广东省广州市2015年高考数学一模试卷(理科)【解析版】.doc

广东省广州市2015年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）2（5分）已知向量=（3，4），若|=5，则实数的值为（）AB1CD13（5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A91，91.5B91，92C91.5，91.5D91.5，924（5分）直线x+ay+1=0与圆x2+（y1）2=4的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定5（5分）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（，1）D（，1）6（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD7（5分）已知a为实数，则|a|1是关于x的绝对值不等式|x|+|x1|a有解的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：CR满足：对任意z1，z2C，以及任意R，都有f（z1+（1）z2）=f（z1）+（1）f（z2），则称映射f具有性质P给出如下映射：f1：CR，f1（z）=xy，z=x+yi（x，yR）；f2：CR，f2（z）=x2y，z=x+yi（x，yR）；f3：CR，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，yR）；其中，具有性质P的映射的序号为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）已知tan=2，则tan2的值为10（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y=xex在点（1，e）处的切线斜率为11（5分）已知随机变量x服从正态分布N（2，1）若P（1x3）=0.6826，则P（x3）等于12（5分）已知，幂函数f（x）=x（mZ）为偶函数，且在（0，+）上是增函数，则f（2）的值为13（5分）已知n，kN*，且kn，kC=nC，则可推出C+2C+3C+kC+nC=n（C+C+C+C）=n2n1由此，可推出C+22C+32C+k2C+n2C=三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（为参数）和（t为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为四、（几何证明选讲选做题）15如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE=2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为五、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+）的值17（12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为，每个球被取到的机会均等现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为x（1）求袋子中白球的个数；（2）求x的分布列和数学期望18（14分）如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，DAB=60，点E，F分别是边CD，CB的中点，EFAC=O，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥PABFED，且PB=（1）求证：BD平面POA；（2）求二面角BAPO的正切值19（14分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数k，使ak，S2k1，a4k成等比数列？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由20（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2：y2=1的顶点，直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点，且点A的坐标为（，1），点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，点Q满足=0，=0，且A，B，Q三点不共线（1）求椭圆C1的方程（2）求点Q的轨迹方程（3）求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标21（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）+x2x（a0）（1）若f（x）0对x（0，+）都成立，求a的取值范围；（2）已知e为自然对数的底数，证明：nN*，（1+）（1+）（1+）e广东省广州市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据元素之间的关系进行求解即可解答：解：M=3，4，5，N=1，2，5，MN=5，（UM）N=1，2，M（UN）=3，4，（UM）（UN）=，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知向量=（3，4），若|=5，则实数的值为（）AB1CD1考点：向量的模 专题：平面向量及应用分析：由|=5直接计算即可解答：解：=（3，4），=（3，4），|=5，解得|=1，从而=1，故选：D点评：本题考查向量的长度的计算，属基础题3（5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A91，91.5B91，92C91.5，91.5D91.5，92考点：茎叶图 专题：计算题；概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可解答：解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5故选：C点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目4（5分）直线x+ay+1=0与圆x2+（y1）2=4的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：求出直线系恒过的定点与圆的位置关系，判断即可解答：解：直线x+ay+1=0恒过（1，0），圆x2+（y1）2=4的圆心（0，1），半径为2因为（1）2+（01）2=24点（1，0）在圆的内部，所以直线与圆相交故选：A点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力5（5分）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（，1）D（，1）考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m的取值范围即可解答：解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，解得，A（1，3）；故m1；故选B点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题6（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案解答：解：锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题7（5分）已知a为实数，则|a|1是关于x的绝对值不等式|x|+|x1|a有解的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：解不等式和不等式的几何意义可得各自对应的a的集合，由集合的包含关系可判解答：解：由|a|1可得a1或a1，又关于x的绝对值不等式|x|+|x1|a有解，a|x|+|x1|的最小值，又|x|+|x1|表示数轴上的点到0和1的距离之和，|x|+|x1|的最小值为1，即a1，a|a1是集合a|a1或a1的真子集，|a|1是关于x的绝对值不等式|x|+|x1|a有解的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查充要条件的判定，涉及绝对值不等式的恒成立问题，属基础题8（5分）已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：CR满足：对任意z1，z2C，以及任意R，都有f（z1+（1）z2）=f（z1）+（1）f（z2），则称映射f具有性质P给出如下映射：f1：CR，f1（z）=xy，z=x+yi（x，yR）；f2：CR，f2（z）=x2y，z=x+yi（x，yR）；f3：CR，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，yR）；其中，具有性质P的映射的序号为（）ABCD考点：映射 