天津大学10112工科数学分析第二阶段考试试卷答案.pdf

2010 2011 学年第 2 学期第二阶段考试试卷 工科数学分析 答案 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 分 共分 共 16 分 请把正确的答案填在每题中的横线上方 分 请把正确的答案填在每题中的横线上方 1 设是关于u的奇函数 D是由x围成的平面区域 则 uf 1 1 3 yxy所 D 3 d dxf xyx y 2 7 2 设是圆周 则Lxyx2 22 dd L y xx y 2 解 根据格林公式 得 2 1 1 2 22 xyx L dxdyxdyydx 3 的散度为 kxyzjxzyiyzxA 222 222xyz 4 二重积分 dxdyyxa ayx 222 222 3 3 2 a 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请把正确选项填入题后的括号内 分 请把正确选项填入题后的括号内 1 设 x 为 区 间上 的 正 值 连 续 函 数 与为 任 意 常 数 区 域 1 0 ab 1 0 yxyxD 则 D dxdy yx ybxa D A B b C aba D ba 2 1 2 设 2222 x y z xyza 在以下四组积分中 一组的两个积分同时为零的是 B A 22 d d dxSxy 外 z B 2 d d dx Sxy z 外 C d d dx Sx y 外 z D d d dxy Sy z x 外 解 解 因为关于 即因为关于 即 0 x yOz平面 对称 平面 对称 x和和xy是是x的奇函数 而的奇函数 而 2 x是是x的 偶函数 故第一类曲面积分 的 偶函数 故第一类曲面积分d0 dx S 0 xy S 4 3 22 d2 4 d R xSxS 半 1 而第二类曲面积分而第二类曲面积分 222 3 2224 d d2d d2d d 3 yzR R x y zx y zRyzy z 外上侧 上半 类似地 有 类似地 有 3 4 d d2d d 3 R y z xy z x 外前侧 前半 2d d 0 xy z 外 10 10 10 zyx表面外侧 在 zf 1 0上连续 则 3 正方体 dxdyzf D A B C 0 f 1 f 0 1 ff D 0 1 ff 4 设为下半圆周 则 C L 0 222 yRyx L dsyx 2 A B 0 2 sin2 cosdtttR 0 2 cos2 sin dtttR C D 0 2 sin2 cos dtttR 0 2 cos2 sindtttR 5 计算球面与柱面所围成的立体的体积 则正确的 2222 4azyx axyx2 22 解法为 D A V cos2 0 22 2 0 42 a drrard B V cos2 0 22 2 0 44 a drrad C V cos2 0 22 2 0 48 a drrard D V cos2 0 22 2 2 42 a drrard 6 设 是球面的内侧 2222 azyx 0a 为 所围空间闭球 则按高斯公式 曲面积分 xdzdxydxdy 333 dydzz可表示为 C A B dva 2 3 dva 2 3 C D ddrdrrsin3 22 ddrdrrsin3 22 三 计算下列各题 每小题三 计算下列各题 每小题 8 分 共分 共 40 分 分 1 计算 y y x y y x y xeyxyIddded 1 2 1 2 1 2 1 4 1 解 先从给定的累次积分画出积分区域图 再交换累次积分次序 得到 2 e 2 1 e 8 3 d e ededdedded 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 12 xxyxxyxyI x x x x y y y x y y x y 2 计算 其中为锥面 2 z dxdydz 2z 222 zxy 和平面 所围成的闭区域 解 22 224 00 32 5 z D z dxdydzz dzdxdyz dz d 3 已知曲线是平面与球面的交线 计算曲线积分 L 0 zyx 2222 Rzyx 22 L xyzl 解法 1 解法 1 由于曲线的方程中的变量Lzyx 具有轮换对称性 所以 LLL dlzdlydlx 222 LLL zdlydlxdl 因此 3222222 3 4 3 2 3 2 RdlRdlzyxdlyx LLL 00 3 1 3 1 LLL dldlzyxzdl 从而 32222 3 4 Rzdldlyxdlzyx LLL 解法 2解法 2 直接化成定积分进行计算 曲线 在L 2222 0 Rzyx zyx yx 平面的投影曲线 是一椭圆 其方程是 2 2 22 R yxyx 即 222 3 2 2 2 R y x x 令 t R y x t R xsin 2 2 cos 2 2 3 20 t 则曲线的参数方程为 L 3 cos 6 sin 2 cos 6 sin 2 cos 3 2 t R t R z t R t R y tRx 20 t 所以 Rdtdtt R t R t R t R tRdl 22 2 cos 2 sin 6 sin 6 cos 2 sin 3 2 从而 22 0 222 3 2 cos 3 2 RRdttRdlx L 22 0 22 3 2 cos 6 sin 2 RRdtt R t R dly L 0 cos 6 sin 2 2 0 Rdtt R t R zdl L 因此 3332222 3 4 0 3 2 3 2 RRRzdldlydlxdlzyx LLLL 4 已知 2 d dxayxy y xy 为某二元函数的全微分 则求 1 的值 2 求出这样的 a 二元函数 解 设 2 yx ayx yxP 2 yx y yxQ y P x Q 得 2 a 2 100 11 ln lnlnlnln xyy y u x ydxdyxyd xxyxy yy xxyxxy xyxy 5 设 1S 22 4 yxz z的部分 求 2 14 S dS z 解 6 4 四 计算下列各题 每小题四 计算下列各题 每小题 10 分 共分 共 20 分 分 5 S1 计算曲面积分 其中是旋转曲 面 dxdyzyzdzdxdydzzxI S 1 24 32 22 22 yx ez 2 ez 1 的下侧 解 解 添加平面 上侧 使之成为封闭曲面 1 s 2 ez 2 0 4 2 0 4 4 1 22 1 22 2 11 edzdddxdyedVI e e ssDs 2 0 244242 32 4 1 8 1 4 1 8 4eeeeedee 2 计算 222222 d d L dIyzxzxyxy z 其中是平面与柱 面 L2xyz 1xy 的交线 从轴正向看去 为逆时针方向 zL 解 设为平面 2xyz 上由所围成部分的上侧 L xy D是 在xOy面上的投 影 域 则 的 法 向 量 的 方 向 余 弦 为 1 coscos cos 3 xy Dx 1y 的曲面面积元素 d3d dSx