导数的概念与切线(概念和求切线以及练习).doc

一 一 求曲线在某个点处的切线求曲线在某个点处的切线 二 二 求曲线过某个点的切线求曲线过某个点的切线 例例 1 2009 全全国国卷卷 理理 曲曲线线 y x 2x 1在 在 点点 1 1 处处的的切切线线方方程程为为 1 2010 全全国国 卷卷 若若曲曲线线 y x2 ax b 在在 点点 0 b 处处的的切切线线方方程程是是 x y 1 0 则则 a b 2 2010 辽辽宁宁 已已知知点点P在在曲曲线线 y 4 ex 1上 上 为 为曲曲线线在在点点P处处的的切切线线的的倾倾斜斜角角 则则 的的 取取值值范范围围是是 例例 2 已已知知函函数数 f x x3 3x x R 的的图图像像为为 曲曲线线 C 曲曲线线 C 的的切切线线 l 经经过过点点 A 2 2 求求切切线线 l 的的方方程程 解解 设设切切点点为为 t t3 3t 切切线线 l 的的斜斜率率为为 k 3t2 3 切切线线方方程程为为 y t3 3t 3t2 3 x t 因因为为 l 过过点点 A 2 2 所所以以 2 t3 3t 3t2 3 2 t 即即 t3 3t2 4 0 解解得得 t 2 或或 t 1 当当 t 2 时时 l 9x y 16 0 当当 t 1 时时 l y 2 综综上上 切切线线 l 的的方方程程为为 y 2 或或 9x y 16 0 设切点 求出切线方程 依据题意 代人条件 代数求解 得到结论 三 三 不同曲线的相同切线问题不同曲线的相同切线问题 2010 湖湖北北 设设函函数数 f x 1 3x 3 a 2x 2 1 a R 若若过过点点 0 2 可可作作曲曲线线 y f x 的的三三条条不不同同切切线线 求求实实数数 a 的的取取值值范范围围 例例 3 2010 陕陕西西 已已知知函函数数 f x x g x alnx a R 若若曲曲线线 y f x 与与曲曲线线 y g x 相相交交 且且在在交交点点处处有有相相同同的的切切线线 求求 a 的的值值及及该该切切线线的的方方程程 设切点 求出切线方程 依据题意 代人条件 代数求解 得到结论 5 2009 江西卷 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则 a等于 解解 曲曲线线的的交交点点就就是是切切点点 因因为为 f x 1 2 x g x a x x 0 由由已已知知得得 x alnx 1 2 x a x 解解得得 a e 2 x e2 所所以以两两条条曲曲线线交交点点的的坐坐标标为为 e2 e 切切线线的的斜斜率率为为 k 1 2e 所所以以所所求求切切线线的的方方程程为为x 2ey e2 0 教材回归二 1 函数的平均变化率 一般地 函数在区间上的平均变化率为 xf 21 x x 2 函数在处的导数 xf 0 xx 1 定义 设函数在区间上有定义 若无限趋于 0 时 比值 xfy ba 0 bax x x y 无限趋于一个常数 A 则称在 处可导 并称该常数 A 为函数 xf 在点处 的导数 记作 xf 2 几何意义 函数在点处的导数的几何意义是过曲线上的点 的切 xf 0 x xf xfy 线的斜率 由导数的定义可知 求函数y f x 在点x0 处的导数的方法是 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 注意 1 函数应在点的附近有定义 x0 否则导数不存在 2 在定义导数的极限式中 x趋近于 0 可正 可负 但不为 0 而 y可能为 0 3 导数是一个局部概念 它只与函数在x0 及其附近的函数值有关 与 x无关 4 若极限 不存在 则称 函数在点x0 处不可导 5 物体的运动方程 s s t 在t0 处的导数即在t0 处的瞬时速度vt0 对速度 求导就是瞬时加速度 函数y f x 在x0 处的导数即曲线在x0 处的切线斜率 3 基本初等函数的导数公式 C 为常数 a 为常数 C a x sin x cosx 基 x e x a ln x log x a 4 导数的四则运算法则 1 xgxf 2 xgxf 3 xg xf 0 xg 一 导数的概念 1 辨析 1 f x0 与相等吗 0 f x 2 与 f x0 相等吗 试讨论 f x0 与区别与 00 0 2 lim x f xxf x x x f 联系 2 已知质点 M 按规律做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 32 2 ts 1 当 t 2 时 求 01 0 t t s 2 当 t 2 时 求 001 0 t t s 3 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 4 球半径以 2的速度膨胀 1 半径为 5cm 时 表面积的变化率是多少 scm 2 半径为 8cm 时 体积的变化率是多少 1 当 h 无限趋近于 0 时 无限趋近于 22 3 3h h 二 切线方程二 切线方程 1 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 2 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已 知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 3 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取值范围是 1 与直线的平行的抛物线的切线方程是 240 xy 2 yx 2 曲线C sine2 x f xx 在x 0 处的切线方程为 AAA 1 2008 江苏卷 直线 1 2 yxb 是曲线 ln0yx x 的一条切线 则实数 b 2 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 6 2008 海南 宁夏卷 设函数 a b Z Z 曲线在点处的 bx axxf 1 xfy 2 2 f 切线方程为 y 3 1 求的解析式 xf 2 证明 曲线上任一点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定 xfy 值 并求出此定值 4 若点 P 在曲线 y x3 3x2 3 x 上移动 经过点 P 的切线的倾斜角为 则角的3 4 3 取值范围是 AAAA 例 3 已知曲线 y 3 4 3 1 3 x 1 求曲线在 x 2 处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 2 求过曲线上的点的切线方程 3 2yxx 11 3 求过点且与曲线相切的直线方程 2 0 1 y x 4 已知函数 过点作曲线的切线 求此切线方程 3 3yxx 016 A yf x 三 导数与函数值 3 设f x x x 1 x 2 x n 则f 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 7 已知函数 f x 2 f sinx cosx 则 4 f 4 2009 安徽卷文 设函数 其中 则导数的取值范围是 9 已知函数的导函数为