专题：新定义；函数的性质及应用分析：求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（z1+（1）z2）、f（z1）+（1）f（z2）的值，判断哪个函数具有f（z1+（1）z2）=f（z1）+（1）f（z2）解答：解：设 z1=（x1，y1），z2=（x2，y2），则 z1+（1） z2=（x1+（1）x2，y1+（1）y2），对于，fa+（1）z2=x1+（1）x2+y1+（1）y2+1=（x1+y1）+（1）（x2+y2）+1而f（ a）+（1）f（z2）=（x1+y1+1）+（1）（x2+y2+1）（x1+y1）+（1）（x2+y2）+1，f1满足性质p；f2（a+（1z2）=x1+（1）x22+y1+（1）y2，f2（z1）+（1）f2（b）=（x12+y1）+（1）（x22+y2）f2（z1+（1z2）f2（z1）+（1）f2（z2），映射f2不具备性质P对于，对于，f a+（1）z2=x1+（1）x2y1（1）y2=（x1y1）+（1）（x2y2）而f（z1）+（1）f（z2）=（x1y1）+（1）（x2y2），f3满足性质P故选：B点评：本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）已知tan=2，则tan2的值为考点：二倍角的正切 专题：三角函数的求值分析：由条件利用二倍角的正切公式求得tan2的值解答：解：tan=2，tan2=，故答案为：点评：本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题10（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y=xex在点（1，e）处的切线斜率为2e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：依题意得y=ex+xex，因此曲线y=xex在x=1处的切线的斜率等于2e，故答案为：2e点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题11（5分）已知随机变量x服从正态分布N（2，1）若P（1x3）=0.6826，则P（x3）等于0.1587考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据题目中：“正态分布N（2，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P（1x3）=0.6826，可求P（x3）解答：解：已知随机变量服从正态分布N（2，1），如图P（1x3）=0.6826，P（x3）=（10.6826）=0.1587故答案为：0.1587点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题12（5分）已知，幂函数f（x）=x（mZ）为偶函数，且在（0，+）上是增函数，则f（2）的值为16考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：幂函数f（x）=x（mZ）为偶函数，且在（0，+）上是增函数，则指数是偶数且大于0，由于m22m+3=（m+1）2+44，即可得出解答：解：幂函数f（x）=x（mZ）为偶函数，且在（0，+）上是增函数，则指数是偶数且大于0，m22m+3=（m+1）2+44，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，m=1，f（x）=x4，f（2）=24=16点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）已知n，kN*，且kn，kC=nC，则可推出C+2C+3C+kC+nC=n（C+C+C+C）=n2n1由此，可推出C+22C+32C+k2C+n2C=n（n+1）2n2考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：由（1+x）n=+x+x2+xn，两边求导数，二次求导数，令x=1，即可得出正确的结果解答：解：（1+x）n=+x+x2+xn，两边求导数，得n（1+x）n1=+2x+3x2+nxn1，两边同乘以x，得nx（1+x）n1=x+2x2+3x3+nxn，两边再求导，得n（1+x）n1+n（n1）x（1+x）n2=+22x+32x2+n2xn1，令x=1，左边=n2n1+n（n1）2n2=n（n+1）2n2，右边=+22+32+n2；所以C+22C+32C+k2C+n2C=n（n+1）2n2故答案为：n（n+1）2n2点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用求导公式以及特殊值进行计算，是综合性题目三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（为参数）和（t为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：利用sin2+cos2=1，可把曲线C1的参数方程化为x2+y2=2，由C2（t为参数）化为x+y=2，联立解出交点坐标，化为极坐标即可解答：解：曲线C1的参数方程分别为（为参数），化为x2+y2=2，由C2（t为参数）化为x+y=2，联立，解得x=y=1，曲线C1与C2的交点为P（1，1），可得=，tan=1，可得故答案为：点评：本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、直角坐标化为极坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题四、（几何证明选讲选做题）15如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE=2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：利用切线的性质、角平分线的性质，证明ADE=DAE，可得AE=DE，再利用切割线定理，即可求出DE的长解答：解：AE是圆O的切线，EAC=B，又AD是BAC的平分线，BAD=DACADE=DAE，AE=DE，BC=2CE=2，AE是圆O的切线，AE2=CEBE=3，AE=故答案为：点评：本题考查切线的性质、角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，比较基础五、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+）的值考点：两角和与差的正弦函数；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值分析：（1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数的最值，求出x0的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