考查知识点有：O中直径所对的圆周角是；勾股定理的计算；角平分线定义；等圆周角对等弧对等弦；学生通过以往的学习和习题的变式练习基本可解决。学生在做完此题后，觉得解题思路比较直接，计算量也不大。此时老师提出：我们还有哪条边不知道呢？生答：AD边！师问：如何求AD的长？请大家一起想一想，看谁能更快更简捷地解决！2.解法展示：在大家的集思广益下，呈现出此题解法的多样性和蕴涵的数学思想。解法一：如图2，过点B作BEAD于E,BC为O的直径，,CAB的平分线AD交O于D，,同理可得，(第一小组有部分同学提出：如图3，过点C作CGAD于G,以同样的解法也可求得,效果异曲同工。)思路入题分析：观察到图中有角，可通过作高构造两个直角三角形，其中有等腰直角三角形的特殊性质，可利用勾股定理或解直角三角形来解答,此题解法蕴涵了转化思想。解法二：如图4，过点C作CGAD于G,，DGCBAC思路入题分析：通过作高构造等腰三角形的同时，利用相似三角形得出对应边成比例从而解答，此题解法蕴涵了转化思想。解法三：如图5，在AC边上截取AE=AB，易证明ADEADB (SAS),可得:AE=AB=6,DE=BD=CD=,过点D作DFAC于F,由等腰三角形三线合一性质可得EF=CF=1,则AF=7, 解法四：如图6，在AB边的延长线上截取AE=AC，易证明ADEADC (SAS),可得:AE=AC=8,DE=BD=CD=,过点D作DFAE于F,由等腰三角形三线合一性质可得EF=BF=2,则AF=7, 思路入题分析：由于有角平分线这一条件，通过作辅助线构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，再用解直角三角形解答，解法三蕴涵了分割思想，解法四蕴涵了补全思想。解法五：如图7，过点D作DFAE于F, 过点D作DGAC于G,由AD平分BAC得DG=DB,易证四边形AGDF是正方形和RTCDGRTEDF (HL)得出CG=EF，由AG=AF解得CG=EF=1, 则AF=7,思路入题分析：由于有角平分线这一条件和角，两者结合从而构造得正方形，利用全等三角形解答，解法五蕴涵了特殊化思想。解法六：如图8，利用图形旋转把ACD绕点D旋转后得到BDE,ACDBDE得ACDBDE，由于ACD+ABD，故BDE+ABD，A、B、E三点线，AE=AB+BE=AE+AC=6+8=14, 思路入题分析：利用图形变换，得到全等三角形推出对应边、角相等，再转化为解直角三角形问题，解法六蕴涵了变换思想。3.题目变式：皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构的过程。新课标强调要培养学生的自主探究能力，能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识和应变技巧。变式教学以现代理论为指导，以注重知识建构、提高变式能力，优化思维品质、培养创新精神为基本要求。因此，教师应遵行主体参与、探索创新等教学原则，深入研究教材中蕴涵的变式创新因素，通过学生积极自觉的认知结构，来激活、改变学生的原有的认知结构，从而培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。3.1基础变式变式1、（延伸结论）(1)如图9，图中有哪些对相似三角形？试写出其中一对，并给予证明。(2)试求四边形ABDC的面积。变式2、（变条件1）如图10，把“CAB的平分线AD”改变为“ABC的高AD交直径BC于E”，试探究四边形ABDC是什么图形？并说明理由。变式3、（变条件2）如图11，把“CAB的平分线AD”改变为“ABC的的中线AD交O于D”，试探究四边形ABDC是什么图形？并说明理由。变式4、（变条件3）如图12，把“BC是O的直径”改变为“BC是O的弦”，求证：（1）ACEADB;(2)（3）图中共有哪些对相似三角形？请一一写出，并把其中一对给予证明。评析 变式1在原题的基础上探究新问题新结论，第（1）问是开放题，答案不唯一，第（2）问是转化思想的体现，把四边形ABDC的面积看成ABC和DBC面积的和；变式2、3在把条件“CAB的平分线AD”分别变更为“高、中线”后，探究新图形分别为筝形、矩形。变式4在把条件“BC是O的直径”改变为“BC是O的弦”后，它将探索和证明结合于一体，通过设计问题串，引导学生步步深入、层层递进，使题目具有较好的层次性，使不同思维层次的学生都能够得到充分的展示。