可解答：解：（1）图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，2）A=2，=x0+x0=，即函数的周期T=，即T=，解得=2，即f（x）=2sin（2x+）（2）函数的最高点的坐标为（x0，2），2x0+=，即x0=，则sin（x0+）=sin（+）=sincos+cossin=（sin+cos）=（）=点评：本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键17（12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为，每个球被取到的机会均等现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为x（1）求袋子中白球的个数；（2）求x的分布列和数学期望考点：梅涅劳斯定理；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）设袋子中有n，（nN）个白球，求解n即可（2）由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球，X的可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可解答：（本小题满分12分）（1）解：设袋子中有n，（nN）个白球，依题意得，（1分）即，化简得，n2n6=0，（2分）解得，n=3或n=2（舍去）（3分）袋子中有3个白球（4分）（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球（5分）X的可能取值为0，1，2，3，（6分）P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=（10分）X的分布列为：X0123P（11分）EX=（12分）点评：本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识18（14分）如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，DAB=60，点E，F分别是边CD，CB的中点，EFAC=O，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥PABFED，且PB=（1）求证：BD平面POA；（2）求二面角BAPO的正切值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得BDEF，BDAC，从而EFAC，EFAO，EFPO，由此能证明BD平面POA（2）设AOBD=H，连结BO，则ABD是等边三角形，从而BD=4，BH=2，HA=2，HO=PO=，BO=，进而POBO，PO平面BFED，过H作HGAP，垂足为G，连结BG，BGH为二面角BAPO的平面角，由此能求出二面角BAPO的正切值解答：（1）证明：点E，F分别是边CD、CB的中点，BDEF，菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC，EFAC，EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPO=O，EF平面POA，BD平面POA（2）解：设AOBD=H，连结BO，DAB=60，ABD是等边三角形，BD=4，BH=2，HA=2，HO=PO=，在RtBHO中，BO=，在PBO中，BO2+PO2=10=PB2，POBO，POEF，EFBO=O，EF平面BFED，PO平面BFED，过H作HGAP，垂足为G，连结BG，由（1）知BH平面POA，且AP平面POA，BHAP，HGBH=H，HG平面BHG，BH平面BHG，AP平面BHG，BG平面BHG，BG平面BHG，APBG，BGH为二面角BAPO的平面角，在RtPOA中，AP=，在Rt中，POA=HGA=90，APO=HAG，POAHGA，HG=在RtBHG中，tan=二面角BAPO的正切值为点评：本题考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数k，使ak，S2k1，a4k成等比数列？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由考点：数列递推式；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）将n=1代入式子即可求解；（2）由an+1=2+1得，令n取n1代入上式可得，两个式子相减后进行化简，利用等差数列的定义判断，再由等差数列的通项公式求出an；（3）先假设存在正整数k满足条件，利用等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程，化简后求出k的值，再由k是正整数进行判断解答：解：（1）因为a1=1，an+1=2+1，所以a2=2+1=2+1=3；（2）由an+1=2+1得，所以当n2时，两个式子相减得，4an=（an+1+an2）（an+1an），化简得，（an+1an2）（an+1+an）=0，因为数列an的各项均为正数，所以an+1an2=0，即an+1an=2，所以数列an是以1为首项、2为公差的等差数列，则an=1+（n1）2=2n1；（3）假设存在正整数k使ak，S2k1，a4k成等比数列，则，所以=（2k1）（8k1），（2k1）3=8k1，化简得4k26k1=0，解得，因为k是正整数，所以不存在正整数k满足条件点评：本题考查等差数列的证明方法：定义法，等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式，以及数列的递推公式的化简及应用，考查化简、变形能力20（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2：y2=1的顶点，直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点，且点A的坐标为（，1），点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，点Q满足=0，=0，且A，B，Q三点不共线（1）求椭圆C1的方程（2）求点Q的轨迹方程（3）求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标考点：轨迹方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆C1的方程（2）设Q（x，y），P（x1，y1），由题意，B（，1），利用点Q满足=0，=0，结合点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，求点Q的轨迹方程（3）由于|AB|=2，故Q到AB的距离最大时，ABQ的面积最大，即可求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标解答：解：（1）双曲线C2：y2=1的顶点为F1（，0），F2（，0），椭圆C1的焦点为F1（，0），F2（，0），椭圆过A（，1），2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，b=，椭圆C1的方程为；（2）设Q（x，y），P（x1，y1）由题意，B（，1），=（x+，y1），=（x1+，y11），=（x，y+1），=（x1，y1+1），由=0，可得（x+）（x1+）=（y1）（y11），=0，可得（x）（x1）=（y+1）（y1+1），两式相乘，可得（x22）（x122）=（y21）（y121），点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，x12=42y12，2（x22）（y122）=（y21）（y121），y1210时，2x2+y2=5；y121=0时，则P（，1）或P（，1），Q（，1）或Q（，1），满足2x2+y2=5，P与A重合时，P（，1），y=x3代入2x2+y2=5可得