32拓展变式变式5、（增加条件）在图12的条件上增加“过点D作O的切线FG，分别与AC、AB延长线交于点F、G”(如图13) ，求证：（1）CBFG;(2)变式6、（增加条件）在图12的条件上增加“过点C作O的切线CG，分别与BD、AD延长线交于点F、G”， (如图1) ， 求证：（1）;(2)变式7、（增加条件）在图12的条件上增加“点F是O内心” (如图1) ，求证：（1）DF=DC=DB;(2);（）若DF=4,AD=8,求DE的长.变式8、（变条件）如图1，把“BC是O的直径”改变为“BC是O的切线” (如图16)，增加“AD是O的直径”， DAB的平分线AC,（1）求证： （可把此题的条件和结论互逆进行练习）() 若CE=6，ED：EA=1：3，求O的半径.评析 变式5、6在原题的基础上增加条件探究变化图形下的新结论，将证明与探索结论进行到底，变式5、6的切线位置不同，都是利用弦切角的性质得出相似三角形，重点考查学生的合情推理能力，在课堂教学上可适当增加这方面内容，对圆中相似证明有快捷效果；变式7在增加“点F是O内心”条件，第(1)问利用内心性质和等弧等圆周角,第(2)(3)问仍然是相似证明、计算;变式是常见的条件和结论互逆训练，有助于锻炼学生的逻辑思维、优化思维品质、培养创新精神。33综合变式变式、（综合变式）把图和图结合在一起成为图17，如图17，CAB的平分线AD交O于D，点F是O内心，切线DH切O的D，求证：（）CBDH;(2)DF=CD=BD(3) 若DF=4,AD=8,求DE的长.变式10、（设置背景）如图18，在原题“BC为O的直径，AB=6cm，AC=8cm，CAB的平分线AD交O于D，连结CD、BD，”的基础上增加“平面直角坐标系”这一条件，求直线AD的函数关系式？变式11、（综合变式）如图19己知：ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC干点F，交O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD（1）求证：DAC=DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若O的半径为5，AF=，求tanABF的值评析 变式在拓展的基础上探究组合图形下的新结论，将证明与计算相结合，利用相似模型演译，重点考查学生的综合推理能力，启发学生思维的独创性、广阔性和深刻性。变式10在原题基础上设置坐标背景，将函数和圆有机组合一起，题目起点不高，但能切实反映知识间的串联关系，让学生提升综合解题能力。变式11设置问题由易到难,题目综合性较强, 透过现象看本质,有利于培养学生的思维迁移能力,增强化生为熟、化繁为简的转化意识.总结本节课的活动的模式是：回顾教材上原问题对原问题延伸生成新问题探究新问题。在学生提出问题和分析探究解决问题的过程中，教师能与学生一起积极讨论、交流，发现并注意收集学生在探究过程中出现的对问题认识的疑点、对问题分析中出现的困惑以及解决问题思路的亮点，并对每种解法给予点评小结，让学生通过解题练习揭示解题的思路和总结解题的规律，以拓展学生思维的深度和广度，培养学生严谨的逻辑思维和发散思维。.反思与收获：.1从选题上要体现探究性和思考性、针对性，要体现常规的解题思路和分析方法，能引导学生积极参与解题和热烈讨论，使得学生在质疑、推理、探究过程中提高分析问题、解决问题的能力。.2题目应有思维的创新性和延续性，对学生今后的学习和解题有实质性的帮助，而题目本身应是反映学生思维的不足和缺乏，能有效锻炼学生的思维，并涵盖一定的知识考点，来源于教材又超越教材，形式要活，内容要新，能改变学生单一化的解题思路。.3教学过程中要敢于放手，让学生成为课堂的主人，提倡“广开言路”，培养学生多说、多动手，多动脑，多交流，让课堂成为师生互动、生生互动的大舞台，让学生揭示思考方法、思维过程，使学生能更好理解问题的实质性，使探究活动更有时效性。.4教师要在每个教学环节中细心观察、引导学生进入思考探究活动中，避免无用功和低效的现象发生，在学生进入困惑时要舍得花时间讲解讲透，不要为了赶时间而失去了宝贵的训练机会。.5老师要引导学生及时归纳总结解题思路和解题规律，通过不断的训练提高思维能力，从而达到举一反三，触类旁通的目的。.结束语就题讲题，教学枯燥，创新处理，师生活跃。法国数学家笛卡儿说过“我所解决的每一个问题都成为一个模式，以用于解决其他相关的问题。”课本上例题、习题的权威性和示范性无疑是创新变式的源泉，有必要进行反思和深层次